22.商数关系的条件限制（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 22.商数关系的条件限制（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】商数关系的定义域限制 ￮ 定义表述：同角三角函数商数关系成立的前提是分母，由此确定的取值范围，该范围即为商数关系的定义域限制。 ￮ 数学符号/表达式：， ￮ 关键特征：限制条件由分式分母不为零推导而来，违反该条件时商数关系无意义；该限制条件同时决定了正切函数的定义域。 ￮ 跨章节关联：与分式函数定义域限制逻辑相通，可结合正切函数的图像与性质加深理解。 2. 【概念2】商数关系应用的隐含条件限制 ￮ 定义表述：在利用商数关系进行弦切互化、等式变形、分式约分等操作时，除定义域限制外，还需满足的由题目条件或变形过程衍生的附加限制条件。 ￮ 数学符号/表达式：如由变形求时，需满足；约分含的因式时，需满足。 ￮ 关键特征：隐含条件较为隐蔽，易被忽略，是解题出错的主要诱因；需结合变形步骤逐一分析确认。 ￮ 跨章节关联：与代数等式变形中“非零因式才能约分”的规则一致，适用于三角函数的化简与求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 定义域限制的不可突破 当时，，不存在，商数关系不成立 直接在的角处使用商数关系进行计算 分式函数在处无意义，不能代入计算函数值 变形过程的条件等价性 利用商数关系变形时，需保持变形前后条件等价，不可随意约去含三角函数的因式，约分时必须验证因式不为零 化简时，直接约去得到，忽略的条件 化简分式时，直接约去得到，忽略的限制 三、题型分类与例题精析 题型1：商数关系定义域限制的判断与应用 题型特征：题目给出角的取值或范围，判断能否使用商数关系；或已知含的式子有意义，求的取值范围。 解题步骤：1. 明确商数关系成立的条件是；2. 结合题目给出的角的条件，判断是否满足定义域限制；3. 若满足则正常使用商数关系，若不满足则说明式子无意义。 例题1 判断下列角能否使用商数关系，若不能请说明理由： (1) ；(2) ；(3) 举一反三1-1 已知式子有意义，求角的取值范围。 举一反三1-2 已知，且，求的值。 举一反三1-3 若无意义，且，求角的集合。 题型2：商数关系变形过程中的隐含条件限制 题型特征：题目涉及利用商数关系进行弦切互化、分式约分、等式变形，需分析变形过程中的隐含条件，避免因忽略条件导致解题错误。 解题步骤：1. 分析原式的定义域限制，确定三角函数的取值禁忌；2. 对式子进行变形，每一步变形都验证条件等价性，尤其是约分和移项操作；3. 结合隐含条件确定最终结果的取值范围或修正错误结论。 例题2 判断化简过程是否正确，若不正确请指出错误并改正。 举一反三2-1 已知，求的值，需说明变形过程的条件限制。 举一反三2-2 化简，并说明化简过程的条件限制。 举一反三2-3 已知，判断该等式是否恒成立，并说明理由。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知式子有意义，则角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 下列化简过程中，忽略了隐含条件的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 已知无意义，且，则角的集合为______。 4. 解答题 (1) 判断角能否使用商数关系，若不能说明理由。 (2) 化简，并说明条件限制。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知有意义，且该式子在处取值为，则不能取的值是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 关于等式，下列说法正确的是（ ） A．等式成立的条件是 B．等式成立的条件是 C．等式成立的条件是且 D．该等式是恒等式 3. 填空题 化简的结果为______，条件限制是______。 4. 解答题 (1) 已知，求的值，且说明变形过程的条件限制。 (2) 判断等式是否恒成立，并说明理由。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 22.商数关系的条件限制（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】商数关系的定义域限制 ￮ 定义表述：同角三角函数商数关系成立的前提是分母，由此确定的取值范围，该范围即为商数关系的定义域限制。 ￮ 数学符号/表达式：， ￮ 关键特征：限制条件由分式分母不为零推导而来，违反该条件时商数关系无意义；该限制条件同时决定了正切函数的定义域。 ￮ 跨章节关联：与分式函数定义域限制逻辑相通，可结合正切函数的图像与性质加深理解。 2. 【概念2】商数关系应用的隐含条件限制 ￮ 定义表述：在利用商数关系进行弦切互化、等式变形、分式约分等操作时，除定义域限制外，还需满足的由题目条件或变形过程衍生的附加限制条件。 ￮ 数学符号/表达式：如由变形求时，需满足；约分含的因式时，需满足。 ￮ 关键特征：隐含条件较为隐蔽，易被忽略，是解题出错的主要诱因；需结合变形步骤逐一分析确认。 ￮ 跨章节关联：与代数等式变形中“非零因式才能约分”的规则一致，适用于三角函数的化简与求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 定义域限制的不可突破 当时，，不存在，商数关系不成立 直接在的角处使用商数关系进行计算 分式函数在处无意义，不能代入计算函数值 变形过程的条件等价性 利用商数关系变形时，需保持变形前后条件等价，不可随意约去含三角函数的因式，约分时必须验证因式不为零 化简时，直接约去得到，忽略的条件 化简分式时，直接约去得到，忽略的限制 三、题型分类与例题精析 题型1：商数关系定义域限制的判断与应用 题型特征：题目给出角的取值或范围，判断能否使用商数关系；或已知含的式子有意义，求的取值范围。 解题步骤：1. 明确商数关系成立的条件是；2. 结合题目给出的角的条件，判断是否满足定义域限制；3. 若满足则正常使用商数关系，若不满足则说明式子无意义。 例题1 判断下列角能否使用商数关系，若不能请说明理由： (1) ；(2) ；(3) 解析： (1) 当时，，不满足商数关系的定义域限制，不能使用； (2) 当时，，满足定义域限制，可以使用； (3) 当时，，不满足定义域限制，不能使用。 答案：(1) 不能，；(2) 能；(3) 不能， 举一反三1-1 已知式子有意义，求角的取值范围。 解析： 式子有意义需满足两个条件：①有意义，即；②分母，即，解得； 综上，的取值范围是。 答案： 举一反三1-2 已知，且，求的值。 解析： 由得； 因为，满足，可使用商数关系； 当时，，； 当时，，。 答案：或 举一反三1-3 若无意义，且，求角的集合。 解析： 无意义的条件是； 又因为，满足该条件的角为； 因此角的集合为。 答案：因 题型2：商数关系变形过程中的隐含条件限制 题型特征：题目涉及利用商数关系进行弦切互化、分式约分、等式变形，需分析变形过程中的隐含条件，避免因忽略条件导致解题错误。 解题步骤：1. 分析原式的定义域限制，确定三角函数的取值禁忌；2. 对式子进行变形，每一步变形都验证条件等价性，尤其是约分和移项操作；3. 结合隐含条件确定最终结果的取值范围或修正错误结论。 例题2 判断化简过程是否正确，若不正确请指出错误并改正。 解析： 该化简过程不完全正确，错误在于第三步约去时，没有验证的隐含条件； 补充条件：当时，化简结果为； 当时，原式分子，分母或，若，原式无意义；若，原式值为； 综上，正确化简结果为：当时，原式；当时，原式。 答案：化简过程不完全正确，错误是约去时忽略的条件；正确结果见解析 举一反三2-1 已知，求的值，需说明变形过程的条件限制。 解析： 由可知，满足商数关系定义域限制； 将式子变形：； 变形过程中（因为，隐含），条件等价； 代入得：。 答案：；条件限制：且 举一反三2-2 化简，并说明化简过程的条件限制。 解析： 原式有意义的条件：有意义即，且分母即； 化简过程： 约去时，需满足即； 最终化简结果：； 综上，条件限制为。 答案：化简结果为；条件限制见解析 举一反三2-3 已知，判断该等式是否恒成立，并说明理由。 解析： 该等式不恒成立； 理由：等式左边有意义的条件是有意义且，即且； 当时，，左边无意义，等式不成立； 当时，，等式成立。 答案：不恒成立；理由见解析 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知式子有意义，则角的取值范围是（ ） A．且 B． C． D． 解析：式子有意义需有意义即，且分母即，解得，选项中无完全匹配项，修正选项C为，选C。 答案：C 2. 多选题 下列化简过程中，忽略了隐含条件的是（ ） A． B． C． D． 解析：A忽略；B忽略且；C式子不完整，同样忽略条件；D是商数关系本身，有定义域限制，但未体现忽略条件，故选ABC。 答案：ABC 3. 填空题 已知无意义，且，则角的集合为______。 解析：无意义时，结合，得，集合为。 答案：。 4. 解答题 (1) 判断角能否使用商数关系，若不能说明理由。 解析：，，不满足商数关系定义域限制，不能使用。 答案：不能；理由是 (2) 化简，并说明条件限制。 解析：原式有意义需有意义且，即；化简得。 答案：化简结果为；条件限制为 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知有意义，且该式子在处取值为，则不能取的值是（ ） A． B． C． D． 解析：式子有意义需有意义（）且（），、、均不满足条件，满足，题目问不能取的值，选ACD（修正选项为单选，选A）。 答案：A 2. 多选题 关于等式，下列说法正确的是（ ） A．等式成立的条件是 B．等式成立的条件是 C．等式成立的条件是且 D．该等式是恒等式 解析：左边有意义需即；右边有意义需即，无需额外，故选AB。 答案：AB 3. 填空题 化简的结果为______，条件限制是______。 解析：条件限制为且；化简得。 答案：； 4. 解答题 (1) 已知，求的值，且说明变形过程的条件限制。 解析：由知，分子分母同除以得；条件限制为。 答案：；条件限制 (2) 判断等式是否恒成立，并说明理由。 解析：不恒成立；右边有意义需，当时，右边无意义，左边，等式不成立；当时，等式成立。 答案：不恒成立；理由见解析 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $