6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

基础知识巩固练

知识点1　平面向量数量积的坐标运算

1.已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=(　　)

A.-5        B.-3 C.3    D.5

2.已知向量a=(0,-2),b=(2,t),若向量b在向量a上的投影向量为a,则a·b=(　　)

A.-1       B.-2 C.2   D.1

3.已知向量a=(2,1),b=(3,6),若c=ta+b,且3a·c=b·c,则实数t=(　　)

A.3       B.4 C.5   D.6

4.在四边形ABCD中,=2,且AD=CD=1,AD⊥CD,则·= 　　　　. 

知识点2　平面向量的模的坐标表示

5.已知向量a,b满足a=(-3,0),b=(0,-2),则|a-2b|=　(　　)

A.1 B.3 C.5 D.7

6.已知向量a=(2,1),|b|=1,且|a+b|=|a-b|,则b的坐标可以是(　　)

A.            B.         C. D.

7.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,a-b=(2,),则|3a+b|=　　　　. 

知识点3　平面向量的夹角的坐标表示

8.已知向量a=(3,0),b=(0,3),则a与a-b的夹角等于(　　)

A.30°             B.45°           C.60°           D.135°

9.已知向量a=(λ,1),b=(2,3),若a与b的夹角θ是锐角,则实数λ的取值范围是(　　)

A.

B.

C.∪

D.∪

10.已知a=,b=(1,),则向量a,b的夹角的余弦值为　　　　. 

 

 

 

 

 

 

知识点4　向量垂直的坐标表示

11.已知平面向量a=(x-1,4),b=(2,x+3),若a⊥b,则x=(　　)

A.-2         B.-       C. D.5

12.已知向量a=(4,-2),b=(x-1,2),若a⊥b,则|a-b|=(　　)

A.3       B.2       C.3 D.5

13.已知O为坐标原点,=(-2,1),=(0,2),且∥,⊥,求点C的坐标.

 

 

 

 

 

 

 

 

　　　　　　　　　　　　　　　　

综合能力提升练

14.已知向量a=(10sin θ,1),b=(cos θ,3),若a⊥b,则tan θ=(　　)

A.-或-3 B.或-2         C.或3 D.-或-2

15.在平面四边形ABCD中,=(3,-2),=(4,6),则该四边形的面积为(　　)

A.13             B.26           C.2 D.4

16.在△ABC中,BC=6,AB=4,∠CBA=,D为AC的中点,E在BC上,且·=0,则·=(　　)

A.16          B.12          C.8          D.-4

17.已知△ABC是边长为6的等边三角形,D,E分别是AB,AC上的点,满足=,2=,连接CD,BE交于点G,则·=(　　)

A.-         B.          C.          D.-

18.(多选)已知向量a=(1,3),b=(2,-4),则下列结论正确的是(　　)

A.(a+b)⊥a

B.|2a+b|=

C.向量a,b的夹角为

D.a·b=-10

19.设向量m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,ad+bc).若已知p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则q的坐标为　　　　. 

20.已知向量a=(2,0),b=.

(1)若(a+b)⊥(a-λb),求实数λ的值;

(2)若ka+b与2a-b的夹角为钝角,求实数k的取值范围.

答案

1.B　∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),∴a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.

2.D　根据题意,得·=a,即=,

易得a·b=0×2+(-2)·t=-2t,|a|2=0+4=4,所以=,解得t=-,所以a·b=-2t=1.故选D.

3.A　易得c=t(2,1)+(3,6)=(2t+3,t+6),

所以3a·c=3(4t+6+t+6)=15t+36,b·c=6t+9+6t+36=12t+45,

所以15t+36=12t+45,t=3.故选A.

4.答案　3

解：　建立如图所示的平面直角坐标系,

由AD=CD=1,=2=,知B(-2,0),A(-1,1),D(0,1),则=(1,1),=(2,1),所以·=1×2+1×1=3.

5.C　因为a=(-3,0),b=(0,-2),所以a-2b=(-3,4),所以|a-2b|=5,故选C.

6.A　设b=(x,y),因为|b|=1,所以x2+y2=1①,

由|a+b|=|a-b|得a·b=0,又a=(2,1),所以2x+y=0②,

由①②得或所以b的坐标可以是,故选A.

7.答案　3

解：　由|a|=1,|b|=3,a-b=(2,)得|a-b|2=a2+b2-2a·b=12+32-2a·b=22+()2=10,∴a·b=0,故|3a+b|===3.

8.B　由a=(3,0),b=(0,3)可得a-b=(3,-3),

故cos<a,a-b>===,

又0°≤<a,a-b>≤180°,所以<a,a-b>=45°,故选B.

变式14-1　C　由题意可知,|a|=1,|b|=,|b-a|===,

所以cos<a,b-a>===,

又0°≤<a,b-a>≤180°,所以<a,b-a>=45°.

故选C.

9.D　因为a与b的夹角θ是锐角,

所以a·b=(λ,1)·(2,3)=2λ+3>0且3λ-1×2≠0,

所以λ>-且λ≠,

所以实数λ的取值范围是∪.故选D.