河南省青桐鸣2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试题（北师大版）

秘密★启用前 高二年级质量检测 数学（北师大） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.2025×2024×2023可表示为 A.C202 B.C C.A2025 D.A82 2.直线x=cos75的倾斜角为 A.0 B.90° C.75° D.25° F1,P2分别是椭圆C:36十2=1的左、右焦点，点P在C上，且P℉，- 6,则 A.PF=9 B.|PF1=6 C.|PF2|=8 D.|PF2|=4 4双曲线C,苦-若=1(6>0)的一条斋近线方程为y一2红则C的集距为 y2 A.√6 B.√10 C.26 D.210 5.(x一2y十3)5的展开式中xy3的系数为 A.480 B.160 C.-160 D.-480 6.设{a,b,c}是空间的一组单位正交基底，向量OA=a十3b+c,若m=a一b,n=a十b- c,p=a一b十c,且{m,n,p}是空间的另一组基底，则OA= A.-4m+2n+3p B.4m-2n+3p C.4m+2n-3p D.4m+2n+3p 7.某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、文明、民主三个社区进行普法宣传，要求每人 必须要去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，若甲去文明社区，乙不 数学（北师大）试题第1页（共4页） 去富强杜区，则不同的安排方法有 A.16种 B.12种 (.7种 D.6种 8.已知A(2,0),B(-1,0),点P满足1PA=2PB,点Q在圆C:(x+1)2+(y-4)= 1上运动，点M在直线x一y一2=0上运动，则PM+QM引的最小值为 A.5y2-3 B.62-3 (.√73-3 D.15-3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知2a+b=(4,0,4),b=(2,2,2),则下列正确的有 A.a=(1,-1,1) B.a//b C.(2a+b)⊥(2a-b) D.cos<a,b>= 3 10.已知ax7- 的展开式中常数项为35，“为实数，则下列说法正确的有 V. 的展开式中各二项式系数之和为64 B.a=1 c 的展开式中各项的系数之和为0 D.() 的展开式中系数最大的项为第4项或第5项 .已知双曲线C之31@>0的离心率为2，R,P,分别为C的左、右焦点，0 坐标原点，曲线E:y=kx一2，k∈[2,4]，且E与C交于A,B两点，则下列正确的有 A.a=1 B.AF2|+|BF2|>7 C.AF,+BF,的最大值为32 D.△OAB面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.两平行直线7x-y-4=0与7.x一my+6=0(m∈R)之间的距离为 13.甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的 两端，则不同的坐法有 种. 14.已知a=(ar,a2,a3),b=(b1,b2,b3),定义d[a,b]=a1-b1+a2-b2十 a?一b3.若直四棱柱ABCD-A,B,C1D,的底面为矩形，AA,=2AB=4,BC=3,M 为侧面CDD,C,(包含边界)内一动点，且|BM=√IO,则d[BM,AB]的最大值 为 数学（北师大）试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(一2，】)，边BC上的中线所在的直线方 程为2x一y一2=0，边BC上的高所在的直线方程为x-y一1=0. (1)求边AB所在直线的一般式方程： (2)求△ABC的面积. 16.（15分) 已知a。+a1x+a2x2+…十asx3=C8(x+1)+C(x十1)2+…+C8(x+1)8. (1)求a1-a。十ag-a2十a5-a:+a1-a6-a8的值； (2)求ao-a5的值. 17.(15分) 已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，直线l1:2x一y一4=0经过F,且11与C 相交于P,Q两点，过点M(4,0)的动直线l2与C相交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)求PFQF的值： PQ (3)设O为坐标原点，若△ABF的面积为8√3，直线L2与y轴交于点N,证明： OM=ON. 数学（北师大）试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,∠ABC=90°，AB=BC=2,AD=2+√5，过C作 CE⊥AD,垂足为E,将△CDE沿CE翻折至△CPE,使点D落在点P的位置，AP= 5. D (1)证明：平面PAB⊥平面PAE (2)已知P,A,B,C,E五点均在球O的球面上. (ⅰ)求球O的表面积： (iⅱ)设点Q∈平面PAB,点Q∈平面PCE,若PQ=1,求平面OBQ与平面AEQ夹角 的余弦值 19.(17分) 已知椭圆c。+1(@>>0的右顶点为A(2,0),上顶点为B,且AB1= (1)求椭圆C的标准方程. (2)若直线L:y=kx十m(k≠0)与椭圆C交于P,Q两点(P,Q两点均异于点A). (1)若∠PAQ=90,求的值； (1)若&=2，证明：经过A,P,Q的圆n经过两个定点。 数学（北师大）试题第4页（共4页） 高二年级质量检测 数学（北师大） 参考答案 1.C【解析】根据排列数公式可知，2025×2024× 8.C 【解析】设P(x,y),由|PA=2|PB得， 2023=A2025· √(x-2)+y=2√(x+1)+y2,整理得 故选C. (x+2)2+y2=4,所以点P在以C:(-2,0)为圆 2.B【解析】因为直线x=cos75°垂直于x轴，所以 心，半径为2的圆上 该直线的倾斜角为90°. 点Q在圆C:(x+1)2+(y-4)2=1上运动，该圆 故选B. 的圆心为C(一1,4)，半径为1， 3.A【解析】根据椭圆的定义可知，PF|+ 如图， |PF2=2a=12,又PF1|-PF2|=6,解得 |PF1|=9,|PF2|=3. -2=0 故选A. 4D【解析由双曲线C:号：一1(6>0)可知，其 62 渐近线方程为y=±√2x,由题意可知√2=2， 所以b2=8,则c2=a2+b2=10,解得c=√10，所 以C的焦距为2√10。 |MP|=MC,|-2,|MQ=|MC|-1,设圆C 故选D. 与圆C2关于直线x一y一2=0对称，则 5.D【解析】(x一2y+3)的展开式中xy3的系数 MC=MC2, 为CC(-2)3·3=-480. 连接CC2,则PM+|QM|=|MC|-2+ 故选D. |MC|-1=|MC|+|MC2|-3≥|CC2|-3,当 6.A【解析】设OA=xm十yn十p, C,M,C2三点共线时，取得最小值， OA=x(a-b)+y(a+b-c)+z(a-b+c)= x1十2 =-1, (x+y+z)a+(-x+y-z)b+(x-y)e, 设C2(x1y1),则 x+y十x=1, 一2-2=0· 22 又OA=a+3b+c,则-x+y-z=3,解得x= 2-y=1, x1=2, 解得 即C2(2,-4), -4,y=2,之=3，所以OA=-4m+2n十3p. y1=-4, 故选A. 所以|CC2|=√(-1-2)+(4+4)产=√73，则 7.C【解析】分两种情况：①乙和甲都去文明社区， |PM+QM的最小值为√/73-3. 则有A=2种安排方法；②甲去文明社区，乙去民 故选C. 主社区，则有CC一1=5种安排方法，根据分类加 9.ACD【解析】由2a十b=(4,0,4),b=(2,2,2),得 法计数原理可知，不同的安排方法共有2十5=7 a=(1,一1,1)，A正确； (种). 假设b=a,则(2,2,2)=（入，一入，入），显然入无解， 故选C. 所以a与b不平行，B错误； ·数学（北师大）答案（第1页，共6页）· 因为2a-b=(0,-4,0),所以(2a+b)·(2a-b)= 9 (4,0,4)·(0,-4,0)=0,则(2a+b)⊥(2a-b),C 3t2-1' 正确； 所以|AF2I+BF2|=|AF,|+|BF2| 因为a·b=2-2+2=2,所以cos<a,b>= |AB|=√1+t·|y1-(-y2)|=√1+t· a·b 2 1 Wy1+(-y2)]-4y1·(-y2)=√1+t2· a·b3X2√3 3D正确. 12t 故选ACD. -3t2-1 -4X29=61+) 3t2-11-3t2 10.BC 【解析】a- 的展开式中各二项 令1+2m则m飞6，m1,所以 式系数之和为C9+C+…+C=2=128,A AF,+BF,=4-3m4-3 6m6 错误； m [aVr- 的展开式的通项为T,+1= 易知两数)是一-3在]上单润递减， (-1)'a-rCx ·x=(-1a-rC号 所以写←fm)号则g≤AF+BF,< 令28-7r=0,解得r=4,所以(-1)'a3C=35, 解得a=1,B正确； 30,所以|AF2|+|BF,>7,B正确： 令x=1,则展开式中各项的系数之和为(1-1)”= 由双曲线的定义可知，AF1|=2a十AF2|= 0,C正确； 2+|AF2|,BF1=2a+|BF2|=2+|BF2, 因为各项系数为（一1）'C,要使系数取得最大值， 所以|AF,|+IBF,I=4+|AF2|+|BF2|≤ 4+30=34,故AF,+|BF1的最大值为34，C 所以r必为偶数，则C为展开式中的最大系数， 所以展开式中系数最大的项为第5项，D错误. 错误； 易知OA=(1y1),Oi=(x2y2),则cos<OA, 故选BC. OA.OB 直.ABD【解析由双曲线C:无-了=1(a>0)的 OB> ,所以sin2<OA,O店>= 1OA1·1OB 离心率为2得，@十3=2，解得a=1,A正确： OA·OB 12 1 a 1oA·1o, 不妨设A的纵坐标比B的纵坐标大，曲线E:y= 则△OAB面积为SoAB= kx一2，k∈[2,4]，过焦点F2(2,0),因为C的 渐近线方程为y=士√3x,而直线y=k(x一2)的 m<oi.oi>=4[1oi·1o-oi· 斜率k∈[2,4幻，所以延长线段AF2与C的右支 交于点B。,由对称性可知，B与B。关于x轴对 o)r]=是(+)(+) 称，设A(x1y1),B(x2,y2),则B(x2,一y2), 红+y)P]=子（i+i 1 不妨设直线AB。的方程为x=t十2，则t=友∈ 1 2x1x2y1y2)=4x1y2-x2y1), [0] 所以Se=专1z:-=号· z2-y 由 3-1整理得（3r-1y+12y十9=0. |(ty1+2)y2-(-ty2+2)y1|=ty1y2+(y2 x=ty+2, -12t 所以y+（-:)=3-·（-) ·数学（北师大）答案（第2页，共6页）· 因为y=-3在[2」 .「117 上单调递减，所以 9=0时取等号，故d[Bi,AB门的最大值为10. 2.x-y-2=0, x=1 1_13 15.解：(1)由 解得 (2分) ymax =4-3X 44 x-y-1=0, y=0, 412 所以顶点A(1,0), (3分) 故△0AB面积的最小值为3×1313D正确. 故选ABD 由两点式方程可知，边AB所在直线方程为8 12.√2【解析】由题意可知，m=1,所以两直线之间 二2一故边AB所在直线的一般式方程为x十 x-1 的距离为d=1一4-6L10 3y-1=0. (6分) √7+(-1)752 (2)易知边BC所在直线的斜率为一1，所以边BC 13.24【解析】因为甲、乙均不在这排座位的两端，所 所在直线的方程为y一1=-(x+2),即x十y+ 以剩下的3个座位安排甲、乙，又甲、乙相邻，所以 1=0, (7分) 有CA=4(种)坐法，还剩3人3个位置进行全 1 排列，有A=6(种)坐法，根据分步乘法计数原理 2x-y-2=0, 3 可知，不同的坐法有4×6=24（种）. 由 解得 x+y+1=0, 4 14.10【解析】如图，以C为坐标原点，以CD,CB, y=- 3, CC,所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐 所以边C的中点D的坐标为（合一》，(9分） 标系， 则点D到边AB 的距离为d= 7√10 √10 15 M 所以边AB上的高为h=2d=140 15 (11分) 又|AB=√(-2-1)+(1-0)产=√10，(12分) 故Sa=号IABxh--4 (13分) 则A(2,3,0),B(0,3,0),B1(0,3,4),设M(x0, 0,20),0≤x≤2,0≤：0≤4，则AB=(-2,0, 16.解：(1)令x=-1得，a0-a1十a2-ag十a4 4),BM=(x0,-3,20), a5十a6-a,十ag=0, (4分) 由|BM=√10得，x8+9+z8=10,所以x号十 故a1-a0十a3-a2十a5-a:十a,-a6-ag=0. x6=1, (6分) (2)a。+a1x十a2x2+…+a8x8=Cg(x+1)十 设x。=cos9,。=sin9,0≤9≤受，故BMi- C8(x+1)2+…+C8(x+1)8=(.x+2)8-1, (cos o,-3,sin ) (8分) 根据新定义，d[BM,AB]=|cos9十2|+ 令x=0,则a。=28-1=255, (10分) |-3-0|+sin9-4|=cos9+2+3+4 把(x十2)8按二项式定理展开，易得a5=C·2= sing=9-2sinl(g-牙） 448, (13分) 所以a。-a6=255-448=-193. (15分) 因为0≤9≤受，所以-≤g-≤，所以 17.解：(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F d[Bi,AB门<9-巨×(-2)=10，当且仅当 ( 数学（北师大）答案（第3页，共6页）· 由题意可知，2×-0一4=0，解得力=4，(2分) 以F为原点，以FA,FP所在直线分别为x,x 2 轴，以过F平行于AB的直线为y轴，建立如图 故抛物线C的方程为y2=8x. (3分) 所示的空间直角坐标系F-xyz. (2)将2x-y-4=0代入y2=8.x, 得x2-6x十4=0， (4分) 设P(x1,y1),Q(x2y2),则x1十x2=6,x1x2= 4, (5分) 由抛物线的定义可知，PQ=x1十x2十4=10， -D (6分) |PF|·QF|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+ x2)+4=4+2×6+4=20, (8分) 故PE IQF=2 PQ (9分) 则A(1,0,0),B(1,2,0),E(-1,0,0),P(0,0, (3)证明：易知动直线12的斜率不为0，设其方程 2). (6分) =ty+4,A(x3,y3),B(z,y), (ⅰ)因为四边形ABCE为正方形，所以正方形 ABCE外接圆O1的圆心为正方形ABCE的中 x=ty十4， 整理得y2-81y-32=0, (10分) y2=8x, 心，则O1(0,1,0), 则△=6412+128>0， 由球的性质可知，OO1⊥平面ABCE,设O(0,1, (11分) 。),球O的半径为R, yg+y4=8t,y3y4=-32, (7分) 所以OA=OP=R, 所以△ABF的面积为Sa=专×(4-2)· 即√/1-0)+(0-1)+(0-z。)产= |ya-y4=√(y+y4)-4y3y4=√64t2+128= √(0-0)+(0-1)2+(2-2。)7， 8√2+2， (12分) 解得=子故001，) (8分) 由题意得，8√0+2=8√3，解得t=±1，(13分) 所以直线l2的方程为x士y一4=0，则N(0, 所以R=1-0)+0-1+0-》-得 ±4)，故OM=|ON|. (15分) (9分) 18.解：(1)证明：因为∠ABC=90°，CE⊥AD,所以 故球0的表面积为S=4R- (10分) AB∥CE, (1分) 又CE⊥AE,CE⊥PE,且AE∩PE=E,AE, (ⅱ)过P作PH∥AB,易证平面PAB∩平面 PEC平面PAE,所以CE⊥平面PAE.(2分) PCE=PH,则Q∈PH, (11分) 则AB⊥平面PAE, (3分) 设Q(0,t,2),则AE=(-2,0,0),EQ=(1,t,2), 又ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE. B0=(-1,-1,),Bd=(-1,-2,2. (4分) (2)易知四边形ABCE为矩形，又AB=BC=2, (12分) 所以四边形ABCE为正方形， 设平面AEQ的法向量为m=(x1,y1,之1)， 取AE的中点为F,连接PF,因为PE=PA= AE·m=0,「-2x1=0, 则 即 取y1=2, √5，所以PF⊥AE, E0·m=0,x1+y1+2x1=0, 由(I)得平面ABCE⊥平面PAE,则PF⊥平面 所以m=(0,2,-t); (13分) ABCE. (5分) 设平面OBQ的法向量为n=(x2,y2,之2)， ·数学（北师大）答案（第4页，共6页）· B0·n=0, 所以4m-120+)-8kmm2+4十 则 即 -+=0 4k2+3 4k2+3 BQ·n=0, -x2+(t-2)y2+2x2=0, m2=0, y2=5,所以n=(-31-2,5,4(1-t),(14分) 整理得2+7m士16m=0, (8分) 又PQ=1,解得t=士1， 4k2+3 当t=1时，则m=(0,2,-1),n=(-5,5,0), 所以4k2+7m2+16km=0,即7（经） +16· k 10 所以|cos<m,n>| m·n m·n √5×5√2 4=0, √10 解得公 号或 =-2, (9分) 5 (15分) 当t=-1时，则m=(0,2,1),n=(1,5,8), =一2时，y=kx十m=k(x-2)经过点A 所以cos<m,n> m·n 8 (2,0),不合题意， m·n 5×3/10 当 时，满足题意故的值为一二 2 3v2 5 (16分) (10分) 故平面0BQ与平面AEQ夹角的余弦值为√四 (i)证明：设经过A,P,Q的圆2的方程为x2+ 5 y2+Dx+Ey+F=0, (17分) 因为A(2,0),所以4+2D+F=0,则F=-4 2D, (11分) 19.解：(1)易知A(a,0),B(0,b), 则圆2的方程为x2+y2+Dx十Ey一4-2D=0, a=2, 根据条件得， 解得a=2,b=3, 1 √a2+b=√7， 联立 y=2x+m: (2分) x2+y2+Dx+Ey-4-2D=0, 放稀图C的标准方程为号+号-1 (3分) (a+D+号)r+m2+mE-2D-4=0,4>0, (2)(i)设P(x1y1),Q(x2y2), 4/ 所以十x=-5(m+D+ E y=kx+m, 血整理得（十3)r十8 十mE-2D-4), (12分) 4m2-12=0, (4分) 由(1)知，当k=2时，x1十x,=一mx1x,=m 则△=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2 -3, -m2+3)>0, 则-m=一 (m+D+5m-8= 5(m2+ x1十x2= 8km 4k2+3x1x2= 4m2-12 4k2十3 (5分) mE-2D-4), (13分) 因为∠PAQ=90°，所以A产.AQ=(x1-2,y1)· 所以m=4D+2E,m2+1=4mE-8D, (x2-2,y2)=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 则m2+2m十1=4(m+1)E,当m=一1时，联立 (6分) y= 2x1, x=2, x=-1, 则(x1一2)(x2-2)十(kx1十m)(kx2十m)=0, 易得 y 43-1， y0政=-3.此时P.Q 2 即(1十k2)x1x2+(km-2)(x1十x2)+4+m2= 0, (7分) 其中一点与A重合，舍去，故m≠一1，所以E= ·数学（北师大）答案（第5页，共6页）· a+1.D-gm-》 (14分) 整理得)-y=0,解得y=0或y=号 放圆口的方程为+y+日m-1Dx 4(n+ (16分) x=2, x=-1, 1 1)y-4(m-1)-4=0, 所以{ 或3 y=0,y=2' 整理得(+y-日+9)+（日+子- 故经过A,P,Q的圆2经过两个定点(2,0)， })m=0. (-1,) (17分) (15分) x2+y2-1x+115 4y-4=0, 8+ 1,11 8x+4y-4=0, ·数学（北师大）答案（第6页，共6页）·