1.5.1矩形的性质（题型专练）数学新教材湘教版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.5.1矩形的性质 题型一矩形性质的理解 题型二根据矩形的性质求角度 题型三根据矩形的性质求线段长度 基础达标练 题型四根据矩形的性质求周长 题型五根据矩形的性质求面积 题型六利用矩形的性质进行证明 1.5.1矩形的性质 题型一与矩形性质相关的几何多结论问题 题型二矩形与折叠问题 能力提升题 题型三矩形与旋转问题 拓展培优练 基础达标题 基础达标练 题型一矩形性质的理解 1,下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是() A.对边平行且相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角相等 2.下列性质中，矩形不一定具有的性质是() A.四边相等 B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角相等 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是() A.AB=BC B.∠BAC=∠ACB C.AC⊥BD D.AC=BD 4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A.等腰三角形B.矩形 C.正五边形 D.平行四边形 5.矩形是轴对称图形，如果邻边不相等，则它的对称轴有() 1 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 题型二根据矩形的性质求角度 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若LACB=18°，则∠AOB的度 数是() A D B C A.72 B.54° C.36° D.32° 7.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若 ∠ODA=30°，则∠EA0的度数为() D 0 E A.45° B.30 C.20 D.15o 8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E,若 ∠C0D=50°，则∠CDE的度数为() A.25° B.30° C.35 D.50° 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.延长BC至点E,使AD=CE,已 知LE=25°，则∠A0B的度数是() D E A.50° B.40° C.45° D.650 10.如图，直线a∥b,矩形ABCD的顶点A、D分别在直线b、a上，若∠2=46°，则∠1的 度数为() 2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a B A A.46° B.44° C.56° D.54 11.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E,连接DE,若∠ADE=65°，则 ∠AED的度数为() A.60° B.70° C.110% D.120° 12.如图，在矩形ABCD中，点E在AB的延长线上，且AE=BD,∠E=70°，则∠DBC的 度数为() A.20 B.40° C.50° D.70° 13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,∠BCD的角平分线交AB于点E, 连接OE,若∠D0C=120°，则LBE0的度数为() D C 0 A B E A.65° B.70° C.75° D.80° 14.如图，四边形ABCD是矩形，E为BC边上的一点，作EG⊥AC于点G,连接AE,F为 AE的中点.连接BF,GF. 3 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)求证：BF=GF; (2)若∠ACB=40°，求∠BFG的度数. 题型三根据矩形的性质求线段长度 15.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点0，AB=6,OA=4,则AD的长 为() B A.10 B.35 c.2 D.4 16,如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,AE垂直平分OB,E是垂足，若 AB=√5，则AD的长是() A D 0 B A.2 B.3 C.2W5 D.5 17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E、F分别是AD、A0的中 点，若EF=4,则AC的长是() y E D ○ B C A.16 B.14 C.12 D.8 4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E在边AD上，连接CE, CE=AE,F是AE的中点，连接OF,AD=8,DC=4,则线段OF的长为() A D 3 A. 2 8. 3 0.S 19.如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于2BD的 长为半径作弧，两弧相交于点E和F;②作直线EF分别与DC,DB,AB交于点M,O, N.若DM=5,CM=3,则MN的长度为() YE B F A.25 B.5 C.4 D.32 20.如图，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=90°，∠EAD=30g,F是AD的 中点，EF=4,，求BE的长度. 题型四根据矩形的性质求周长 21.如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F,若DE=2,矩 形ABCD的周长为16，且CE=EF,则BF的长() A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.如图1，为一个长方形信封平面示意图，现沿其对角线对折后，得到一个新的图形如图 2,若这个长方形的长为17.6cm,宽为12.5cm,则图2中阴影部分的周长是() 图1 图2 A.25cm B.30.1cm C.35.2cm D.60.2cm 23.“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺 是不可能作出的.在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，ABCD是长方形，F是 DA延长线上一点，G是CF上一点，并且LACG=LAGC,LGAF=LF, E B (1)求证：∠ACB=3∠ECB; (2)若∠F=15°，长方形ABCD面积为4，请直接写出ABC的周长=一 题型五根据矩形的性质求面积 24.在矩形ABCD中，对角线AC=10,BC=8,则矩形的面积为() A.48 B.60 C.80 D.96 25,如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AB, CD于点E,F,若矩形面积为12，则阴影部分的面积为() D A.3 B.6 C.4 D.8 26,如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点M为OD的中点，连接AM,若 AB=4,BC=6,则△A0M的面积为() 6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B A.3 B.4 C.6 D.2 27.如图内，P点是长方形内任意的一点.阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较() A.阴影部分的面积大 B.空白部分的面积 C.一样大 D.无法确定 28.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD上不与A和D重合的一个动点，过 点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E,F.求PE+PF的值为() D B A.5 B.2.5 12 c.2 29,一块长方形菜地分成甲、乙、丙三个部分（乙是平行四边形），如图（单位：m).下 面结论不正确的是() 2 4 多 4 丙 A.甲的面积是4m2 B.乙的面积是16m2 c.丙的面积是14m2 D.长方形菜地的面积是32m2 30.如图，矩形ABCD的面积为20cm,对角线交于点O;以AB、A0为邻边作平行四边 形AOCB，,对角线交于点Q;以AB、AO为邻边作平行四边形AO,C,B;;依此类推， 则平行四边形AO,C,B的面积为() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 3 B A. c C.5cm2 0. 31如图，平行四边形ABCD,EF分别为BC、AD上的点，满足AF=CE,分别连接AE, CF. B (1)试说明四边形AECF是平行四边形； (2)若四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=8,AE=5,求四边形AECF的面积. 题型六利用矩形的性质进行证明 32.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE,AD=DE,点F是DE上一点， ∠AFD=90°，求证：AF=CD. D B E 33.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,CE⊥BD于点E,AF⊥BD于点F, 连接AE与CF. B (1)求证：四边形AFCE是平行四边形； (2)若AE=CD,∠DCE=35°，求∠BCF的度数. 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.如图，E、F是矩形ABCD边BC上的两点，AF=DE. A D B E (1)若∠DAF:∠FAB=5:7,则∠AFB=; (2)求证：BE=CF. 35.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠EAC=∠BAC,CE⊥AE,交AD 于点F,连接DE、OF, B (1)求证：OF⊥AC; (2)已知 (从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号)，请判断四边形AODE 的形状，并证明你的结论， 条件①：∠BAC=2LACB; 条件②：△ABO是等边三角形 (注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分) 36.如图，在矩形ABCD中，连接AC,将线段CA绕点C顺时针旋转一定角度得到线段CE ,点E恰好落在CD的延长线上，过点E作EF⊥AC于点F,求证：EF=CB, E D B 37如图，将口ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接DE,EC,DE交BC于点O. 9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ABD≌△BEC; (2)连接BD,若四边形BECD是矩形，求证：∠BOD=2∠A. 38.如图，在矩形ABCD中，点E为AB边上一点，ED平分∠AEC,F为DE中点，连接 AF,BF. D A E B (1)求证：CE=CD; (2)求证：AF⊥BF. B 能力提升题 题型一与矩形性质相关的几何多结论问题 39,如图，把长方形纸片ABCD沿BD折叠，点C落到点E处，AD与BE相交于点F,连 接AE,则下列结论中错误的是() A.∠ABE=∠DBE B.BF=DF C.△ABF≌△EDF D.AE∥BD 4O.如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE交AB于点E,DE=DC,CH⊥DE于 点H,连结AH并延长，交CB于点F,连结CE.给出下列结论：①AB=√2AD;② ∠CEB=∠675：国：D4E的面积是矩形ABCD面积的字@H=CI,回CBE≌CHE 10 1.5.1 矩形的性质 基础达标练 题型一 矩形性质的理解 1．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等． 矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 【详解】解：A. 对边平行且相等， B. 对角线互相平分，D. 对角相等， 均是矩形和平行四边形都具有的性质． C.对角线相等是矩形具有，而平行四边形不一定具有的性质． 故选：C． 2．下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质：矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：根据矩形的性质可知，矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，但矩形的邻边不一定相等， 故A符合题意，B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意， 故选：A． 3.如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴不一定正确，故A不符合题意； ，不一定正确，故B不符合题意； 不一定正确，故C不符合题意； 一定正确，故D符合题意， 故选：D． 4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A．等腰三角形 B．矩形 C．正五边形 D．平行四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 5．矩形是轴对称图形，如果邻边不相等，则它的对称轴有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的轴对称性，关键是明确矩形的对称轴是两对边中点所在的直线． 矩形是轴对称图形，根据其轴对称性可得到对称轴的数量． 【详解】如图，矩形的对称轴是两对边中点所在的直线，对称轴共2条， 故选：B 题型二 根据矩形的性质求角度 6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质． 由矩形的性质，结合等边对等角，可得，由三角形外角的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 9．如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是矩形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 证明出四边形是平行四边形，得到，，求出，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】四边形是矩形， ，． ， 四边形是平行四边形． ，． ． ，， ． ， ． 故选：A． 10.如图，直线，矩形的顶点A、D分别在直线b、a上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．根据平行线的性质得出，结合矩形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ∵四边形是矩形， ， ， 故选：B． 11.如图，在矩形中，平分交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握矩形的性质是解题的关键． 由矩形的性质以及角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∵， ∴． 故选B． 12.如图，在矩形中，点在的延长线上，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据矩形的性质得出，即可求出，进而可求出，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【详解】解：连接，交于点O，如图，   四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 13.如图，在矩形中，对角线，交于点，的角平分线交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是关键．证明是等边三角形，得到，，证明，根据三角形内角和定理和等边对等角即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线，交于点， ∴，， ， ∴ ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∵的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 14.如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的定义及等边对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质及直角三角形斜边中线的性质即可证明； （2）根据等边对等角得出，，再由三角形外角的定义确定，，结合题意求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∵为的中点， ∴； （2）由（1）得， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 题型三 根据矩形的性质求线段长度 15.如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质及勾股定理，解题关键是利用矩形对角线相等且互相平分得出的长度，再结合勾股定理计算的长． 由矩形对角线相等且互相平分得 ，在中，用勾股定理求即可． 【详解】四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得： ． 故选C． 16．如图，矩形中，对角线与交于点，垂直平分，是垂足，若，则的长是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理． 由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，，， ， 垂直平分， ， ， ， ． 故选：B． 17．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（    ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题的关键． 根据三角形中位线定理和矩形的性质解题即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵矩形， ∴． 故选：A． 18．如图，在矩形中，对角线与相交于点，点在边上，连接，，是的中点，连接，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、中位线定理，掌握“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”、“方程思想”、“三角形的中位线长度等于第三边的一半”是解题的关键．设，则，在中，由勾股定理得，解得，即，根据、分别是、的中点，可得是的中位线，由中位线定理可知，． 【详解】解：设， ， ， 矩形中，， 中，由勾股定理得：，即， 解得：，即， 是的中点，矩形中， 是的中位线， ， 即线段的长为． 故选：． 19．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别与，，交于点，，．若，，则的长度为（   ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，连接．利用勾股定理求出，再证明，可得结论． 【详解】解：如图，连接． 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 20．如图，在矩形中，为边上一点，，，是的中点，，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理． 先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解， 再利用勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 为中点，， ， 在中，， ， ∴由勾股定理得， ∵在矩形中，，， ， ， 由勾股定理得． 题型四 根据矩形的性质求周长 21．如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若，矩形的周长为16，且，则的长（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过同角的余角相等找到全等三角形的对应角，进而证明三角形全等． 利用矩形性质得到及由推出结合证明得到、通过周长关系列方程求出的长，进而计算的长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 矩形的周长为， ∴即． ∵ ∴， ∴ ， 又∵在中，， ∴(同角的余角相等)． 在和中， ∴． ∴． ∵ ∴． 设则 ∵且 ∴． 又∵ ∴ 解得 ∴， ∴， 故选：A． 22．如图1，为一个长方形信封平面示意图，现沿其对角线对折后，得到一个新的图形如图2，若这个长方形的长为，宽为，则图2中阴影部分的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形对折的应用，根据矩形的性质得，，根据对折的性质得，，再将进行恒等变换可得答案．掌握矩形、对折的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ∵这个长方形的长为，宽为， ∴，， ∵现沿其对角线对折后，得到一个新的图形如图2， ∴，， ∴ 即图2中阴影部分的周长是． 故选：D． 23.“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且． (1)求证：； (2)若，长方形面积为4，请直接写出的周长______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）根据题意得，结合即可求解； （2）根据题意可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 的周长， 故答案为：． 题型五 根据矩形的性质求面积 24．在矩形中，对角线，则矩形的面积为（  ） A．48 B．60 C．80 D．96 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理等知识 ，根据矩形的性质以及勾股定理求得的长是解题的关键． 利用矩形的对角线相等和勾股定理，求出另一条边的长度，再计算矩形面积． 【详解】解：∵ 在矩形中，对角线， ∴ 在中，，为斜边， 由勾股定理得：，即， ∴ 矩形面积． 故选A． 25．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（      ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、矩形对角线的性质是解题的关键． 根据，是矩形的对角线，则将矩形分成四个面积相等的三角形，则，根据矩形对角线互相平分的性质证得，进而求得阴影部分的面积等于即可． 【详解】解：在矩形中，对角线，相交于点O， ∴、， ， 在和中， ， ， ，是矩形的对角线， ， 阴影部分面积为：． 故选：A． 26．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵矩形的对角线、互相平分， ∴为中点， ∴， 点为的中点， ． 故选：A． 27．如图内，P点是长方形内任意的一点．阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（　　） A．阴影部分的面积大 B．空白部分的面积 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了矩形，三角形面积．熟练掌握矩形性质，三角形面积公式，是解题的关键． 为了便于表示添加了两条线段和四个点（如图），要比较阴影部分的总面积与空白部分总面积，需要利用三角形的面积公式空白部分总面积＝三角形的面积+三角形的面积，阴影部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积，然后进行比较． 【详解】解：根据题意和三角形的面积公式得： 空白部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积 ； 阴影部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积 ； 由题意和图可知：， 所以阴影部分的总面积＝空白部分的总面积； 故选：C． 28．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值为（   ） A． B．2.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，勾股定理求出的长，运用等积法，即，即可求出的值． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， 连接， ∵过点P分别作和的垂线，垂足为E，F， ∴， ∴． 故选：C． 29．一块长方形菜地分成甲、乙、丙三个部分（乙是平行四边形），如图（单位：）．下面结论不正确的是（　　） A．甲的面积是 B．乙的面积是 C．丙的面积是 D．长方形菜地的面积是 【答案】C 【分析】本题考查了三角形，平行四边形，直角梯形以及长方形的面积求解，熟练掌握面积公式是解决本题的关键． 根据图示可知甲乙丙三个部分的各个边长，再由对应面积公式分别求解面积判断选项即可． 【详解】解：由图示可知， 长方形的长为，宽为， ∴长方形菜地的面积是，D正确； 甲的部分为直角三角形，两条直角边分别为2和4， ∴甲的面积是，A正确； 乙的部分为平行四边形，底边和高都为4， ∴乙的面积是，B正确； 丙的部分为直角梯形，上底为，高为， ∵长方形的长为，乙是平行四边形， ∴直角梯形的下底为， ∴丙的面积是，C错误 ． 故选：C ． 30．如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算，由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故选：B． 31.如图，平行四边形，分别为、上的点，满足，分别连接，． (1)试说明四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，即可作答． （2）先根据四边形是矩形，得，运用勾股定理得，结合平行四边形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴四边形的面积． 题型六 利用矩形的性质进行证明 32．如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，再结合，可得，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 33.如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接与． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质： （1）证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）矩形，得到，平行四边形的性质，推出，，再利用角的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵，     ∴ ∵四边形是矩形     ∴ ∵在△AOF和△COE中 ∴     ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是矩形     ∴ ∵在中，     又∵     ∴ ∵，     ∴ ∵在中， ∴． 34.如图，、是矩形边上的两点，．    (1)若，则______°； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据四边形是矩形得，，根据得，根据平行线的性质即可得； （2）根据四边形是矩形得，，根据可证明，得，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 35.如图，矩形的对角线与相交于点，，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)已知______（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AODE的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：是等边三角形． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)证明见解析 (2)①，四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）由全等三角形的判定与性质，矩形的性质，及等腰三角形的性质，可以证明； （2）由矩形的性质，直角三角形的性质，两线平行的性质，可以推出四边形是菱形． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）选择①，四边形是菱形， 证明：，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，关键是灵活应用以上知识点． 36．如图，在矩形中，连接，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，点恰好落在的延长线上，过点作于点．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】先由矩形性质得到，，再由平行线的性质得到，进而根据旋转性质得到，然后由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等性质即可得证． 【详解】证明：在矩形中，，， ， ， ， 将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及矩形性质、平行线的性质、垂直定义、旋转性质等知识，熟记三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 37.如图，将的边延长至点E，使，连接，，交于点O． (1)求证：； (2)连接，若四边形是矩形，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明四边形为平行四边形，得出，最后利用即可证明； （2）由平行四边形的性质可得，由矩形的性质可得，由等边对等角得出，最后再由三角形外角的定义及性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． 38.如图，在矩形中，点为边上一点，平分，为中点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． （1）利用矩形对边平行得到内错角相等，再结合角平分线的性质，推出，从而证明； （2）通过取中点，构造直角三角形斜边中线，结合矩形性质和等腰三角形性质，利用证明，即可得到，即． 【详解】（1）证明：平分， ， 在矩形中，， ， ， ． （2）证明：连接 为的中点， ，， 四边形是矩形， ， 又为的中点， ， ， 在，中， ， ， ． ． 题型一 与矩形性质相关的几何多结论问题 39．如图，把长方形纸片沿折叠，点C落到点E处，与相交于点F，连接，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质，矩形的性质，平行线的判定及全等三角形的判定与性质．根据已知条件及每个选项的结论进行逐一分析判断即可选出答案． 【详解】解：A项：假设， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在长方形中， ∴， ∴， ∴， 依题意得：不一定等于， ∵假设是错误的， ∴该选项错误，符合题意； B项：在长方形中，， ∴， ∴， ∴该选项正确，不符合题意； C项：在长方形中，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴该选项正确，不符合题意； D项：∵是和的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该选项正确，不符合题意． 故选：A． 40．如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①证明是等腰直角三角形得，，由勾股定理得，再根据，即可对该结论进行判断； ②根据，得，进而得，由此即可对该结论进行判断； ③先求出，根据得，由此即可对该结论进行判断； ④证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，进而得，则，继而得，由此即可对该结论进行判断； ⑤根据，，即可依据“”判定和全等，由此即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键 【详解】解：①四边形ABCD是矩形， ，， 的平分线DE交AB于点E， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ，故①正确； ②在中，，， ， ，故②正确； ③， ， 又， ， ，故③不正确； ④，于点H， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ，故④不正确， ⑤于点H，， ， ，， ， 在和中， ， ≌，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②⑤． 故选：A 41.如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论： ①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，；由于，得到；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故①符合题意； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②不符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵， ∴设，， ∵， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 题型二 矩形与折叠问题 42．如图，将矩形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处.已知，，则图中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，根据矩形的性质可知，由折叠的性质可知，利用勾股定理可以求出，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可求出的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 由折叠可知， 在中，， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ， 解得：， . 故选：D． 43．把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．设，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，等腰三角形的性质，关键是熟练运用性质解决问题． 由折叠可得，，根据勾股定理可得的长，由可得，则，进而得到． 【详解】由折叠可知，， ， ， ． 故选：C． 44．如图，在矩形中，点E是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，C，D的对应点分别为，，连接交于点F，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，，根据等边对等角，得出，再利用三角形外角的性质得出，从而可得，于是可判定． 【详解】解：如图， ∵点E是的中点， ∴， ∵将矩形沿所在的直线折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角相等两直线平行，三角形的外角的性质，等边对等角，根据矩形的性质求线段长，矩形与折叠问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 45．如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，，证明为等腰三角形，求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，，，E为边的中点， ∴，， ∴，， ∵将沿翻折，点D的对应点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 设，则，， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 46.如图，在矩形纸片中，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是（　　）． A．1 B． C．或1 D．或1 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 当时，如图1：连接，勾股定理求得的长，可判断P，E，D三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当，证明是正方形，进而完成解答． 【详解】解：①当时，如图1，连接， ∵点P是的中点，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P，E，D三点共线， ∵， ∴， 设，则， 在和中， 根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴； ②当时，如图2， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∵点P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 综上所述：的长为或1． 故选C． 47．如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠，根据折叠得，得，设， ，在中，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 题型三 矩形与旋转问题 48．如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，矩形的边与矩形的边交于点，连接．若，则的长（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，根据矩形的性质，旋转的性质，得到为等腰直角三角形，，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选B． 49.将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，若，，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转性质，由四边形是矩形，得，所以，由旋转的性质可知，，利用勾股定理求即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴在中，由勾股定理得，， 故选：． 50.如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 【答案】(1)50 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，即可求出的度数； （2）根据旋转和矩形的性质，易证四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）解：矩形和矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：50； （2）证明：连接， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键． 51．如图1，矩形矩形，且点在边的延长线上，连接，且． (1)求证：为等腰直角三角形； (2)将图1中的矩形绕点顺时针旋转一个角度． ①如图2，当边与边交于点时，若，猜想与的数量关系，并说明理由； ②在①的条件下，求旋转角度的值． (3)如图3，当点落在边上时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析． (2)①，理由见解析．②． (3)． 【分析】（1）利用矩形的性质，由“”可证，两个全等三角形相对应的角和边都相等，再利用等量代换得出是直角，即可证明． （2）①利用矩形的性质，对边互相平行，再根据两直线平行，同旁内角互补的性质，通过等量代换即可得到，即可得出结论． ②取的中点，连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是等边三角形，又根据①的结论，可得，即可求得的值． （3）过点作于点，连接，设与交于点，根据矩形的性质，由“”可证，推出，再根据矩形的性质，继续推出，即可得到四边形为平行四边形，根据平行四边形对角线的性质，可得出的面积就等于个的面积，根据勾股定理可求得的长度进而得到的长度，即可求解面积值． 【详解】（1）证明：矩形矩形， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形． （2）解：① 理由：四边形是矩形， ， ， ， ， ． ②如下图，取的中点，连接， 四边形是矩形， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故的值为． （3）解：． 如上图，过点作于点，连接，设与交于点， 由旋转可得：， ， ， ， , ，平分， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形、等边三角形是解题的关键． 52.在矩形中，，平分，连接． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点F是延长线上的一点，与交于点G，于点H，的延长线交于点P，连接，探究之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，取的中点Q，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，角平分线的定义，推出均为等腰直角三角形，再利用平角的定义，求出的度数即可； （2）延长交于点，先证明，得到，，进而证明，得到，再根据，结合等量代换，即可得出结论； （3）取的中点，连接，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长，根据，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 延长交于点， 由（1）知：，，， ∴， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点，连接， 则：， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判断和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 53.已知矩形和矩形，是上一点，与边相交于点，与边相交于点． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，，求； (3)如图3，若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据勾股定理计算，即可求解； （2）证明得出，进而证明得出，即可得出为的中点，即可求解； （3）过点作于点，交于点，分别证明，，即可得出，，进而根据，即可得证． 【详解】（1）解：∵矩形 ∴， 在中，，， ∴ 故答案为：． （2）解：∵矩形和矩形， ∴ ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ （3）解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴ 在四边形中， ∴， 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴， ∴． 54．再看七下数学教学活动—折纸与证明，让学生通过折叠纸片，观察图形的对称性、全等变换及角度边长的变化关系，学生直观感受到几何结论的形成过程，并能主动提出猜想，结合已学知识进行严谨证明，增强了数学思维的严密性和表达的条理性． 探究与发现： （1）如图1，在中，，怎样证明呢？小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点落在边的点处，请你完成证明过程． 感悟与应用： （2）如图2，是的高，．若，，求的长． （3）对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，折痕为，把纸片展平，连接，如图3所示，则是 （填形状），继续折叠纸片，使点落在边上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，如图4所示，则的度数为 ． 拓展升华： （4）在四边形中，平分，，探究和的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）14；（3）等边三角形，；（4），证明见解析 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）如图1中，将沿折叠，使点C落在边的点D处，连接．证明，可得结论； （2）由折叠的性质得到，由“”可证，可得，，由三角形外角的性质结合已知条件证得，由等腰三角形的判定得到，即可求解； （3）通过矩形的折叠性质，先判断 的形状是等边三角形，再根据后续折叠得出的角度关系计算 的度数； （4）通过在上截取，构造全等三角形和，再利用等腰三角形的性质以及平角的定义，推导出和的关系． 【详解】（1）证明：如图1中，将沿折叠，使点C落在边的点D处，连接． 则，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：将沿折叠，点C落在边上的点处，连接， 则，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图：对折矩形纸片，使与重合， ∴垂直平分， ， ∵再一次折叠纸片，使点落在上的点处， ∴垂直平分， ， ， ∴是等边三角形， ， 折叠纸片，使点落在边上的点处， 故答案为：等边三角形，15； （4）与互补，即． 解：理由如下： 如图所示： 在上截取，连接， ∵平分， 在和中， ∴. ∴，， 又 ∵， ∴， ∴ 又 ∵， ∴． 55．请根据小鹿的“矩形的中心对称性”探究活动单，完成下列任务． 实践与探究 探究学习 问题情境 在矩形中，点在射线上，连接，过点作，交直线于点，连接． 实践操作 （1）在图1中，请仅用无刻度的直尺在上画出点，使，（要求：保留画图痕迹，不写画法） 特例感知 （2）如图2，当是线段中点时，，．则的长为______． 规律探究 （3）如图3，当点在线段的延长线上时．探究之间的数量关系，并说明理由； 拓展运用 （4）如图4，中，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，是的中点，连接，若，且，则的最小值＝__________． 【答案】（1）见解析（2）5（3），理由见解析（4）2 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形三边关系应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据矩形的性质，利用全等三角形的对应边相等，即可求出点； （2）根据矩形的判定和性质得出相等边和直角，根据三线合一得出，，再利用勾股定理即可求解； （3）延长，交于点，连接，根据矩形的性质证明，，得出对应边相等，最后利用勾股定理即可得出结论； （4）过点A作，过点B作，与交于点G，连接交于点O，连接，并延长交的延长线于点H，连接，，，，同（3）的步骤，得出当三点共线时，等号成立，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，点即为所求， 根据矩形的性质得出，，，可得，即可求解； （2）四边形为矩形， ， ， 是线段中点， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：5； （3），理由如下： 如图，延长，交于点，连接， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ，， ， 即， ，，， ， ， ， ∴由勾股定理得， 即； （4）如图所示，过点A作，过点B作，与交于点G，连接交于点O，连接，并延长交的延长线于点H，连接，，，， 则， 四边形为矩形， ，，，， ，， ， ，， ， ， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 点为的中点， ， ，且当三点共线时，等号成立， ， ， ， 的最小值为2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $