13.三角函数的终边定义法（正弦、余弦、正切的定义）（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 13.三角函数的终边定义法（正弦、余弦、正切的定义）（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】任意角的三角函数的终边定义 ￮ 定义表述：设是一个任意角，它的终边与单位圆（圆心在原点，半径为的圆）交于点，那么叫做的正弦，叫做的余弦，叫做的正切。 ￮ 数学符号/表达式：，， ￮ 关键特征：三角函数值仅与角的终边位置有关，与终边上点的选取无关；单位圆是定义的载体。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的定义域、值域求解，平面直角坐标系的坐标运算，三角函数的诱导公式推导。 2. 【概念2】终边上任意点的三角函数定义 ￮ 定义表述：设角的终边上任意一点的坐标为，点到原点的距离为，则，，。 ￮ 数学符号/表达式：，，，其中 ￮ 关键特征：恒为正数；当时，此定义与单位圆定义一致。 ￮ 跨章节关联：适用于两点间距离公式的应用，三角函数值的计算，象限角的判断。 3. 【概念3】三角函数的定义域 ￮ 定义表述：使三角函数有意义的角的取值集合。 ￮ 数学符号/表达式： - 的定义域： - 的定义域： - 的定义域： ￮ 关键特征：正切函数的定义域受分母限制，对应角的终边不能在轴上。 ￮ 跨章节关联：适用于函数定义域的求解规则，集合的表示方法，象限角的分类。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 三角函数值与终边上点的关系 三角函数值与终边上点的位置无关，只与角的终边位置有关 误认为终边上点的坐标越大，三角函数值越大；计算时忽略的取值 与反比例函数混淆，反比例函数值与点的坐标有关，而三角函数值与终边位置有关 正切函数的定义域限制 中，即角的终边不能落在轴上 忽略正切函数的定义域限制，直接在处计算正切值 与一次函数的定义域对比，一次函数定义域为，无特殊限制 三角函数值的符号规律 正弦函数值的符号由的符号决定，余弦函数值的符号由的符号决定，正切函数值的符号由的符号共同决定 记忆混淆各象限三角函数值的符号；判断时忽略角的终边所在象限 与二次函数值的符号判断对比，二次函数值符号由开口方向和判别式决定，三角函数值符号由终边位置决定 三、题型分类与例题精析 题型1：利用单位圆定义求三角函数值 题型特征：已知角的终边与单位圆的交点坐标，直接根据定义计算的值。 解题步骤： 1. 确定单位圆上交点的坐标； 2. 直接套用定义：，，； 3. 若，则正切值不存在。 例题1 已知角的终边与单位圆交于点，求的值。 举一反三1-1 已知角的终边与单位圆交于点，求的值。 举一反三1-2 已知角的终边与单位圆交于点，求的值。 举一反三1-3 已知角的终边与单位圆交于点，求的值。 题型2：利用终边上任意点求三角函数值 题型特征：已知角的终边上任意一点的坐标，先求点到原点的距离，再根据定义计算三角函数值。 解题步骤： 1. 根据点的坐标，计算； 2. 套用定义公式：，，； 3. 化简计算结果，注意三角函数值的符号。 例题2 已知角的终边上有一点，求的值。 举一反三2-1 已知角的终边上有一点，求的值。 举一反三2-2 已知角的终边上有一点，求的值。 举一反三2-3 已知角的终边上有一点，求的值。 题型3：根据三角函数值判断角的终边位置 题型特征：已知三角函数值的符号或具体值，确定角的终边所在的象限或坐标轴。 解题步骤： 1. 根据三角函数值的符号规律，确定的符号； 2. 结合平面直角坐标系中象限的坐标符号特征，判断终边所在象限； 3. 若三角函数值为或不存在，判断终边在坐标轴上。 例题3 已知且，判断角的终边所在的象限。 举一反三3-1 已知且，判断角的终边所在的象限。 举一反三3-2 已知，判断角的终边所在的位置。 举一反三3-3 已知且，判断角的终边所在的象限。 题型4：三角函数定义域的求解 题型特征：根据三角函数的定义，结合定义域限制条件，求三角函数的定义域并表示为集合形式。 解题步骤： 1. 明确各三角函数的定义域限制条件； 2. 列出不等式或等式，求解角的取值范围； 3. 用集合或区间的形式表示定义域。 例题4 求函数的定义域。 举一反三4-1 求函数的定义域。 举一反三4-2 求函数的定义域。 举一反三4-3 求函数的定义域。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（） A． B． C． D． 2. 多选题 已知角的终边上有一点，则下列说法正确的有（） A． B． C． D． 3. 填空题 已知角的终边在轴负半轴上，则。 4. 解答题 (1) 已知角的终边上有一点，求的值。 (2) 已知且，判断角的终边所在的象限。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知角的终边上有一点，则的值为（） A． B． C． D． 2. 多选题 下列函数中，定义域为的有（） A． B． C． D． 3. 填空题 已知角的终边与单位圆交于点，且，则。 4. 解答题 (1) 已知角的终边上一点到原点的距离，且点的横坐标为，求的值。 (2) 求函数的定义域。 （三）拔尖冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知角的终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则的值为（） A． B． C． D． 2. 多选题 已知角的终边上有一点，则下列式子的值为定值的有（） A． B． C． D． 3. 填空题 已知，，且，若，，则。 4. 解答题 (1) 已知角的终边在直线上，求的值。 (2) 已知函数，求其定义域并表示为区间形式。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 13.三角函数的终边定义法（正弦、余弦、正切的定义）（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】任意角的三角函数的终边定义 ￮ 定义表述：设是一个任意角，它的终边与单位圆（圆心在原点，半径为的圆）交于点，那么叫做的正弦，叫做的余弦，叫做的正切。 ￮ 数学符号/表达式：，， ￮ 关键特征：三角函数值仅与角的终边位置有关，与终边上点的选取无关；单位圆是定义的载体。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的定义域、值域求解，平面直角坐标系的坐标运算，三角函数的诱导公式推导。 2. 【概念2】终边上任意点的三角函数定义 ￮ 定义表述：设角的终边上任意一点的坐标为，点到原点的距离为，则，，。 ￮ 数学符号/表达式：，，，其中 ￮ 关键特征：恒为正数；当时，此定义与单位圆定义一致。 ￮ 跨章节关联：适用于两点间距离公式的应用，三角函数值的计算，象限角的判断。 3. 【概念3】三角函数的定义域 ￮ 定义表述：使三角函数有意义的角的取值集合。 ￮ 数学符号/表达式： - 的定义域： - 的定义域： - 的定义域： ￮ 关键特征：正切函数的定义域受分母限制，对应角的终边不能在轴上。 ￮ 跨章节关联：适用于函数定义域的求解规则，集合的表示方法，象限角的分类。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 三角函数值与终边上点的关系 三角函数值与终边上点的位置无关，只与角的终边位置有关 误认为终边上点的坐标越大，三角函数值越大；计算时忽略的取值 与反比例函数混淆，反比例函数值与点的坐标有关，而三角函数值与终边位置有关 正切函数的定义域限制 中，即角的终边不能落在轴上 忽略正切函数的定义域限制，直接在处计算正切值 与一次函数的定义域对比，一次函数定义域为，无特殊限制 三角函数值的符号规律 正弦函数值的符号由的符号决定，余弦函数值的符号由的符号决定，正切函数值的符号由的符号共同决定 记忆混淆各象限三角函数值的符号；判断时忽略角的终边所在象限 与二次函数值的符号判断对比，二次函数值符号由开口方向和判别式决定，三角函数值符号由终边位置决定 三、题型分类与例题精析 题型1：利用单位圆定义求三角函数值 题型特征：已知角的终边与单位圆的交点坐标，直接根据定义计算的值。 解题步骤： 1. 确定单位圆上交点的坐标； 2. 直接套用定义：，，； 3. 若，则正切值不存在。 例题1 已知角的终边与单位圆交于点，求的值。 解析：根据单位圆上三角函数的定义，，。 ； ； 。 答案：，， 举一反三1-1 已知角的终边与单位圆交于点，求的值。 解析：由定义得，。 ； ； 。 答案：，， 举一反三1-2 已知角的终边与单位圆交于点，求的值。 解析：，，根据定义： ； ； 因为，所以不存在。 答案：，，不存在 举一反三1-3 已知角的终边与单位圆交于点，求的值。 解析：由定义得，，则。 答案： 题型2：利用终边上任意点求三角函数值 题型特征：已知角的终边上任意一点的坐标，先求点到原点的距离，再根据定义计算三角函数值。 解题步骤： 1. 根据点的坐标，计算； 2. 套用定义公式：，，； 3. 化简计算结果，注意三角函数值的符号。 例题2 已知角的终边上有一点，求的值。 解析：由点得，，则。 根据定义： ； ； 。 答案：，， 举一反三2-1 已知角的终边上有一点，求的值。 解析：，，。 ； ； 。 答案：，， 举一反三2-2 已知角的终边上有一点，求的值。 解析：，，。 ； ； 则。 答案： 举一反三2-3 已知角的终边上有一点，求的值。 解析：，，（）。 ； ； 则。 答案： 题型3：根据三角函数值判断角的终边位置 题型特征：已知三角函数值的符号或具体值，确定角的终边所在的象限或坐标轴。 解题步骤： 1. 根据三角函数值的符号规律，确定的符号； 2. 结合平面直角坐标系中象限的坐标符号特征，判断终边所在象限； 3. 若三角函数值为或不存在，判断终边在坐标轴上。 例题3 已知且，判断角的终边所在的象限。 解析：由可知，角的终边上点的纵坐标，终边在第一、二象限或轴正半轴； 由可知，角的终边上点的横坐标，终边在第二、三象限或轴负半轴； 两者取交集，可得角的终边在第二象限。 答案：第二象限 举一反三3-1 已知且，判断角的终边所在的象限。 解析：说明异号，终边在第二、四象限； 说明，终边在第一、四象限或轴正半轴； 取交集得角的终边在第四象限。 答案：第四象限 举一反三3-2 已知，判断角的终边所在的位置。 解析：由（）得，则角的终边在轴上。 答案：轴上 举一反三3-3 已知且，判断角的终边所在的象限。 解析：说明，终边在第二、三象限或轴负半轴； 说明同号，终边在第一、三象限； 取交集得角的终边在第三象限。 答案：第三象限 题型4：三角函数定义域的求解 题型特征：根据三角函数的定义，结合定义域限制条件，求三角函数的定义域并表示为集合形式。 解题步骤： 1. 明确各三角函数的定义域限制条件； 2. 列出不等式或等式，求解角的取值范围； 3. 用集合或区间的形式表示定义域。 例题4 求函数的定义域。 解析：正切函数的定义域要求， 解得， 因此函数的定义域为。 答案： 举一反三4-1 求函数的定义域。 解析：函数有意义需满足，即， 定义域为。 答案： 举一反三4-2 求函数的定义域。 解析：函数有意义需满足，解得， 定义域为。 答案： 举一反三4-3 求函数的定义域。 解析：函数有意义需满足， 由得， 综上，定义域为。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（） A． B． C． D． 解析：根据单位圆定义，。 答案：B 2. 多选题 已知角的终边上有一点，则下列说法正确的有（） A． B． C． D． 解析：，；；；，ABCD均正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知角的终边在轴负半轴上，则。 解析：轴负半轴上的点横坐标，由定义得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知角的终边上有一点，求的值。 解析：，，，则。 答案： (2) 已知且，判断角的终边所在的象限。 解析：说明，说明同号，故，角的终边在第三象限。 答案：第三象限 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知角的终边上有一点，则的值为（） A． B． C． D． 解析：，，则，。 答案：A 2. 多选题 下列函数中，定义域为的有（） A． B． C． D． 解析：A选项定义域满足条件；B选项即；C选项，定义域同A；D选项需，定义域不同。 答案：ABC 3. 填空题 已知角的终边与单位圆交于点，且，则。 解析：由单位圆定义，解得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知角的终边上一点到原点的距离，且点的横坐标为，求的值。 解析：设，，解得，，，则。 答案： (2) 求函数的定义域。 解析：函数有意义需满足， 由得，由得，结合， 定义域为。 答案： （三）拔尖冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知角的终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则的值为（） A． B． C． D． 解析：终边过，旋转后终边过，，。 答案：B 2. 多选题 已知角的终边上有一点，则下列式子的值为定值的有（） A． B． C． D． 解析：，，为定值；A、D的值随的符号变化而变化。 答案：BC 3. 填空题 已知，，且，若，，则。 解析：由得，代入得，，。 答案： 4. 解答题 (1) 已知角的终边在直线上，求的值。 解析：分两种情况： ① 当终边在第二象限时，取点，，，，； ② 当终边在第四象限时，取点，，，，。 答案：当终边在第二象限时，，，；当终边在第四象限时，，， (2) 已知函数，求其定义域并表示为区间形式。 解析：函数有意义需，即，解得， 区间形式为。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $