六年级数学期末模拟试卷【培优卷】 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册同步培优讲义

该初中数学同步培优讲义通过模块梳理构建有理数、代数式、方程及几何图形的知识体系，运用表格对比（如分段计费标准）、问题链设计（如动点运动规律）呈现知识脉络，突出方程应用、几何直观等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题夯实运算能力，中档题强化模型意识，如第27题分段计费问题引导建立方程模型，拔高题如第25题“和谐方程”培养创新意识。支持学生自主梳理知识，助力教师实施精准分层教学。

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 六年级数学期末模拟试卷（培优卷） （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列说法正确的是（　） A. 有理数分为正有理数和负有理数 B. 符号相反的两个数叫做互为相反数 C. 0没有倒数，也没有相反数 D. 绝对值等于本身的数是正数和零 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据有理数分类，相反数的定义，倒数及绝对值的性质进行分析即可作答． 【详解】A.有理数分为正有理数和负有理数和零，本选项错误，不符合题意； B.绝对值相等，符号相反的两个数叫做互为相反数，本选项错误，不符合题意； C.0没有倒数，有相反数，本选项错误，不符合题意； D.绝对值等于本身的数是正数和零，本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的分类，相反数的定义，倒数及绝对值的性质，准确掌握知识点是解题的关键． 2. 有理数a、b在数轴上对应的点A、B的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴得到，且，再分别判断各式． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，，，，，， 故正确的有①④⑥，共3个， 故选B． 【点睛】本题考查了数轴，有理数的乘法、加减法则，掌握符号的确定，判断字母值的大小是解决此题关键． 3.下列说法中错误的是（ ） A. 常数项都是同类项 B. 是一次式 C. 是一次式 D. 的系数是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查单项式、多项式定义，系数及次数，同类项定义．熟练掌握定义是解题的关键； 本题可根据同类项、单项式与多项式的次数、单项式系数的相关概念，逐一分析选项即可解答． 【详解】解：A．所有常数项都是同类项，因为它们都可以看作是不含字母，次数为0的单项式，故该选项说法正确，不符合题意； B． 是一个常数项，可看作（x为任意字母），它的次数是0，是零次单项式，不是一次式，故该选项说法错误，符合题意； C．在多项式中，每一项a、、、、、6的次数最高为1，所以它是一次式，故该选项说法正确，不符合题意； D．在单项式中，数字因数是，所以它的系数是，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 4. 方程去分母后，所得的式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用去分母的方法：等式两边同乘以6，化简即可． 【详解】解：等式两边同乘以6得：，即， 故选：B 【点睛】本题考查解分式方程中的去分母，解题的关键是掌握去分母的法则：等式两边同乘以最简公分母． 5. 将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与一定相等的是（ ） A ②③ B. ①② C. ③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定答案． 【详解】解：由图①知，，则，故与不一定相等； 由图②知，根据同角的余角相等得：； 由图③知，根据等角的补角相等得：； 由图④知，由三角形内角和定理得，由与互补可得，故与不相等； 综上所述，与一定相等的是②③． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键． 6. 张昆早晨去学校共用时分钟．他跑了一段，走了一段，他跑步的平均速度是米/分钟，步行的平均速度是米/分钟；他家离学校的距离是米，如果他跑步的时间为分钟，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设他跑步的时间为分，则步行的时间为分钟，根据路程＝速度×时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设他跑步的时间为分，则步行的时间为分钟， 依题意，得：． 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 的倒数是________． 【答案】 【解析】 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，根据题意计算即可． 【详解】根据题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了倒数的概念，根据倒数的概念列出算式是解题的关键． 8. 比较大小______________（填“>” “<” “=”） 【答案】< 【解析】 【分析】先化简，再根据有理数大小的比较方法进行比较即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：<. 【点睛】本题考查了相反数，绝对值，有理数大小比较，明确相反数、绝对值的定义，掌握比较大小的方法是解题的关键. 9. 已知，异号，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的定义以及分类讨论的思想解决此题． 【详解】解：①当，时， 原式． ②当，时， 原式． 综上所述， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查绝对值，有理数的除法运算，熟练掌握绝对值、分类讨论的思想是解决本题的关键． 10. 计算：＝_______ 【答案】 【解析】 【分析】逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 11.若m，n互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的加减－化简求值以及相反数的定义．去括号后合并同类项，直接利用相反数的定义分析得出答案． 【详解】解：∵m、n互为相反数， ∴， 则 ． 故答案为：． 12. 若，为整数，且，则_________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据绝对值的性质以及偶数次幂的性质进行计算即可． 【详解】∵，为整数，且， ∴，，或，， ∴，或；或，， ∴，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了绝对值，有理数的乘方，掌握绝对值的性质以及有理数乘方的性质是解题的关键． 13.计算得 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 先通分，然后相减后先去括号，再合并同类项求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如果代数式与互为相反数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 移项合并得：， 解得：． 故选：． 【点睛】此题考查了解一元一次方程以及相反数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 15．将长方形分割成如图所示的7个正方形，其中两个正方形内的三块空白为长方形．若两个阴影部分周长之和为68，则长方形的周长为 ． 【答案】58 【分析】题目主要考查列代数式，设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y，则，设，根据题意确定，即可得出边长，然后求周长即可，找准图中各边的关系是解题关键． 【解析】解：设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y， 则左下角正方形的边长为，右上角正方形边长为， ∴， 设，则， ∵两个阴影部分周长之和为68， ∴即， ∴， 解得：， ∴正方形①的边长为，正方形②的边长为， ∴， ∴长方形的周长为：， 故答案为：58． 16.一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差，分两种情况：当点E在点F左侧时，当点E在点F右侧时，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当点E在点F左侧时，如图， 由于翻折，则，， 由图知，，即， ∴， ∴； 当点E在点F右侧时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 17.古希腊 Pythagoras学派把自然数与小石子堆放的形状比拟，借此把自然数分类，图中的五角形数别表示分别表示数1、5、12、22、…，那么第n个五角形数是 (n为正整数) 【答案】 【详解】由图像可知，第一个图有1个实心点 第2个图有1+1×3+1=5个实心点 第3个图有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点 第4个图有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点 …… 以此类推，第n个图有：1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3(n-1)+1=3[1+2+3+…+(n-1)]+n个实心点 故答案为. 18. 如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查几何图形角度的计算，余角的定义，分两种情况：当在内部时，当在外部时，画出示意图，进而可得出答案． 【详解】解：∵，比大， ∴， ∴， ∴，则， ∵与互余， ∴， ∴， 如图，当在内部时， 则； 如图，当外部时， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 三、简答题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据，，即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查分数乘法，解题的关键是掌握分数的乘法，，的运用． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 21. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可得到结果； （2）先去括号，再合并同类项，即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 解方程：. 【答案】 【解析】 【分析】按步骤：去括号，移项，合并同类型，系数化为，进行求解即可． 【详解】解：去括号，得：， 移项，得：， 合并同类型，得：， 系数化为，得：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 23. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】利用分数的基本性质，先将含有的小数化为整数，再按步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可． 【详解】解∶原方程可化为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 24.如图，已知点是直线上的一点，，．当比的余角大时，求的度数． 【答案】/10度 【分析】设，则，由，得，进而根据得，然后根据比的余角大得，由此解出即可得的度数． 此题主要考查了互为余角的概念，角的计算，准确识图，理解互为余角的概念，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【详解】解：设， ， ， ， ， 点是直线上的一点， ， ， 即， 的余角为：， 比的余角大， ， 解得：， 的度数为． 故答案为：． 四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分） 25.定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键． （1）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义解答即可； （2）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义得到关于m的方程，解出即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得； ∵， ∴方程与方程是“和谐方程”． （2）解：由，解得； 由，解得； ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， 解得． 26. 如图，已知点O是直线上的点，． （1）图中与互补的角有 ； （2）用直尺和圆规作出的角平分线（不写作法，保留作图痕迹．）； （3）如果射线、分别表示从点O出发的东、西两个方向，那么射线表示 （请填方位角）． 【答案】（1）和 （2）见解析 （3）北偏东 【解析】 【分析】（1）根据互为补角的两个角和为，结合已知可得结果； （2）根据角平分线的作法作图即可； （3）求出，再根据方位角可得结果． 【小问1详解】 解：∵点O是直线上的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与互补的角有和； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，表示正北方向， 则， ∵， ∴， ∴射线表示北偏东． 【点睛】本题考查了尺规作图，补角的定义，方位角，解题的关键是掌握角平分线的作法以及方位角的辨别． 27. 超市规定某品牌矿泉水销售方法如下： 购买矿泉水的数量 不超过30瓶 30以上但不超过50瓶 50瓶以上 每瓶价格 3元 元 2元 学校举行运动会时，六（）班集体购买这个品牌的矿泉水，由于天气炎热，第一次买的水不够喝，又买了一次（第一次多于第二次）．已知两次共购买水瓶，共付元． （1）如果六（）班第一次直接买瓶水，可以少付多少钱？ （2）求这个班级第一次和第二次分别购买多少瓶水？ 【答案】（1）元 （2）第一次购买瓶矿泉水，第二次购买瓶矿泉水 【解析】 【分析】（1）计算直接买瓶水的费用为（元），计算两种方式购买费用的差即可． （2）设六（）班第一次购买瓶矿泉水，依题意可分为三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，直接买瓶水的费用为（元）， 故少支付：（元）． 【小问2详解】 解：设六（）班第一次购买瓶矿泉水，依题意可分为三种情况： ①第一次买的超过瓶，第二次买的不超过瓶， 依题意得：， 解得：．（不符题意） ②第一次买的超过瓶但不超过瓶，第二次买的不超过瓶， 依题意得：， 解得：． ②次购买的瓶数都是超过瓶但不超过瓶． 依题意得：元，不符合题意． 答：六（）第一次购买 瓶矿泉水，第二次购买 瓶矿泉水． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键． 28. 如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，O为原点，若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）． （1）求a，b的值． （2）当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：①的值为定值；②的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值． （3）当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值． 【答案】（1） （2）①正确，该定值为2 （3）P运动的时间或t＝4或t＝6或 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的非负性，结合两个非负数之和等于零，依此分别建立等式求解即可； （2）根据中点坐标公式分别表示出点E和点F表示的数，再把AB、OP和EF分别表示出来，再代入①②两式计算化简即可求解； （3）首先推出当点P运动到6对应的点时t＝8，此后PB>1恒成立，由于Q在OB间往返运动．则PQ＝1不会再成立，结合点P运动到P时所用的时间，则可确定t的范围；然后分，，三种情况讨论，根据分别建立关于的方程求解，即可解答． 【小问1详解】 由题得，∵，， ∴，，∴a+2＝0，b－5＝0，∴． 小问2详解】 设P点对应的数为x，则，∵OB与AP的中点分别为E、F，则E点对应的数为，F点对应的数为，则AB＝7，OP＝x，， 对于①有为定值， 对于②有不为定值． ∴①正确，该定值为2． 【小问3详解】 当点P运动到6对应的点时t＝8，此后PB>1恒成立，由于Q在OB间往返运动． 则PQ＝1不会再成立，当点P运动到O时，t＝2， ∴，且由题得P点对应的数为t－2， 点Q第一次到达O时，， 点Q第一次到达B时，， 点Q第二次到达O时，， ∴①时，Q点对应的数为． 则， I． 11－3t＝1，， II． 11－3t＝－1，t＝4． ②时，Q点对应的数为， ， I．t－7＝1，t＝8（舍）， II．t－7＝－1，t＝6． ③时，Q点对应的数为，， I． 21－3t ＝1，（舍）， II． 21－3t ＝－1，． 综上P运动的时间或t＝4或t＝6或． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，数轴，数轴上两点间的距离公式，中点坐标公式，解题关键是要理解题意，根据条件找出合适的等量关系列出方程，再求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 六年级数学期末模拟试卷（培优卷） （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列说法正确的是（　） A. 有理数分为正有理数和负有理数 B. 符号相反的两个数叫做互为相反数 C. 0没有倒数，也没有相反数 D. 绝对值等于本身的数是正数和零 2. 有理数a、b在数轴上对应的点A、B的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3.下列说法中错误的是（ ） A. 常数项都是同类项 B. 是一次式 C. 是一次式 D. 的系数是 4. 方程去分母后，所得的式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与一定相等的是（ ） A ②③ B. ①② C. ③④ D. ②③④ 6. 张昆早晨去学校共用时分钟．他跑了一段，走了一段，他跑步的平均速度是米/分钟，步行的平均速度是米/分钟；他家离学校的距离是米，如果他跑步的时间为分钟，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 的倒数是________． 8. 比较大小______________（填“>” “<” “=”） 9. 已知，异号，，则________． 10. 计算：＝_______ 11.若m，n互为相反数，则的值为 ． 12. 若，为整数，且，则_________． 13.计算得 ． 14. 如果代数式与互为相反数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 15．将长方形分割成如图所示的7个正方形，其中两个正方形内的三块空白为长方形．若两个阴影部分周长之和为68，则长方形的周长为 ． 16.一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D 的左侧）．将，分别沿C，D 两点翻折（翻折处长度不计），A，B 两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为 ． 17.古希腊 Pythagoras学派把自然数与小石子堆放的形状比拟，借此把自然数分类，图中的五角形数别表示分别表示数1、5、12、22、…，那么第n个五角形数是 (n为正整数) 18. 如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是__________． 三、简答题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 19. 计算： 20. 计算：． 21. 化简： （1）； （2）． 22. 解方程：. 23. 解方程：． 24.如图，已知点是直线上的一点，，．当比的余角大时，求的度数． 四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分） 25.定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； 26. 如图，已知点O是直线上的点，． （1）图中与互补的角有 ； （2）用直尺和圆规作出的角平分线（不写作法，保留作图痕迹．）； （3）如果射线、分别表示从点O出发的东、西两个方向，那么射线表示 （请填方位角）． 27. 超市规定某品牌矿泉水销售方法如下： 购买矿泉水的数量 不超过30瓶 30以上但不超过50瓶 50瓶以上 每瓶价格 3元 元 2元 学校举行运动会时，六（）班集体购买这个品牌的矿泉水，由于天气炎热，第一次买的水不够喝，又买了一次（第一次多于第二次）．已知两次共购买水瓶，共付元． （1）如果六（）班第一次直接买瓶水，可以少付多少钱？ （2）求这个班级第一次和第二次分别购买多少瓶水？ 28. 如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，O为原点，若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）． （1）求a，b的值． （2）当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：①的值为定值；②的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值． （3）当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $