18.非特殊角的三角函数符号快速判断（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 18.非特殊角的三角函数符号快速判断（基础）（全国通用）（解析版） 版本1：纯解析版 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合辨析） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】象限角的定义 ￮ 定义表述：在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，根据终边所在的象限，将角分为第一至第四象限角；终边落在坐标轴上的角称为轴线角，不属于任何象限。 ￮ 数学符号/表达式： 象限 角度范围（） 弧度范围（） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ￮ 关键特征：象限角的范围是开区间，不包含轴线角；判断角所在象限只需确定其终边位置。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数符号判断、任意角的三角函数定义应用。 2. 【概念2】非特殊角三角函数符号的判断法则 ￮ 定义表述：非特殊角的三角函数符号，完全由角所在的象限决定，遵循“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的口诀，即第一象限所有三角函数值为正，第二象限正弦值为正，第三象限正切值为正，第四象限余弦值为正。 ￮ 数学符号/表达式： 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ￮ 关键特征：正弦值符号由终边所在象限的纵坐标决定，余弦值由横坐标决定，正切值由同号或异号决定。 ￮ 跨章节关联：适用于三角恒等变换、三角函数不等式求解。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 象限角与轴线角的区分 轴线角的终边落在坐标轴上，不属于任何象限，其三角函数值为或无意义 将等轴线角归为某一象限角判断符号 一次函数过原点，不属于任何象限的区域，与轴线角的归类逻辑类似 非特殊角符号判断的核心 只需确定角所在的象限，无需计算具体三角函数值 试图通过估算非特殊角的三角函数值来判断符号，增加计算量 判断反比例函数的单调性，只需确定的符号，无需代入具体值计算 三、题型分类与例题精析 题型1：已知非特殊角的度数，判断三角函数符号 题型特征：给出的角为非特殊角（如），直接根据角度范围确定所在象限，进而判断三角函数符号。 解题步骤：1. 确定非特殊角的角度范围，判断其所在象限；2. 对照象限三角函数符号表，确定目标三角函数的符号；3. 检查是否为轴线角，排除无意义情况。 例题1 判断、的符号。 解析： 因为，所以是第二象限角； 根据“二正弦”的法则，第二象限角的正弦值为正，余弦值为负； 因此，。 答案：为正，为负。 举一反三1-1 判断、的符号。 解析： 因为，所以是第三象限角； 根据“三正切”的法则，第三象限角的正切值为正，正弦值为负； 因此，。 答案：为正，为负。 举一反三1-2 判断、的符号。 解析： 因为，所以是第四象限角； 根据“四余弦”的法则，第四象限角的余弦值为正，正切值为负； 因此，。 答案：为正，为负。 举一反三1-3 判断、的符号。 解析： 因为，所以是第一象限角； 根据“一全正”的法则，第一象限角的所有三角函数值为正； 因此，。 答案：和均为正。 题型2：已知非特殊角的弧度，判断三角函数符号 题型特征：给出的角为弧度制的非特殊角（如），先将弧度范围对应到象限，再判断三角函数符号。 解题步骤：1. 将弧度值与比较，确定角所在象限；2. 对照象限三角函数符号表，判断目标函数符号；3. 排除轴线角的情况。 例题2 判断、的符号。 解析： 因为，所以是第二象限角； 第二象限角的正弦值为正，余弦值为负； 因此，。 答案：为负，为正。 举一反三2-1 判断、的符号。 解析： 因为，所以是第四象限角； 第四象限角的余弦值为正，正切值为负； 因此，。 答案：为负，为正。 举一反三2-2 判断、的符号。 解析： 因为，所以是第三象限角； 第三象限角的正切值为正，正弦值为负； 因此，。 答案：为负，为正。 举一反三2-3 判断、的符号。 解析： 因为，所以是第一象限角； 第一象限角的所有三角函数值为正； 因此，。 答案：和均为正。 题型3：已知三角函数符号，确定非特殊角所在的象限 题型特征：已知非特殊角的某一个或两个三角函数的符号，反向推导角可能所在的象限。 解题步骤：1. 根据每个三角函数的符号，列出角可能所在的象限；2. 取多个三角函数符号对应的象限的交集，确定角的最终象限；3. 排除轴线角的情况。 例题3 已知且，判断非特殊角所在的象限。 解析： 由可知，在第一象限或第二象限； 由可知，在第二象限或第四象限； 两者的交集为第二象限，因此是第二象限角。 答案：是第二象限角。 举一反三3-1 已知且，判断非特殊角所在的象限。 解析： 由可知，在第二象限或第三象限； 由可知，在第三象限或第四象限； 两者的交集为第三象限，因此是第三象限角。 答案：是第三象限角。 举一反三3-2 已知，判断非特殊角所在的象限。 解析： 正切值为正的象限是第一象限和第三象限； 因此非特殊角在第一象限或第三象限。 答案：是第一象限角或第三象限角。 举一反三3-3 已知且，判断非特殊角所在的象限。 解析： 由可知，在第一象限或第四象限； 由可知，在第三象限或第四象限； 两者的交集为第四象限，因此是第四象限角。 答案：是第四象限角。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 非特殊角的正弦值符号为（ ） A．正 B．负 C．零 D．无意义 解析：，是第二象限角，正弦值为正，故选A。 答案：A 2. 多选题 下列非特殊角中，余弦值为负的是（ ） A． B． C． D． 解析：在第二象限、在第三象限，余弦值均为负；在第四象限、在第一象限，余弦值为正，故选AB。 答案：AB 3. 填空题 非特殊角的正切值符号为______。 解析：，是第三象限角，正切值为正。 答案：正 4. 解答题 (1) 判断非特殊角的正弦、余弦符号。 解析：，是第三象限角，正弦、余弦值均为负。 答案：， (2) 已知非特殊角的余弦值为正，正切值为负，判断所在的象限。 解析：时在一、四象限，时在二、四象限，交集为第四象限。 答案：是第四象限角 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知非特殊角是第二象限角，则的符号为（ ） A．正 B．负 C．零 D．无法判断 解析：第二象限角，，异号相乘得负，故选B。 答案：B 2. 多选题 已知非特殊角满足，则可能在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：正弦值为负的象限是第三、四象限，故选CD。 答案：CD 3. 填空题 已知非特殊角满足且，则是第______象限角。 解析：对应二、四象限，对应一、二象限，交集为第二象限。 答案：二 4. 解答题 (1) 判断非特殊角的正弦、正切符号。 解析：，是第二象限角，正弦值为正，正切值为负。 答案：， (2) 已知非特殊角的，判断所在的象限。 解析：当时，在第二象限；当时，在第三象限。 答案：是第二象限角或第三象限角 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 非特殊角的的符号为（ ） A．正 B．负 C．零 D．无法判断 解析：是第四象限角，，，则，故，选A。 答案：A 2. 多选题 已知非特殊角满足，则可能在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：说明与同号，第一、三象限中两者同号，故选AC。 答案：AC 3. 填空题 计算非特殊角的的值为______。 解析：是第二象限角，，，原式。 答案：0 4. 解答题 (1) 已知非特殊角是第三象限角，判断的符号。 解析：第三象限角，，则。 答案：符号为负 (2) 已知非特殊角满足且，判断所在象限并说明理由。 解析：说明，在一、四象限；又，在二、四象限，故是第四象限角。 答案：是第四象限角，理由如上 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 18.非特殊角的三角函数符号快速判断（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合辨析） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】象限角的定义 ￮ 定义表述：在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，根据终边所在的象限，将角分为第一至第四象限角；终边落在坐标轴上的角称为轴线角，不属于任何象限。 ￮ 数学符号/表达式： 象限 角度范围（） 弧度范围（） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ￮ 关键特征：象限角的范围是开区间，不包含轴线角；判断角所在象限只需确定其终边位置。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数符号判断、任意角的三角函数定义应用。 2. 【概念2】非特殊角三角函数符号的判断法则 ￮ 定义表述：非特殊角的三角函数符号，完全由角所在的象限决定，遵循“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的口诀，即第一象限所有三角函数值为正，第二象限正弦值为正，第三象限正切值为正，第四象限余弦值为正。 ￮ 数学符号/表达式： 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ￮ 关键特征：正弦值符号由终边所在象限的纵坐标决定，余弦值由横坐标决定，正切值由同号或异号决定。 ￮ 跨章节关联：适用于三角恒等变换、三角函数不等式求解。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 象限角与轴线角的区分 轴线角的终边落在坐标轴上，不属于任何象限，其三角函数值为或无意义 将等轴线角归为某一象限角判断符号 一次函数过原点，不属于任何象限的区域，与轴线角的归类逻辑类似 非特殊角符号判断的核心 只需确定角所在的象限，无需计算具体三角函数值 试图通过估算非特殊角的三角函数值来判断符号，增加计算量 判断反比例函数的单调性，只需确定的符号，无需代入具体值计算 三、题型分类与例题精析 题型1：已知非特殊角的度数，判断三角函数符号 题型特征：给出的角为非特殊角（如），直接根据角度范围确定所在象限，进而判断三角函数符号。 解题步骤：1. 确定非特殊角的角度范围，判断其所在象限；2. 对照象限三角函数符号表，确定目标三角函数的符号；3. 检查是否为轴线角，排除无意义情况。 例题1 判断、的符号。 举一反三1-1 判断、的符号。 举一反三1-2 判断、的符号。 举一反三1-3 判断、的符号。 题型2：已知非特殊角的弧度，判断三角函数符号 题型特征：给出的角为弧度制的非特殊角（如），先将弧度范围对应到象限，再判断三角函数符号。 解题步骤：1. 将弧度值与比较，确定角所在象限；2. 对照象限三角函数符号表，判断目标函数符号；3. 排除轴线角的情况。 例题2 判断、的符号。 举一反三2-1 判断、的符号。 举一反三2-2 判断、的符号。 举一反三2-3 判断、的符号。 题型3：已知三角函数符号，确定非特殊角所在的象限 题型特征：已知非特殊角的某一个或两个三角函数的符号，反向推导角可能所在的象限。 解题步骤：1. 根据每个三角函数的符号，列出角可能所在的象限；2. 取多个三角函数符号对应的象限的交集，确定角的最终象限；3. 排除轴线角的情况。 例题3 已知且，判断非特殊角所在的象限。 举一反三3-1 已知且，判断非特殊角所在的象限。 举一反三3-2 已知，判断非特殊角所在的象限。 举一反三3-3 已知且，判断非特殊角所在的象限。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 非特殊角的正弦值符号为（ ） A．正 B．负 C．零 D．无意义 2. 多选题 下列非特殊角中，余弦值为负的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 非特殊角的正切值符号为______。 4. 解答题 (1) 判断非特殊角的正弦、余弦符号。 (2) 已知非特殊角的余弦值为正，正切值为负，判断所在的象限。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知非特殊角是第二象限角，则的符号为（ ） A．正 B．负 C．零 D．无法判断 2. 多选题 已知非特殊角满足，则可能在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 填空题 已知非特殊角满足且，则是第______象限角。 4. 解答题 (1) 判断非特殊角的正弦、正切符号。 (2) 已知非特殊角的，判断所在的象限。 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 非特殊角的的符号为（ ） A．正 B．负 C．零 D．无法判断 2. 多选题 已知非特殊角满足，则可能在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 填空题 计算非特殊角的的值为______。 4. 解答题 (1) 已知非特殊角是第三象限角，判断的符号。 (2) 已知非特殊角满足且，判断所在象限并说明理由。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $