第五章 一元函数的导数及其应用单元检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若f(x)=sin α-cos x,则f'(x)等于(　　)

A.sin x B.cos x 

C.cos α+sin x D.2sin α+cos x

2.若曲线y=在点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标是(　　)

A. B.

C. D.

3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=(　　)

A.-4 B.-2 

C.4 D.2

4.已知函数f(x)=ax3+ax2-2ax+1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是(　　)

A.- 

B.-,-

C.-,- 

D.

5.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是(　　)

6.函数f(x)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是(　　)

A.1 B. C.0 D.-1

7.已知函数f(x)=x2+2x+aln x,若函数f(x)在区间(0,1)内单调,则实数a的取值范围是(　　)

A.[0,+∞) 

B.(-∞,-4)

C.(-∞,-4]∪[0,+∞) 

D.(-∞,-4)∪(0,+∞)

8.已知定义在R上的函数f(x),f(x)+xf'(x)<0,若a<b,则一定有(　　)

A.af(a)<bf(b) B.af(b)<bf(a)

C.af(a)>bf(b) D.af(b)>bf(a)

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),右面是函数y=xf'(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)的单调递增区间是(-2,0),(2,+∞)

B.函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2),(2,+∞)

C.x=-2是函数的极小值点

D.x=2是函数的极小值点

10.若直线l与曲线C满足下列两个条件:①直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;②曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列结论正确的是(　　)

A.直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3

B.直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln x

C.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x

D.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x

11.(2024·新高考Ⅰ)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(　　)

A.x=3是函数f(x)的极小值点

B.当0<x<1时,f(x)<f(x2)

C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0

D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上.

12.已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),函数g(x)=f'(x)+6x的图象关于y轴对称,则m=　　　　　,f(x)的单调递减区间为　　　　　. 

13.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x,若x=2是函数f(x)的极小值点,则实数a的值为　　　　　. 

14.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数m的取值范围是　　　　　. 

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.

(1)求a,b的值;

(2)求f(x)的单调区间.

 

 

 

 

 

 

16.(15分)某个体户计划经销A,B两种商品,据调查统计,当投资额分别为x(x≥0)万元时,在经销A,B商品中所获得的收益分别为f(x)与g(x)(单位:万元),其中f(x)=a(x-1)+2,g(x)=6ln(x+b)(a>0,b>0).已知投资额为零时经销两种商品的收益都为零.

(1)求a,b的值;

(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大收益.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.(15分)已知函数f(x)=x3-(a+1)x2+x-(a∈R).

(1)若a>1,求函数f(x)的极值;

(2)当0<a<1时,判断函数f(x)在区间[0,2]上零点的个数.