21.同角三角函数的商数关系直接应用（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 21.同角三角函数的商数关系直接应用（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】同角三角函数的商数关系 ￮ 定义表述：对于任意有意义的角，其正弦值与余弦值的比值等于正切值，该关系称为同角三角函数的商数关系。 ￮ 数学符号/表达式：（，即） ￮ 关键特征：商数关系的成立有分母不为零的限制条件；可双向变形，即（）。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的求值、化简、弦切互化，与分式的运算规则逻辑相通。 2. 【概念2】商数关系的符号与象限对应规则 ￮ 定义表述：根据角所在的象限，结合和的符号，确定的符号，反之亦然。 ￮ 数学符号/表达式： 第一、三象限：与同号，； 第二、四象限：与异号，。 ￮ 关键特征：商数关系的符号由和的符号共同决定，与角的具体大小无关。 ￮ 跨章节关联：与象限角的三角函数符号判断知识点结合，解决含符号判断的求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 商数关系的定义域 仅当时，才成立 忽略的限制条件，在处使用商数关系 分式函数需满足，与商数关系的定义域限制逻辑一致 弦切互化的等价性 由变形得到，变形前后需保持 弦切互化时遗漏定义域限制，或在化简中随意约去含的项 等式变形为时，需满足，与弦切互化的等价性要求一致 三、题型分类与例题精析 题型1：已知和的值，求的值 题型特征：直接给出和的具体值，或可通过已知条件求出这两个值，代入商数关系即可求得。 解题步骤：1. 确定，满足商数关系的使用条件；2. 代入公式进行计算；3. 若涉及象限，结合象限验证符号是否正确。 例题1 已知，，求的值。 举一反三1-1 已知，，求的值。 举一反三1-2 已知，且为第四象限角，求的值。 举一反三1-3 已知，求的值。 题型2：已知的值，求含、的齐次式的值 题型特征：所求代数式的各项中，和的次数相同（即齐次式），可通过分子分母同除以的对应次数，转化为含的式子求值。 解题步骤：1. 观察代数式的结构，确认是、的齐次式；2. 分子分母同除以的最高次幂，将式子转化为仅含的代数式；3. 代入的值计算结果。 例题2 已知，求的值。 举一反三2-1 已知，求的值。 举一反三2-2 已知，求的值。 举一反三2-3 已知，求的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 下列关于商数关系的说法中，正确的是（ ） A．的取值范围是 B． 若，则无意义 C． 当为第三象限角时，的值为正 D． 的符号与的符号一致 3. 填空题 已知，则的值为______。 4. 解答题 (1) 已知，且为第三象限角，求的值。 (2) 已知，求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，则下列式子的值为负的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 已知，则的值为______。 4. 解答题 (1) 已知为第二象限角，且，求的值。 (2) 已知，求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 21.同角三角函数的商数关系直接应用（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】同角三角函数的商数关系 ￮ 定义表述：对于任意有意义的角，其正弦值与余弦值的比值等于正切值，该关系称为同角三角函数的商数关系。 ￮ 数学符号/表达式：（，即） ￮ 关键特征：商数关系的成立有分母不为零的限制条件；可双向变形，即（）。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的求值、化简、弦切互化，与分式的运算规则逻辑相通。 2. 【概念2】商数关系的符号与象限对应规则 ￮ 定义表述：根据角所在的象限，结合和的符号，确定的符号，反之亦然。 ￮ 数学符号/表达式： 第一、三象限：与同号，； 第二、四象限：与异号，。 ￮ 关键特征：商数关系的符号由和的符号共同决定，与角的具体大小无关。 ￮ 跨章节关联：与象限角的三角函数符号判断知识点结合，解决含符号判断的求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 商数关系的定义域 仅当时，才成立 忽略的限制条件，在处使用商数关系 分式函数需满足，与商数关系的定义域限制逻辑一致 弦切互化的等价性 由变形得到，变形前后需保持 弦切互化时遗漏定义域限制，或在化简中随意约去含的项 等式变形为时，需满足，与弦切互化的等价性要求一致 三、题型分类与例题精析 题型1：已知和的值，求的值 题型特征：直接给出和的具体值，或可通过已知条件求出这两个值，代入商数关系即可求得。 解题步骤：1. 确定，满足商数关系的使用条件；2. 代入公式进行计算；3. 若涉及象限，结合象限验证符号是否正确。 例题1 已知，，求的值。 解析： 第一步，判断，可使用商数关系； 第二步，代入公式计算：； 第三步，，，为第二象限角，，结果符号正确。 答案： 举一反三1-1 已知，，求的值。 解析： ，满足商数关系使用条件； 代入公式得； ，，为第三象限角，，结果符号正确。 答案： 举一反三1-2 已知，且为第四象限角，求的值。 解析： 先由平方关系求：； 再代入商数关系：。 答案： 举一反三1-3 已知，求的值。 解析： 由，得； 当时，； 当时，。 答案：或 题型2：已知的值，求含、的齐次式的值 题型特征：所求代数式的各项中，和的次数相同（即齐次式），可通过分子分母同除以的对应次数，转化为含的式子求值。 解题步骤：1. 观察代数式的结构，确认是、的齐次式；2. 分子分母同除以的最高次幂，将式子转化为仅含的代数式；3. 代入的值计算结果。 例题2 已知，求的值。 解析： 第一步，该式是、的一次齐次式，且； 第二步，分子分母同除以，得； 第三步，代入计算：。 答案： 举一反三2-1 已知，求的值。 解析： 式子为一次齐次式，分子分母同除以得； 代入得：。 答案： 举一反三2-2 已知，求的值。 解析： 将式子变形为分母为的齐次式：； 分子分母同除以得； 代入得：。 答案： 举一反三2-3 已知，求的值。 解析： 式子为二次齐次式，分子分母同除以得； 代入得：。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：，选A。 答案：A 2. 多选题 下列关于商数关系的说法中，正确的是（ ） A．的取值范围是 B． 若，则无意义 C． 当为第三象限角时，的值为正 D． 的符号与的符号一致 解析：A、B、C均正确，D错误（符号由和共同决定），故选ABC。 答案：ABC 3. 填空题 已知，则的值为______。 解析：分子分母同除以得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，且为第三象限角，求的值。 解析：由平方关系得，代入商数关系得。 答案： (2) 已知，求的值。 解析：分子分母同除以得，代入得。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：分子分母同除以得，解得，，选C。 答案：C 2. 多选题 已知，则下列式子的值为负的是（ ） A． B． C． D． 解析：，为第二或第四象限角。A式化简为；B式化简为；C式化简为；D式化简为，故选D。 答案：D 3. 填空题 已知，则的值为______。 解析：变形为，分子分母同除以得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知为第二象限角，且，求的值。 解析：由得，代入平方关系得，，为第二象限角，故。 答案： (2) 已知，求的值。 解析：分子分母同除以得，代入得。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $