江苏省苏南五校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

苏南地区2025-2026学年上学期12月月考

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，则（    ）

A.  B. 1 C.  D.

3. 已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知平面向量，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知双曲线，以其右焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

6. 下列区间上函数单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知圆C的方程为，，点P在圆C内部，过点P的2025条弦长组成一个等比数列，且过点P的最短弦长和最长弦长分别为，，若，则的最大值为（    ）

A. 24 B. 26 C. 28 D. 30

8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，都为偶函数，则（    ）

A. 440.5 B. 441.5 C. 442.5 D. 443.5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，，

D. 若，则

10. 已知曲线：．以下说法正确的是（    ）

A. 曲线C的面积为

B. 直线与曲线C有且仅有两个公共点

C. 圆与曲线C无公共点

D. 是曲线C的一条切线

11. 已知从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，A，B，C分别是三条射线上不同于P的三个点.以下说法正确的是（    ）

A. 若，则直线与平面所成角的余弦值是

B. 若，且，则四面体的外接球的体积为

C. 存在四面体，其每个面都是直角三角形

D. 若，存在，使得平面平面

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______.

13. 已知等差数列的前n项和为，的前n项和为.若，，则______.

14. 对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，，，则______；若函数，则的值域为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 记为数列的前项和，已知，且为等比数列.

（1）求的值.

（2）设，证明：.

16. 如图，在四棱锥中，，，两两垂直，四边形是梯形，，，为棱的中点.

（1）设过点的平面与棱交于点，求证：；

（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由.

17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线与椭圆交于两点.当轴时，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设，当面积为时，求直线的方程.