期末复习满分冲刺讲义【压轴篇】 （10大题型+50题训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上学期同步培优讲义

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（提高篇） 题型一：概念结论辨析 题型二：绝对值的化简 题型三：有理数运算的规律问题 题型四：规律探究问题 题型五：代数式求值 题型六：应用题 题型七：作图题 题型八：新定义问题 题型九：线段的动点问题 题型十：角的旋转问题 题型一：概念结论辨析 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 任何数都有倒数 B. 绝对值等于本身的数是非负数 C. 平方等于本身的数只有0 D. 是负数 2. 下列说法正确的是（　　） A. 倒数等于它本身的数只有1 B. 平方等于它本身的数只有1 C. 立方等于它本身的数只有1 D. 正数的绝对值是它本身 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 0除以任何数都得0 B. 0是最小的自然数 C. 倒数等于它本身的数是1 D. 一个数的绝对值一定是正数 4.下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 两点之间的线段最短 B. 如果，那么余角的度数为 C. 一个锐角的余角比这个角的补角小 D. 互补的两个角一个是锐角一个是钝角 题型二：绝对值的化简 6. 如果，那么x的取值范围是_____． 7.若成立，那么x的取值范围是 ． 8.已知关于x的方程无解，则的取值范围是 ． 9.先阅读，后解题： 因为，，所以当时，可得或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程： (1)； (2)． 10. 阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）的解为____________； （2）找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； （3）不等式的解集为____________． 题型三：有理数运算的规律问题 11.计算：，按以上式子，那么 ． 12.对于数133，规定第一次操作为，第二次操作为，按此规律操作下去，则第2024次操作后得到的数是（   ） A．250 B．133 C．55 D．24 13.发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 14.. 阅读理解题： 要求的值是多少，如果直接求的话非常困难，因为是一个非常大的数，因此，我们可以用列方程的方法来解． 设①，则有 ， 即②， ②①， 所以的值为． 请你在理解的基础上，模仿上述方法求下式的值： （1） （2）___________ （3）___________ 题型四：规律探究问题 15．观察下列等式，找规律： ①；②；③；④． (1)第5个等式为_____ (2)第100个等式为_____ (3)第个等式怎么表示？请用代数式的运算说明它的正确性． 16．如图，将图1中的等边三角形剪开得到图2，图2中共有4个等边三角形：将图2中的一个等边三角形剪开得到图3，图3中共有7个等边三角形；……，如此下去，则图n中共有 个等边三角形． 17．按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 18.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 19.如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 20.如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第1幅图4个圆点，第2幅图7个圆点，第3幅图10个圆点，第4幅图13个圆点，按照此规律，第100幅图中圆点的个数是 ． 题型五：代数式求值 21.已知，且互为倒数，则的值为 ． 22.当时，代数式的值为2012．则当时，代数式的值为 ． 23.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； 24.某超市将每个进价为10元的文具袋以每个16元的销售价售出，平均每月能售出250个． 市场调研表明：当每个文具袋的销售价下降1元时，其月销售量增加60个． 若设每个文具袋的销售价下降元． (1)试用含的式子填空： ①降价后，每个文具袋的利润为___________元（利润销售价进价）； ②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为___________个； (2)如果（1）中的，请计算该超市该月销售这种文具袋的利润是多少元（总利润单个利润销售数量）？ 题型六：应用题 25. 甲工程队原有400人，乙工程队原有150人，现要抽调一定人数组成第三工程队，如果甲乙两队抽调的人数比为，那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍，问甲乙两队各抽调了多少人？ 26. 试根据古诗中叙述，求出寺内有多少个僧人？ 巍巍山寺在山林，不知寺内几多僧． 三百六十四只碗，看看用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹． 27. 某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ 28. 某公司生产零件，甲每天可以加工32个零件，乙每天可以加工48个零件，甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天，甲的人工费为每天60元，乙的人工费为每天80元. （1）问这批零件共有多少个? （2）在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他15元补助费，现有三种加工方案：①由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案最省钱，为什么? 29. 小丽从家到学校有公路和小路两种路径，已知公路比小路远320米．早上小丽以61米/分钟的速度从公路去上学，10分钟后，爸爸发现她的作业忘带了，就以90米/分钟的速度沿小路去追赶，结果恰好在学校门口追上小丽．问小丽从家到学校的公路有多少米？ 30. 某商家进了一批服装，标价后以9折的优惠价出售，每件能盈利35元．卖掉一半后，商家把剩余部分全部以7折出售，每件仍能盈利5元．售完结算，商家从这一批服装中共获利800元．求每件服装的进价和这批服装的数量． 31. 在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款.其中六年级两个班级的捐款情况如下表： 小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息： 信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元； 信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元； 请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题. （1）六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？ （2）六（2）班的学生数至少是多少人？ 32．学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 题型七：作图题 33. 如图，射线、、、分别表示从点出发北、东、南、西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点重合，并如图放置． （1）图中与互余的角是 ； （2）①用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①所作的图形中，如果，那么点在点的 方向． 34. 如图所示，按要求用圆规和尺完成以下作图：（不要求写作法，但要写结论） （1）作出线段的中点； （2）作出的角平分线； （3）若，那么点在点的_________方向． 35. 已知，如图，点C在的内部，且，是的角平分线． （1）尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若射线分别表示从点O出发的正东、正北两个方向，则射线表示的方向是___________； （3）在图中找出互补的角是___________． 36. 如图，射线、、、分别表示从点出发北、东、南、西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点重合，并如图放置． （1）图中与互余的角是 ； （2）①用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①所作的图形中，如果，那么点在点的 方向． 题型八：新定义问题 37．已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 38．规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“奇异方程”．例如：的解为，因为，所以该方程是“奇异方程”． （1）若关于x的一元一次方程是“奇异方程”，则m的值为 ． （2）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，则代数式的值为 ． 39．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，并且它的解是，求m，n的值． 40．阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于的方程与方程是互为“美好方程”，求的值． 题型九：线段的动点问题 41. （2025嘉定区六年级期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是和16，动点M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，点M的速度是2个单位长度/秒，N的速度是4个单位长度/秒，点M、点N分别与点B、点A重合时，停止运动． （1）若运动t秒钟时，点M、N重合，求t的值以及重合点在数轴上所表示的数； （2）若运动t秒钟时，点M、N之间距离为30，求t的值； （3）设点P是线段中点，点Q是线段中点，若运动t秒钟时点P、Q重合，求t的值． 42. 已知、、三点在数轴上的位置如图所示，点表示的数为，，． （1）数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________； （2）动点、分别从，同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为()秒； ①求数轴上点，表示的数(用含的式子表示)； ②请直接写出为何值时，、两点相距个单位长度． 43．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 题型十：角的旋转问题 44. 如图，点A、O、B都在直线MN上，射线OA绕点O按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒6°的速度旋转（当其中一条射线与直线MN叠合时，两条射线停止旋转）．经过____________秒，∠AOB的大小恰好是60°． 45. 如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是__________________（填序号） 46. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，已知，，是的内半角，则_______； （2）如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 47. 如图，已知，射线ON． （1）画出的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹） ①如果，射线OA、OB分别表示从点O出发东、西两个方向，那么点C在点O的______方向． ②当时，在图中找出所有与互补的角，这些角是______． （2）如果比∠AON的还多47°，那么______度． 48. 将一副三角尺叠放在一起： （1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数； （2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数． 49．已知O是直线MN上一点，∠MOA＝40°，∠AOB＝90°，∠COD与∠AOB都在直线MN的上方，且射线OC在射线OD的左侧． (1)如图1，射线OC在∠AOB的内部，如果∠COD＝90°，那么图中与∠AOC相等的角是　 　，其依据是：　 　． (2)如图2，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP，如果∠COD＝60°，且OC平分∠AOP，那么∠DON＝　 　°；（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论） (3)如果∠COD＝60°，设∠AOC＝m°（0＜m＜80，且m≠30），用含m的式子表示∠BOD的度数．（直接写出结论） 50．已知点O为直线AB上一点． (1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数； (2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝　 　°，此时图中互余的角有 　 　对，互补的角有 　 　对． (3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（提高篇） 题型一：概念结论辨析 题型二：绝对值的化简 题型三：有理数运算的规律问题 题型四：规律探究问题 题型五：代数式求值 题型六：应用题 题型七：作图题 题型八：新定义问题 题型九：线段的动点问题 题型十：角的旋转问题 题型一：概念结论辨析 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 任何数都有倒数 B. 绝对值等于本身的数是非负数 C. 平方等于本身的数只有0 D. 是负数 【答案】B 【解析】 【分析】利用倒数，绝对值，平方，相反数的定义逐一判断即可解题． 【详解】A. 任何不为的数都有倒数，选项不正确； B.绝对值等于本身的数是非负数，选项正确； C. 平方等于本身的数有0和，选项不正确； D. 不一定是负数，选项不正确； 故选B． 【点睛】本题考查倒数，绝对值，平方，相反数的定义，熟记相关定义是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 倒数等于它本身的数只有1 B. 平方等于它本身的数只有1 C. 立方等于它本身的数只有1 D. 正数的绝对值是它本身 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数，平方，立方，绝对值的概念． 【详解】解：A、倒数等于它本身的数有1和﹣1，错误； B、平方等于它本身的数有1和0，错误； C、立方等于它本身的数有1和﹣1和0，错误； D、正数的绝对值是它本身，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了倒数，平方，立方，绝对值的概念，对这些概念性的知识学生要牢固掌握． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 0除以任何数都得0 B. 0是最小的自然数 C. 倒数等于它本身的数是1 D. 一个数的绝对值一定是正数 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数的除法法则、绝对值的性质、倒数、自然数的定义解决此题． 【详解】】解：A．根据有理数的除法法则，0除以任何非零的数都得0，那么A错误，故A不符合题意． B．0是最小的自然数，那么B正确，故B符合题意． C．倒数等于本身的数是1或，那么C错误，故C不符合题意． D．根据绝对值的定义，一个数的绝对值一定是非负数，那么D错误，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查有理数的除法、绝对值、倒数、自然数，熟练掌握有理数的除法法则、绝对值的性质、倒数、自然数的定义是解决本题的关键． 4.下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 【答案】D 【分析】本题考查多项式加减，同类项，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义与整式加法逐项判定即可． 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母x的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 两点之间的线段最短 B. 如果，那么余角的度数为 C. 一个锐角的余角比这个角的补角小 D. 互补的两个角一个是锐角一个是钝角 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的性质、余角和补角的定义逐项分析即可． 【详解】A.两点之间的线段最短，正确； B.如果，那么余角的度数为90°-=，正确； C. 一个锐角α的余角是90°-α，这个角的补角是180°-α，(180°-α)-(90°-α)=90°>0，正确； D. 两个直角也是互补的角，故本小题错误； 故选D． 题型二：绝对值的化简 6. 如果，那么x的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据绝对值的定义可得，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查化简绝对值，理解正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解决此题的关键． 7.若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 8.已知关于x的方程无解，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，绝对值的几何意义； 表示的几何意义是数轴上对应的点到和对应的点距离之和，当对应的点在和对应的点之间任意位置时，有最小值，最小值为．因此，若方程无解，必有，从而求出的取值范围即可． 【详解】解：表示的几何意义是数轴上对应的点到和对应的点距离之和， 当对应的点在和对应的点之间任意位置时，有最小值，最小值为． 当时，方程无解． ， 或， 或． 故答案为：或． 9.先阅读，后解题： 因为，，所以当时，可得或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，可得或，求出两个一元一次方程的解即可； （2）根据绝对值的意义，可得或，求出两个一元一次方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵， ∴或， 解得或． 10. 阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）的解为____________； （2）找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； （3）不等式的解集为____________． 【答案】（1）或 （2），，，0，1，2 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解； （2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可； （3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可． 【小问1详解】 解：， 或， ∴或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5， ∵数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴， ∵为整数， ∴，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2； 【小问3详解】 解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7， 首先在数轴上找出的解（如图）， 由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴要使得到2距离与到的距离之和等于7，则或， ∴解集为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键． 题型三：有理数运算的规律问题 11.计算：，按以上式子，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律和有理数的混合运算，把写成，然后利用求和公式计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12.对于数133，规定第一次操作为，第二次操作为，按此规律操作下去，则第2024次操作后得到的数是（   ） A．250 B．133 C．55 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化类探究，有理数的加法，有理数的乘方等知识，按照规则，每次操作即是对上一次操作得到的数的每个数字求立方和，求出第三次操作后的得数为133与开始相同，即每三次为一个循环，即可得出答案，解题关键是读懂每次操作的具体做法，并准确计算出下一次操作的数，从而发现规律． 【详解】解：第一次操作：， 第二次操作：， 第三次操作：， ， ∴三次操作为一个循环， ∵， ∴第次操作后得到的数与第二次操作后得到的数相同，为， 故选：A． 13.发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】本题考查找规律，先由题中式子，联系到，将原式化简得到 ，再由得到规律即可确定答案．由式子的特点化简，并找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 对于，当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 综上所述，，则的结果的个位数字是， 故答案为：． 14.. 阅读理解题： 要求的值是多少，如果直接求的话非常困难，因为是一个非常大的数，因此，我们可以用列方程的方法来解． 设①，则有 ， 即②， ②①， 所以的值为． 请你在理解的基础上，模仿上述方法求下式的值： （1） （2）___________ （3）___________ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，则有，依照例题求解即可； （2）设，则，依照例题求解即可； （3）设，依照例题求解即可． 【小问1详解】 解：设①， 则有， 即②， ②①， 则； 小问2详解】 解：设①， 则， 即②， ②①，即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设①， 则， 即②， ②①，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是仿照例子计算．本题属于基础题，难度不大． 题型四：规律探究问题 15．观察下列等式，找规律： ①；②；③；④． (1)第5个等式为_____ (2)第100个等式为_____ (3)第个等式怎么表示？请用代数式的运算说明它的正确性． 【答案】(1) (2) (3)，证明过程见详解 【分析】本题主要考查数字规律，理解材料提示的计算方法，找出规律是关键． （1）根据材料提示求解； （2）找出规律即可求解； （3）根据材料提示，找出规律即可求解． 【详解】（1）解：第5个等式为：； （2）解：第100个等式为：； （3）解：第个等式为：， 证明：等式左边 ， 等式右边 ， 等式左边等式右边， ∴代数式正确． 16．如图，将图1中的等边三角形剪开得到图2，图2中共有4个等边三角形：将图2中的一个等边三角形剪开得到图3，图3中共有7个等边三角形；……，如此下去，则图n中共有 个等边三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查规律型：图形的变化．根据已知图形可以发现：每次分割，都会增加3个三角形，所以可以得到此题的规律为：第n个图形中的三角形个数为：． 【详解】解：图①中共有个等边三角形， 图②中共有个等边三角形， 图③中共有个等边三角形， 故图⑤中共有个等边三角形， 图n中共有个等边三角形． 故答案为：． 17．按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式中的数字变化规律问题，先确定系数的变化规律：的序号数次方，再确定字母指数的变化规律：x的序号数次方，即可得出答案． 【详解】解：因为， 所以第n个单项式为． 故选：D． 18.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案． 【详解】解：第1个图中H的个数为4， 第2个图中H的个数为4+2， 第3个图中H的个数为4+2×2， 第4个图中H的个数为4+2×3=10， 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键． 19.如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， …， 按此规律摆下去，第n个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：B． 20.如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第1幅图4个圆点，第2幅图7个圆点，第3幅图10个圆点，第4幅图13个圆点，按照此规律，第100幅图中圆点的个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，然后用代数式表示出来即可． 【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即， 第2幅图7个圆点，即； 第3幅图10个圆点，即； 第4幅图13个圆点，即； 第n幅图中，圆点的个数为：， 所以第100幅图中圆点的个数为. 故答案为：． 题型五：代数式求值 21.已知，且互为倒数，则的值为 ． 【答案】   【分析】根据已知条件得出的值，然后将所求代数式进行变形，最后整体代入求值. 【详解】解：互为倒数， 原式 【点睛】本题考查了倒数的定义以及整体代入法求代数式的值，解决本题的关键理解倒数的概念以及整体代入的思想, 22.当时，代数式的值为2012．则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，添括号的应用．整体代入是解决本题的关键． 先把代入代数式中，求出的值，再把代入代数式，整体代入即可得出答案． 【详解】解：时，代数式为，即， 当时，代数式为． 故答案为：． 23.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解： ， ， 故答案为：； 24.某超市将每个进价为10元的文具袋以每个16元的销售价售出，平均每月能售出250个． 市场调研表明：当每个文具袋的销售价下降1元时，其月销售量增加60个． 若设每个文具袋的销售价下降元． (1)试用含的式子填空： ①降价后，每个文具袋的利润为___________元（利润销售价进价）； ②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为___________个； (2)如果（1）中的，请计算该超市该月销售这种文具袋的利润是多少元（总利润单个利润销售数量）？ 【答案】(1)①② (2)980元 【分析】本题考查列代数式及代数式求值，解题的关键是读懂题意，用含m的式子表示出每个利润和销售量． （1）①降价后，每个文具袋的利润为元； ②降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为个； （2）当时，求出的值可得答案． 【详解】（1）解：①降价后，每个文具袋的利润为元； 故答案为：； ②∵当每个文具袋的销售价下降1元时，其月销售量增加60个． 若设每个文具袋的销售价下降元． ∴降价后，该超市的文具袋平均每月销售量为个； 故答案为：； （2）解：当时， （元）， ∴该超市该月销售这种文具袋的利润是980元． 题型六：应用题 25. 甲工程队原有400人，乙工程队原有150人，现要抽调一定人数组成第三工程队，如果甲乙两队抽调的人数比为，那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍，问甲乙两队各抽调了多少人？ 【答案】甲队抽调了200人，乙队抽调了100人 【解析】 【分析】设甲队抽调了人，乙队抽调了x人，根据甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍列出方程，解之即可． 【详解】解: 设甲队抽调了人，乙队抽调了x人． 由题意得：， 解得：， 所以， 答：甲队抽调了200人，乙队抽调了100人． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据人数变化得出正确等量关系是解题关键． 26. 试根据古诗中叙述，求出寺内有多少个僧人？ 巍巍山寺在山林，不知寺内几多僧． 三百六十四只碗，看看用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹． 【答案】寺内有624名僧人 【解析】 【分析】设寺内有x名僧人，读懂题中的诗句，找出条件，共有364只碗，三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹，即可列出方程，解出即可． 【详解】设寺内有x名僧人，由题意得 解得：． ∴寺内有624名僧人． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，解决本题的关键是读懂题中的诗句，找出人数和碗数之间的关系，从而列出方程求出答案． 27. 某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ 【答案】18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球 【解析】 【分析】设分配x个工人生产塑料棒，则分配（34﹣x）个工人生产金属球，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出分配生产塑料棒的工人数，再将其代入（34﹣x）中即可求出分配生产金属球的工人数． 【详解】解：设分配x个工人生产塑料棒，则分配个工人生产金属球， 依题意得：， 解得：x＝18， ∴34﹣x＝34﹣18＝16． 答：应分配18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 28. 某公司生产零件，甲每天可以加工32个零件，乙每天可以加工48个零件，甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天，甲的人工费为每天60元，乙的人工费为每天80元. （1）问这批零件共有多少个? （2）在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他15元补助费，现有三种加工方案：①由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案最省钱，为什么? 【答案】（1）这批零件共有1920个 （2）方案③最省钱，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设这批零件共有x个，根据甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天列方程求解即可； （2）分别求得三个方案需支付费用，然后比较大小可得结论． 【小问1详解】 解：设这批零件共有x个， 根据题意，得， 解得， 答：这批零件共有1920个； 【小问2详解】 解：方案③最省钱，理由： 由题意， ①由甲单独加工这批零件需支付费用为（元）； ②由乙单独加工这批零件需支付费用为（元）； ③甲、乙合作同时加工这批零件需支付费用为（元）， 因为， 所以方案③最省钱． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和算式是解答的关键． 29. 小丽从家到学校有公路和小路两种路径，已知公路比小路远320米．早上小丽以61米/分钟的速度从公路去上学，10分钟后，爸爸发现她的作业忘带了，就以90米/分钟的速度沿小路去追赶，结果恰好在学校门口追上小丽．问小丽从家到学校的公路有多少米？ 【答案】1220米 【解析】 【分析】设小丽从家到学校的时间为x分钟，根据小丽所走路程比爸爸所走路程多320米列方程即可． 【详解】解：设小丽从家到学校的时间为x分钟 根据题意，得：61x-90（x-10）=320 解这个方程得：x=20 20×61=1220（米） 答：小丽从家到学校的公路有1220米 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． 30. 某商家进了一批服装，标价后以9折的优惠价出售，每件能盈利35元．卖掉一半后，商家把剩余部分全部以7折出售，每件仍能盈利5元．售完结算，商家从这一批服装中共获利800元．求每件服装的进价和这批服装的数量． 【答案】每件服装的进价为100，这批服装的数量为40件． 【解析】 【分析】设每件服装的进价为x，则，求出，再根据求出服装的数量即可． 【详解】解：设每件服装的进价为x，则 ， ． （件）． ∴每件服装的进价为100，这批服装的数量为40件． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意找出等量关系列出方程求解即可． 31. 在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款.其中六年级两个班级的捐款情况如下表： 小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息： 信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元； 信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元； 请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题. （1）六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？ （2）六（2）班的学生数至少是多少人？ 【答案】（1）六（1）班捐款元，六（2）班捐款元 （2）六（2）班的学生数至少是38人 【解析】 【分析】（1）设六（1）班捐款元，则六（2）班捐款元，根据两班的捐款总额为900元列方程求解即可； （2）根据两班的捐款总额和人均捐款额求出总人数，设六（2）班有a人，根据六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元列不等式求解可得答案． 【小问1详解】 解：设六（1）班捐款元，则六（2）班捐款元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：六（1）班捐款元，六（2）班捐款元； 【小问2详解】 解：∵， ∴两班共有80人， 设六（2）班有a人， ∴ 解得： ∴六（2）班的学生数至少是38人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，找出合适的等量关系或不等关系是解题的关键． 32．学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； (2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支 (3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； () 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； () 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【解析】（1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得： ， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 题型七：作图题 33. 如图，射线、、、分别表示从点出发北、东、南、西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点重合，并如图放置． （1）图中与互余的角是 ； （2）①用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①所作的图形中，如果，那么点在点的 方向． 【答案】（1）， （2）①作图见解析 ；②北偏东 【解析】 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可得到答案； （2）①根据角平分线的尺规作图要求作出图形即可；②由角平分线定义求出相应角度，再根据互余的定义求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： ， ， ， 与互余； ， ， 与互余； 综上所述，图中与互余的角是，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①如图所示： 射线即为所求； ②，的平分线是， ， ， ， 点在点的北偏东方向， 故答案为：北偏东． 【点睛】本题考查作图-复杂作图-角平分线，角平分线的定义，互余定义，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 34. 如图所示，按要求用圆规和尺完成以下作图：（不要求写作法，但要写结论） （1）作出线段的中点； （2）作出的角平分线； （3）若，那么点在点的_________方向． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）东偏北 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线即可； （2）根据角平分线的作法作出图形即可； （3）根据，根据邻补角的定义可得，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，作线段的垂直平分线，交于点， 则点即为所作； 【小问2详解】 如图，射线即为所作； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴点在点的东偏北方向． 故答案为：东偏北． 【点睛】本题考查作图—基本作图，作线段的垂直平分线，作角的角平分线，邻补角的定义，方向角．掌握基本作图是解题的关键． 35. 已知，如图，点C在的内部，且，是的角平分线． （1）尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若射线分别表示从点O出发的正东、正北两个方向，则射线表示的方向是___________； （3）在图中找出互补的角是___________． 【答案】（1）见解析 （2）南偏东 （3）； 【解析】 【分析】（1）利用尺规作出的角平分线即可． （2）根据方向角的定义判断即可． （3）根据互补角的定义，判断即可． 【小问1详解】 如图，射线即为所求． 【小问2详解】 ∵， ∴射线表示南偏东的方向上， 故答案为：南偏东； 【小问3详解】 ∵，平分， ∴， ∴与互补的角是 故答案为：． 【点睛】此题考查了角平分线的作图，方向角的表示，利用角平分线的计算，互补角的定义，正确掌握角平分线的作图及计算以及余角补角的定义是解题的关键． 36. 如图，射线、、、分别表示从点出发北、东、南、西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点重合，并如图放置． （1）图中与互余的角是 ； （2）①用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①所作的图形中，如果，那么点在点的 方向． 【答案】（1）， （2）①作图见解析 ；②北偏东 【解析】 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可得到答案； （2）①根据角平分线的尺规作图要求作出图形即可；②由角平分线定义求出相应角度，再根据互余的定义求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： ， ， ， 与互余； ， ， 与互余； 综上所述，图中与互余的角是，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①如图所示： 射线即为所求； ②，的平分线是， ， ， ， 点在点的北偏东方向， 故答案为：北偏东． 【点睛】本题考查作图-复杂作图-角平分线，角平分线的定义，互余定义，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型八：新定义问题 37．已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减混合运算．掌握新定义运算法则是解题关键． （1）根据新定义运算法则结合有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则结合整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“奇异方程”．例如：的解为，因为，所以该方程是“奇异方程”． （1）若关于x的一元一次方程是“奇异方程”，则m的值为 ． （2）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，则代数式的值为 ． 【答案】 16 【分析】本题考查了解一元一次方程、代数式求值，解题的关键是：（1）根据“奇异方程”定义列出关于m的一元一次方程；（2）根据“奇异方程”的定义列出关于m、n的方程组，利用整体思想解答． （1）根据“奇异方程”的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“奇异方程”的定义即可得出，，然后代入代数式)中即可算出结论． 【解析】解：（1）解一元一次方程是，得， ∵一元一次方程是“奇异方程”， ∴， ∴， ∴； （2）∵一元一次方程和都是“奇异方程”， ∴， ∴， ∴ 故答案为：，16． 39．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，并且它的解是，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了新定义——“差解方程”，熟练掌握新定义，一元一次方程解的定义，解一元一次方程，代数式求值，是解决问题的关键． （1）根据一元一次方程是“差解方程”，得到，代回原方程求解即得； （2）根据一元一次方程是“差解方程”，且，得到，再把代回原方程即可求出m与n的值． 【解析】（1）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， ∴， 解得：； （2）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 又， ∴， ∴， 把，代回原方程得：， ∴， 将代入中，得． 40．阅读与理解： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，两个方程的解之和为1，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于的方程与方程是互为“美好方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程”，理由见解析； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解分别为：，，再根据关于的方程与方程是互为“美好方程”得出解关于的方程即可． 【解析】（1）解：解方程的解为， 解方程的解为， ， 方程与方程互为“美好方程”； （2）解：解方程的解为， 解方程的解为， 关于的方程与方程是互为“美好方程”， ， ． 题型九：线段的动点问题 41. （2025嘉定区六年级期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是和16，动点M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，点M的速度是2个单位长度/秒，N的速度是4个单位长度/秒，点M、点N分别与点B、点A重合时，停止运动． （1）若运动t秒钟时，点M、N重合，求t的值以及重合点在数轴上所表示的数； （2）若运动t秒钟时，点M、N之间距离为30，求t的值； （3）设点P是线段中点，点Q是线段中点，若运动t秒钟时点P、Q重合，求t的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）20 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用时间=路程÷速度，可求出点M及点N到达终点所需时间．当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据点M、N重合，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中，即可求出重合点在数轴上所表示的数； （2）当时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据点M、N之间距离为30，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可；当时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据点M、N之间距离为30，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P、Q重合，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P、Q重合，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：（秒），（秒）． 当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：t的值为，重合点在数轴上所表示的数为； 【小问2详解】 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：t的值为或； 【小问3详解】 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：t的值为． 42. 已知、、三点在数轴上的位置如图所示，点表示的数为，，． （1）数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________； （2）动点、分别从，同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为()秒； ①求数轴上点，表示的数(用含的式子表示)； ②请直接写出为何值时，、两点相距个单位长度． 【答案】（1）；； （2）①点表示的数是，点表示的数是；②当或时，点、两点相距个单位长度 【解析】 【分析】（1）点表示数是，点表示的数是，求出即可； （2）①求出，，根据、表示的数求出、表示的数即可； ②利用“点，相距个单位长度”列出关于的方程，并解答即可． 【小问1详解】 解：点对应的数为，， 点表示的数是， ， 点表示的数是． 故答案是：；； 【小问2详解】 ①由题意得：如图所示： 在数轴上点表示的数是 在数轴上点表示的数是； ②当点，相距个单位长度时：， 解得：或 当或时，点、两点相距个单位长度 【点睛】本题考查了一元一次方程应用，两点间的距离的应用，数形结合是解题的关键． 43．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或 (3)存在； 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一次方程的应用，利用平方根解方程等知识，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． （1）根据一元一次方程的定义可得，即可求出b，根据绝对值、平方的非负性即可求解a、c，问题得解； （2）根据运动特点可得，再根据为的中点，为中点，可得，依据，可得方程，解方程即可求解； （3）分类讨论：与第一次重合中，由到的时间为7段，即时，表示出点，．①点表示的数比点表示的数大1，即，②点表示的数比点表示的数大1，即与第二次重合中，到返回时，即，同理表示出，③点表示的数比表示的数大1时，即，④点表示的数比表示的数大1时，即，解方程即可求解． 【解析】（1）解：∵是一元一次方程， ∴， 解得：， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：， 根据运动特点可得， 为的中点，为中点， ， ， ， ， ， 或， 或； （3）解：存在．或者或者或者8．理由如下： ， ， 与第一次重合中，由到的时间为7段，即时， 点， ①点表示的数比点表示的数大1， 即， 解得：． ②点表示的数比点表示的数大1， 即， 解得：． 与第二次重合中，到返回时，即， ③点表示的数比表示的数大1时， 即， 解得：． ④点表示的数比表示的数大1时， 即， 解得：． 故：． 题型十：角的旋转问题 44. 如图，点A、O、B都在直线MN上，射线OA绕点O按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒6°的速度旋转（当其中一条射线与直线MN叠合时，两条射线停止旋转）．经过____________秒，∠AOB的大小恰好是60°． 【答案】12或24 【解析】 【分析】设经过x秒，∠AOB的大小恰好是60°．分∠AOM＋∠AOB＋∠BON＝180°和∠AOM＋∠BON﹣∠AOB＝180°两种情况，可得关于x的一元一次方程，解之即可求得结论． 【详解】设经过x秒，∠AOB的大小恰好是60°． 由题意可得：当∠AOM＋∠AOB＋∠BON＝180°时，即,解得： 当∠AOM＋∠BON﹣∠AOB＝180°时，即，解得：， 故答案为：12或24． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用和角的计算，解题的关键是找出等量关系，正确列出一元一次方程． 45. 如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是__________________（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】结合题意，根据角的度量的性质，得及，从而推导得；根据角的和差的性质，计算得以及，从而完成求解． 【详解】∵射线、分别经过刻度117和153 ∴ 把绕点逆时针方向旋转到，得 ∵， ∴，即①正确； ∵射线经过刻度27 ∵ ∴射线经过刻度为： ∴ ∴ ∴，即②正确； ∵，且 ∴ ∴ ∴射线经过刻度为：，即③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了角知识；解题的关键是熟练掌握角的度量、补角、角的和差的性质，从而完成求解． 46. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，已知，，是的内半角，则_______； （2）如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）能，或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和与差，图形旋转的性质，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据内半角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质可得：，，再根据内半角的定义，即可求解； （3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：是的内半角，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：旋转的角度为时，是的内半角；理由如下： ， ， ，， 是的内半角， ， ， 旋转的角度为时，是的内半角； 小问3详解】 解：在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1，是的内半角，， ， ， 解得：， ； 如图2，是的内半角，， ， ， ， ； 如图3，是的内半角，， ， ， ， ， 如图4，是的内半角，， ， ， 解得：， ， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角． 47. 如图，已知，射线ON． （1）画出的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹） ①如果，射线OA、OB分别表示从点O出发东、西两个方向，那么点C在点O的______方向． ②当时，在图中找出所有与互补的角，这些角是______． （2）如果比∠AON的还多47°，那么______度． 【答案】（1）画图见解析；①北偏西25°；②， （2）76 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作出OC即可；①过点O作，则，再由角平分线的定义求出则；②先由角平分线的定义求出，则，由此根据补角的定义求解即可； （2）根据∠BON和∠AON互补，以及两个角的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，OC即为的平分线．过点O作， ∵， ∴， ∵OC平分， ∴， ∴， ∴点C在点O的北偏西25°方向． 故答案是：北偏西25°； ②∵，OC平分， ∴， ∴， ∴，又与是邻补角， ∴与互补的角有，． 故答案是：∠AOC，∠BON； 【小问2详解】 由图可知，， ∴， 解得． 故答案是：76． 【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，方位角，角平分线的定义，补角，熟知相关知识是解题的关键． 48. 将一副三角尺叠放在一起： （1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数； （2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数． 【答案】（1）∠CAE＝18°；（2）∠ACD＝120°． 【解析】 【分析】（1）由题意根据∠BAC＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余角相等求出∠CAE＝∠2，从而得解； （2）根据∠ACB和∠DCE的度数列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再结合已知条件求出∠BCD，然后由∠ACD＝∠ACB+∠BCD并代入数据计算即可得解． 【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝4∠2， ∴4∠2+∠2＝90°， ∴∠2＝18°， 又∵∠DAE＝90°， ∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°， ∴∠CAE＝∠2＝18°； （2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°， ∴∠ACE﹣∠BCD＝30°， 又∠ACE＝2∠BCD， ∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 49．已知O是直线MN上一点，∠MOA＝40°，∠AOB＝90°，∠COD与∠AOB都在直线MN的上方，且射线OC在射线OD的左侧． (1)如图1，射线OC在∠AOB的内部，如果∠COD＝90°，那么图中与∠AOC相等的角是　 　，其依据是：　 　． (2)如图2，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP，如果∠COD＝60°，且OC平分∠AOP，那么∠DON＝　 　°；（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论） (3)如果∠COD＝60°，设∠AOC＝m°（0＜m＜80，且m≠30），用含m的式子表示∠BOD的度数．（直接写出结论） 【答案】(1)，同角的余角相等 (2)图见解析， (3)或或 【分析】（1）根据同角的余角相等解决问题即可． （2）根据，求出，即可． （3）分两种情形：当时，根据求解，如图中，当时，根据，求解即可，如图中，当时，，求解即可． ． 【解析】（1）解：如图1中， ， ， （同角的余角相等）， 故答案为：同角的余角相等． （2）解：如图2中，如图，射线即为所求． ，， ， 平分， ， 平分， ， ， ． （3）解：如图中，当时， ． 如图中，当时， ． 如图中，当时， ． 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 50．已知点O为直线AB上一点． (1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数； (2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝　 　°，此时图中互余的角有 　 　对，互补的角有 　 　对． (3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)∠AOC＝180°，∠BOC＝72°． (2)90，4，5． (3)∠AOD＝2∠COE．理由见解析． 【分析】（1）设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x.然后根据平角180°列方程求得x，进而完成解答； （2）先根据角平分线的定义可得∠COD＝∠AOC、∠COE＝∠BOC，然后再结合∠DOE＝∠COD+∠COE即可求得90°；然后根据余角、补角的定义即可确定余角和补角的对数； （3）根据射线OC是∠BOD的角平分线可得∠BOC＝90°﹣∠AOD，然后再根据∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°即可解答． 【解析】（1）解：设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x， 根据题意得：3x+2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°． （2）解：∵射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线， ∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE ＝（∠AOC+∠BOC） ＝×180° ＝90°； ∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°， ∴互余的角有4对； ∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴互补的角有5对． 故答案为：90，4，5． （3）解：∠AOD＝2∠COE．理由如下： ∵射线OC是∠BOD的角平分线， ∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD， ∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°， ∴∠AOD＝2∠COE． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、补角、余角的定义，灵活运用相关定义成为解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $