上海市高中四大名校2025年自主招生考试数学综合测试题

上海市高中四大名校

2025年自主招生考试数学综合测试题

（考试时间：60分钟；试卷满分：100分）

一、填空题（1-4题每题6分，5-8题每题7分）

1. 已知正数，，，满足，则______．

2. 的方程有实数根，那么的取值范围是______．

3. 实数和满足，则______．

4. 一组数据1，2，■，4，■，6，7，其中有两个数据被涂黑，平均值为4，那么这组数据方差的最小值为______．

5. 如图，正方形的边长为3，其内部有一个等腰直角三角形，其中，斜边长为，可以在正方形中任意滑动，始终保持垂直于，那么这个三角形的重心能扫到的面积为______．

6. 如图，平面直角坐标系中有一菱形，满足．一反比例函数经过点且交线段于点，那么______．

7. 如图，平行四边形的面积为1，，，是平行四边形的两条高，点，，的

位置如图所示，满足，且，那么边的长为______．

8. 对于正整数，我们定义：形如的数叫作三角形数，且把与叫作连续的三角形数，已知三个正整数，，满足，，是三个连续的三角形数，那么的最小值是______．

二、解答题（9-10题每题15分，11题18分）

9. 如图，四边形内接于圆，为圆的直径，与的延长线交于点．已知，

（1）求证：；

（2）若，求四边形的面积．

10. 已知函数，．

（1）若，与的图像恰有一个交点，求关于的函数解析式：

（2）若，，，与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，，问：代数式的值是否和实数有关？说明理由．

11. 一直角三角形的边长为，，．其中为斜边，我们把它叫做初始三角形．现在进行如下的变换：构造两个新的直角三角形，其边长分别为，，与，，．现在，对于边长为3，4，5的直角三角形反复进行上述的变换．

（1）第二次变换后，能够获得4个不同的直角三角形．问：这4个直角三角形中有几个直角三角形最小

角的正切值小于？

（2）第七次变换后，能够获得254个不同的直角三角形（含之前所有的三角形），已知这254个直角三角形没有一个与初始三角形相似，那么这些三角形中是否有相似的三角形？说明理由．