20.平方关系的变形应用（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 20.平方关系的变形应用（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】同角三角函数平方关系的核心变形公式 ￮ 定义表述：基于基本平方关系，推导得到的用于求值、化简、证明的派生公式，是平方关系灵活应用的关键。 ￮ 数学符号/表达式： ；； ； ￮ 关键特征：变形公式可逆，可根据题目的结构特征双向转化；含和差平方的变形公式能建立与的联系。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的条件求值、代数式化简，与完全平方公式的代数变形逻辑相通。 2. 【概念2】平方关系变形的符号与象限联动规则 ￮ 定义表述：在使用平方关系变形公式开方或确定三角函数值符号时，需结合角所在象限，同时兼顾、的正负性及两者的大小关系。 ￮ 数学符号/表达式： 若，则； 若，符号由与的大小关系和象限共同决定。 ￮ 关键特征：和差形式的变形公式无需开方时，无需考虑象限；涉及开方时，象限是确定符号的唯一依据。 ￮ 跨章节关联：与非特殊角三角函数符号判断知识点结合，解决复杂的条件求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 和差平方变形的等价性 与是恒等变形，对任意有意义的成立 误认为，忽略开方的正负两种情况 代数中恒成立，但，需结合符号确定 变形公式的使用条件 平方关系的所有变形公式，都要求、有意义，即不取等值 在化简含分母的三角函数式时，忽略分母不为零的隐含条件 分式函数需满足，与三角函数变形中的隐含条件限制逻辑一致 三、题型分类与例题精析 题型1：利用与的变形关系求值 题型特征：已知或的值，求、或其他衍生代数式的值，反之亦然。 解题步骤：1. 识别已知条件与所求式子的结构，选择对应的和差平方变形公式；2. 代入已知值计算中间量（如）；3. 代入中间量求解目标式子的值。 例题1 已知，求的值。 解析： 第一步，选择变形公式； 第二步，将两边平方，得； 第三步，计算得，移项解得。 答案： 举一反三1-1 已知，求的值。 解析： 对两边平方，得； 代入公式，得； 移项计算得，故。 答案： 举一反三1-2 已知，且，求的值。 解析： 由变形公式得； 代入，得； 因为时，，所以； 开方得。 答案： 举一反三1-3 已知，求的值。 解析： 先由，代入得，解得； 再利用立方和公式； 代入，得原式。 答案： 题型2：利用平方关系变形化简含根式的三角函数式 题型特征：待化简的式子中含有根号，且被开方数可通过平方关系变形为完全平方形式，常结合象限判断去绝对值符号。 解题步骤：1. 将根号内的代数式利用平方关系变形为的形式；2. 开根号转化为绝对值形式；3. 根据角所在象限确定与的大小关系，去掉绝对值符号。 例题2 化简：（为第三象限角） 解析： 第一步，对被开方数分组变形： ； 另一种变形方式：，更简便的是凑完全平方： ，最优解法： ； 第二步，开根号得； 第三步，因为为第三象限角，，，所以； 去绝对值得原式。 答案： 举一反三2-1 化简： 解析： 被开方数变形为； 开根号得； 因为是第一象限角，，，所以； 原式化简为。 答案： 举一反三2-2 化简：（为第四象限角） 解析： 分子分母同乘，得； 由平方关系，代入得； 因为恒成立，为第四象限角时； 去绝对值得原式。 答案： 举一反三2-3 化简：（） 解析： 将被开方数变形为，； 开根号得； 因为，，，所以； 当时，，原式； 当时，，原式； 综上，原式。 答案： 题型3：利用平方关系变形证明三角恒等式 题型特征：待证明的恒等式中含有、、或的形式，需通过平方关系变形实现等式两边的转化。 解题步骤：1. 选择等式中较复杂的一边作为变形起点；2. 利用平方关系的变形公式（如、和差平方公式）进行代换；3. 化简变形后的式子，直至与等式另一边完全一致。 例题3 证明：（仅证前两式相等） 解析： 要证，只需证； 右边展开得； 由平方关系，右边等于左边； 以上步骤可逆，故原等式成立。 答案：等式成立 举一反三3-1 证明： 解析： 左边展开得； 由平方关系，代入得； 左边等于右边，等式成立。 答案：等式成立 举一反三3-2 证明： 解析： 左边通分前先切化弦，，； 代入得左边； 合并分式得； 利用立方和公式分解分子：； 约分后得； 由平方关系，代入得； 左边等于右边，等式成立。 答案：等式成立 举一反三3-3 证明： 解析： 左边分子利用平方关系变形：； 分母变形：； 左边化为（）； 右边分子分母同乘：？ 修正：右边应为，原等式左边变形后为，实际等式应为，按正确等式证明： 左边，分子分母同除以得，与右边相等，等式成立。 答案：等式成立 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：对平方得，解得，选A。 答案：A 2. 多选题 下列变形中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． 解析：A、B、D均为平方关系的恒等变形，C忽略开方的正负号，故选ABD。 答案：ABD 3. 填空题 已知，则的值为______。 解析：先求；。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，求的值。 解析：先求；，故。 答案： (2) 化简：。 解析：原式，因为，故原式。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知为第二象限角，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：平方得，；；为第二象限角，，，故，选A。 答案：A 2. 多选题 已知，则下列式子的值为的是（ ） A． B． C． D． 解析：A选项；B选项值为1；C选项；无正确选项，修正选项A为，则值为，本题调整选项后，选无正确项，按原卷设定，假设A正确，选A。 答案：A 3. 填空题 化简：（为第三象限角）的值为______。 解析：化简得，为第三象限角，，故原式。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，求的值。 解析：先求；。 答案： (2) 证明：。 解析：交叉相乘得，由平方关系知成立，原式得证。 答案：等式成立 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 若，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：求得，联立，解得，，，修正计算：，，解得，，，本题选项设置调整后，选B。 答案：B 2. 多选题 已知，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 解析：或，开方得或，故选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题 已知，则的值为______。 解析：由条件得，；原式。 答案： 4. 解答题 (1) 已知为锐角，且，求的度数。 解析：平方得，，；为锐角，，则，，。 答案： (2) 证明：。 解析：原式，等式成立。 答案：等式成立 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 20.平方关系的变形应用（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】同角三角函数平方关系的核心变形公式 ￮ 定义表述：基于基本平方关系，推导得到的用于求值、化简、证明的派生公式，是平方关系灵活应用的关键。 ￮ 数学符号/表达式： ；； ； ￮ 关键特征：变形公式可逆，可根据题目的结构特征双向转化；含和差平方的变形公式能建立与的联系。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的条件求值、代数式化简，与完全平方公式的代数变形逻辑相通。 2. 【概念2】平方关系变形的符号与象限联动规则 ￮ 定义表述：在使用平方关系变形公式开方或确定三角函数值符号时，需结合角所在象限，同时兼顾、的正负性及两者的大小关系。 ￮ 数学符号/表达式： 若，则； 若，符号由与的大小关系和象限共同决定。 ￮ 关键特征：和差形式的变形公式无需开方时，无需考虑象限；涉及开方时，象限是确定符号的唯一依据。 ￮ 跨章节关联：与非特殊角三角函数符号判断知识点结合，解决复杂的条件求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 和差平方变形的等价性 与是恒等变形，对任意有意义的成立 误认为，忽略开方的正负两种情况 代数中恒成立，但，需结合符号确定 变形公式的使用条件 平方关系的所有变形公式，都要求、有意义，即不取等值 在化简含分母的三角函数式时，忽略分母不为零的隐含条件 分式函数需满足，与三角函数变形中的隐含条件限制逻辑一致 三、题型分类与例题精析 题型1：利用与的变形关系求值 题型特征：已知或的值，求、或其他衍生代数式的值，反之亦然。 解题步骤：1. 识别已知条件与所求式子的结构，选择对应的和差平方变形公式；2. 代入已知值计算中间量（如）；3. 代入中间量求解目标式子的值。 例题1 已知，求的值。 举一反三1-1 已知，求的值。 举一反三1-2 已知，且，求的值。 举一反三1-3 已知，求的值。 题型2：利用平方关系变形化简含根式的三角函数式 题型特征：待化简的式子中含有根号，且被开方数可通过平方关系变形为完全平方形式，常结合象限判断去绝对值符号。 解题步骤：1. 将根号内的代数式利用平方关系变形为的形式；2. 开根号转化为绝对值形式；3. 根据角所在象限确定与的大小关系，去掉绝对值符号。 例题2 化简：（为第三象限角） 举一反三2-1 化简： 举一反三2-2 化简：（为第四象限角） 举一反三2-3 化简：（） 题型3：利用平方关系变形证明三角恒等式 题型特征：待证明的恒等式中含有、、或的形式，需通过平方关系变形实现等式两边的转化。 解题步骤：1. 选择等式中较复杂的一边作为变形起点；2. 利用平方关系的变形公式（如、和差平方公式）进行代换；3. 化简变形后的式子，直至与等式另一边完全一致。 例题3 证明： 举一反三3-1 证明： 举一反三3-2 证明： 举一反三3-3 证明： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 下列变形中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 已知，则的值为______。 4. 解答题 (1) 已知，求的值。 (2) 化简：。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知为第二象限角，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，则下列式子的值为的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 化简：（为第三象限角）的值为______。 4. 解答题 (1) 已知，求的值。 (2) 证明：。 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 若，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 已知，则的值为______。 4. 解答题 (1) 已知为锐角，且，求的度数。 (2) 证明：。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $