精品解析：山东省青岛市第三十三中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

山东省青岛第三十三中学2025－2026学年第一学期阶段性检测（三） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，与点在同一象限的点为（ ） A. B. C. D. 3. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 4. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个四位数，千位数字是个位数字的两倍，若交换千位和个位数字，得到的新四位数比原数小2997，则原数的个位数字是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6. 在同一直角坐标系内一次函数和的图象如图所示，关于，的方程组的解为，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 《算法统宗》书中原文为：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各有几个？设甜果x个，苦果y个，列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 9. 射击比赛中，某选手的10次射击成绩如表所示： 成绩/环 10 9 8 7 6 次数 3 4 1 0 2 则该选手的平均成绩是 ______环． 10. 如图，正方形的面积为3，，则数轴上点A对应的数是______． 11. 已知点到轴的距离是3，则______． 12. 若关于，的二元一次方程组无解，则的值是______． 13. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，以点为圆心，为半径画弧与轴负半轴交于点，则线段的长为______． 14. 如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 15. 将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）计算：的面积是 ，边上的高是 ． 17. 计算 （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 18. 任意实数x均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数，例如：，其中，；又如，其中， 回答下列问题： （1）______，______； （2）______； （3）若，，则所有可能的值为______． 19. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 20. 周末，甲、乙两名同学相约在同一路段进行长跑训练．二人在起点会合后，甲出发时，乙出发，结果乙比甲提前到达终点．二人到达终点即停止，全程匀速．如图①，设甲离开起点后的时间为，甲离开起点的路程与之间的函数关系式为，图象为线段；乙离开起点的路程与之间的函数关系用线段表示，请根据图象中的信息解决下列问题： （1）图中的值为______，的值为______； （2）求线段对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； （3）直接写出点的坐标，并解释点的坐标表示的实际意义； （4）设甲离开起点后的时间为，甲乙两人之间的距离为，请在图②坐标系中画出与的函数图象． 21. 如图①，在等腰直角中，，，在轴上，，点是轴上一动点，当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向运动，点为轴上一点，连接、、，设运动时间为秒． （1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； （2）当秒时，的面积是11，求此时点的坐标； （3）如图②，当点运动到轴的正半轴时，是否存在以点、、为顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛第三十三中学2025－2026学年第一学期阶段性检测（三） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数以及算术平方根，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，与点在同一象限的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不同象限中点的符号特征．熟练掌握不同象限中点的符号特征是解题的关键．根据不同象限中点的符号特征：第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：；逐一进行判断即可． 【详解】解：在第四象限， A．在第二象限，不符合题意； B．在y轴上，不符合题意； C．在第四象限，符合题意； D．在第二象限，不符合题意． 故选：C． 3. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入，得， 所以方程组的解是， 故选：B． 4. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意． 故选：C． 5. 已知一个四位数，千位数字是个位数字的两倍，若交换千位和个位数字，得到的新四位数比原数小2997，则原数的个位数字是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设原数的个位数字是x，十位数字为y，百位数字为z，则千位数字是，根据“若交换千位和个位数字，得到的新四位数比原数小2997”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字为y，百位数字为z，则千位数字是， 根据题意得：， 即， 解得：， ∴原数的个位数字是3． 故选：B． 6. 在同一直角坐标系内一次函数和的图象如图所示，关于，的方程组的解为，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的关系与二元一次方程组，理解点在图象上点的横纵坐标满足它的解析式，求图象交点的坐标常转化为求方程组的解是解答本题的关键．方程组的解实际上是两个一次函数图象的交点的横纵坐标，而交点在第二象限，从而得到，的范围． 【详解】解：关于，的方程组的解即是一次函数和的交点坐标， 由图象可知，交点在第二象限， ，， 故选：D． 7. 《算法统宗》书中原文为：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各有几个？设甜果x个，苦果y个，列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，先表示出一个甜果和一个苦果的价格，再根据总个数相等，及总价相等列出方程组即可. 【详解】解：设甜果x个，苦果y个，则一个甜果为文，一个苦果为文，根据题意， 得. 故选：A. 8. 两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数图象与函数解析式的关系式，是解题的关键．利用一次函数图象与，的关系，逐项判断即可． 【详解】解：、如果过第一、二、三象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故A错误； 、如果过第一、二、三象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故B错误； 、如果过第一、三、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，故C正确； 、如果过第二、三、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故D错误． 故选：C． 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 9. 射击比赛中，某选手的10次射击成绩如表所示： 成绩/环 10 9 8 7 6 次数 3 4 1 0 2 则该选手的平均成绩是 ______环． 【答案】8.6 【解析】 【分析】该题考查了加权平均数，根据平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该选手的平均成绩是（环）， 故答案为：8.6． 10. 如图，正方形的面积为3，，则数轴上点A对应的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握正方形的面积公式． 先根据已知条件，利用正方形面积公式，求出正方形边长，从而得到即可． 【详解】解：正方形的面积为3， ， 数轴上点A对应的数是， 故答案为：． 11. 已知点到轴的距离是3，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】∵点到轴的距离是3， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若关于，的二元一次方程组无解，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组无解得出的值是解题的关键．方程组中的两个方程直接相减得到一元一次方程，根据方程组无解得到，即可求出的值． 【详解】解：， ，得， ， 关于，的二元一次方程组无解， ， ， 故答案为：． 13. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，以点为圆心，为半径画弧与轴负半轴交于点，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：在一次函数中， 当时，，当时，， ，， 由勾股定理得：， ， ， 故答案为： 14. 如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得：负值已舍去 故答案为： 15. 将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，过点P作轴于A，设直线与x轴交于B，由题意可得，据此求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求解，求出点B的坐标是解题的关键． 【详解】如图，过点P作轴于A，设直线与x轴交于B 由题意可得，， ， ， ， ， 设直线解析式为：过点得 解得： 故直线解析式为： 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）计算：的面积是 ，边上的高是 ． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查作图一轴对称变换，勾股定理． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得出答案； （2）用梯形的面积减去2个三角形的面积计算求得的面积，再利用勾股定理求得的长，然后利用三角形的面积公式列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为， 由勾股定理得，， 设边上的高为h，则， 解得． 17. 计算 （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1）1； （2）6； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组． （1）先利用二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的减法运算； （2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后进行同类二次根式即可； （3）先利用加减消元法求出，然后利用代入法求出x，从而得到方程组的解； （4）先原方程组整理为，再利用得③，然后利用得，利用得，从而得到原方程组的解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解为； 【小问4详解】 解：原方程组整理为， 得， 即③， 得， 得， 所以原方程组的解为． 18. 任意实数x均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数，例如：，其中，；又如，其中， 回答下列问题： （1）______，______； （2）______； （3）若，，则所有可能的值为______． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是理解已知条件中新定义的含义． （1）先估算的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的基本性质求出的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （3）根据已知条件的定义，求出，的取值范围，再利用不等式的性质求出的范围，进行解答即可． 【小问1详解】 解：， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ， ， ， 即， ， 故答案为：； 【小问3详解】 ，， ，， ， 或， 故答案为：或． 19. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元； （2）共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆； （3）购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元． 【解析】 【分析】（1）设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元，根据“辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计120万元；3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计132万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，解方程即可得到结论； （3）设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元，根据总利润两种汽车利润之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元， 根据题意得：， 解得， 答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元； 【小问2详解】 解：设购进A型汽车m辆，B型汽车n辆，则， ， ，n均为正整数， 或或， 共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆； 【小问3详解】 解：设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元， 根据题意得：， ， 随m的增大而减小， 当时，w最大，最大值为22000， 此时， 购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元． 【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组，二元一次方程，一次函数解析式． 20. 周末，甲、乙两名同学相约在同一路段进行长跑训练．二人在起点会合后，甲出发时，乙出发，结果乙比甲提前到达终点．二人到达终点即停止，全程匀速．如图①，设甲离开起点后的时间为，甲离开起点的路程与之间的函数关系式为，图象为线段；乙离开起点的路程与之间的函数关系用线段表示，请根据图象中的信息解决下列问题： （1）图中的值为______，的值为______； （2）求线段对应的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； （3）直接写出点的坐标，并解释点的坐标表示的实际意义； （4）设甲离开起点后的时间为，甲乙两人之间的距离为，请在图②坐标系中画出与的函数图象． 【答案】（1）20，18 （2） （3），甲出发后，乙在距离起点处追上甲 （4）见解答 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式，二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）将代入，解方程求出对应的值，即的值，再根据结果乙比甲提前到达终点计算的值即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）设，将该坐标分别代入线段和对应的函数表达式，二者联立建立关于和的二元一次方程组并求解，从而求得点的坐标并描述其实际意义即可； （4）按照不同的取值范围，分别求出关于的函数关系式并画出其图象即可． 【小问1详解】 解：当时，得， 解得：， ， ， 故答案为：20，18． 【小问2详解】 解：设线段对应的函数表达式为为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴线段对应的函数表达式为． 【小问3详解】 解：设， 根据题意，得， 解得． 答：点的坐标为，其实际意义是甲出发后，乙在距离起点处追上甲． 【小问4详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上，， 其图象如图所示： 21. 如图①，在等腰直角中，，，在轴上，，点是轴上一动点，当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向运动，点为轴上一点，连接、、，设运动时间为秒． （1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； （2）当秒时，的面积是11，求此时点的坐标； （3）如图②，当点运动到轴的正半轴时，是否存在以点、、为顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）存在，，点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握分类讨论思想的运用． （1）如图1，过点作于，由等腰直角三角形的性质得出，则可得出答案； （2）分两种情况：①当点在轴的正半轴时，如图 2，②当点在轴的负半轴时，如图3，根据三角形的面积差列方程可解答； （3）分三种情况：如图4和图5和图6，作辅助线构建全等三角形即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ， 连接， 分两种情况：①当点在轴的正半轴时，如图 2 ， ∵， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②当点在轴的负半轴时，如图3， ∵， ∴， ∴， ∴（不符合题意，舍）； 综上，点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在， 分三种情况：①如图4，， 过点作轴于，过点作于，过点作于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 此时点； ②如图5，， 过点作轴于，过点作于，过点作于，则， 同理得：， ， ， ， ， ， ； ③如图6，， 过点作轴于，过点作于，过点作于，则， 同理得：， ， ， ， ， ， ； 综上，，点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $