12.扇形面积的最值问题（给定周长求面积最大值）（提升）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 12.扇形面积的最值问题（给定周长求面积最大值）（提升）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】扇形的弧长公式 ￮ 定义表述：扇形的弧长是指扇形两条半径之间的圆弧长度，其大小与圆心角的弧度数和半径长度相关。 ￮ 数学符号/表达式：若扇形的半径为，圆心角为（，单位：弧度），则弧长。 ￮ 关键特征：弧长与半径、圆心角弧度数均成正比；圆心角需用弧度制计算。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的弧度制、平面几何的周长计算、二次函数的最值求解。 2. 【概念2】扇形的面积公式 ￮ 定义表述：扇形的面积是指扇形所占平面区域的大小，可通过圆心角和半径进行计算。 ￮ 数学符号/表达式：若扇形的半径为，圆心角为（，单位：弧度），则面积；结合弧长公式可推导得。 ￮ 关键特征：面积与半径的平方、圆心角弧度数成正比；两种公式可根据已知条件灵活切换。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的弧度制、二次函数的最值求解、不等式的基本定理应用。 3. 【概念3】扇形的周长公式 ￮ 定义表述：扇形的周长是指扇形的两条半径长度与弧长之和。 ￮ 数学符号/表达式：若扇形的半径为，弧长为，则周长；结合弧长公式可得（）。 ￮ 关键特征：扇形周长包含两条半径，与圆形周长的定义有区别；周长为定值是求面积最值的前提条件。 ￮ 跨章节关联：适用于平面几何的周长计算、二次函数的最值求解。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 扇形周长与半径的关系 给定周长时，，且由得 忽略半径的取值范围，认为可以取任意正数；误将扇形周长等同于弧长 二次函数中，若忽略，会错误认为顶点横坐标无约束 扇形面积最值的推导 给定周长，面积，当时，取得最大值 用均值不等式时忽略等号成立条件；圆心角用角度制代入公式计算，导致结果错误 均值不等式求最值时，需满足即，若忽略等号条件会得出错误最值 三、题型分类与例题精析 题型1：已知扇形周长（含参数），求面积的最大值（二次函数法） 题型特征：已知扇形周长为定值或含参数的表达式，利用弧长公式将面积转化为关于半径的二次函数，通过二次函数的顶点式求最值，需关注半径的取值范围。 解题步骤： 1. 根据扇形周长公式，建立弧长与半径的关系式； 2. 将面积公式转化为关于的二次函数（为周长）； 3. 根据二次函数的对称轴和定义域，确定面积的最大值及对应半径、圆心角。 例题1 已知扇形的周长为，求该扇形面积的最大值及此时扇形的圆心角的弧度数。 举一反三1-1 已知扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形的半径。 举一反三1-2 已知扇形的周长为，求扇形面积的最大值（用含的代数式表示）。 举一反三1-3 已知扇形的周长为，圆心角，求当面积最大时，扇形的弧长。 题型2：已知扇形周长，利用均值不等式求面积的最大值 题型特征：将扇形面积公式变形为积为定值或和为定值的形式，利用均值不等式求最值，需严格验证等号成立的条件。 解题步骤： 1. 根据周长公式将面积表示为（为周长）； 2. 变形构造均值不等式的应用形式，满足“一正、二定、三相等”的条件； 3. 求出面积最大值，并验证等号成立时半径和弧长的取值。 例题2 已知扇形的周长为，利用均值不等式求该扇形面积的最大值。 举一反三2-1 已知扇形的周长为，利用均值不等式求面积的最大值。 举一反三2-2 已知扇形的周长为，利用均值不等式求扇形面积的最大值。 举一反三2-3 已知扇形的周长为，若面积的最大值为，求周长的值。 题型3：扇形周长与面积的最值综合问题（含参数范围） 题型特征：已知扇形的周长和面积的约束条件，求参数的取值范围或圆心角的范围，需结合二次函数的单调性和定义域求解。 解题步骤： 1. 根据周长和面积的关系，建立关于半径的方程或不等式； 2. 结合二次函数的图像和性质，确定半径的取值范围； 3. 由半径范围推导圆心角或参数的范围。 例题3 已知扇形的周长为，面积不小于，求扇形半径的取值范围。 举一反三3-1 已知扇形的周长为，面积不大于，求扇形半径的取值范围。 举一反三3-2 已知扇形的周长为，面积的最大值为，且圆心角，求周长的取值范围。 举一反三3-3 已知扇形的周长为，圆心角，求面积的取值范围。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值为（） A． B． C． D． 2. 多选题 已知扇形的周长为，面积为，则下列说法正确的有（） A．的最大值为 B．当面积最大时，半径 C．当面积最大时，弧长 D．面积最大时，圆心角 rad 3. 填空题 已知扇形的周长为，面积的最大值为。 4. 解答题 (1) 已知扇形的周长为，求面积的最大值及此时圆心角的弧度数。 (2) 已知扇形的周长为，求当面积最大时，扇形的半径和弧长。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知扇形的周长为，面积关于半径的函数解析式及定义域为（） A．， B．， C．， D．， 2. 多选题 已知扇形的周长为，圆心角为，则下列说法正确的是（） A．越大，扇形的面积不一定越大 B．当时，面积最大 C．面积最大时，与无关 D．面积的最大值与的平方成正比 3. 填空题 已知扇形的周长为，若面积的最大值为，则。 4. 解答题 (1) 已知扇形的周长为，面积不小于，求半径的取值范围。 (2) 已知扇形的周长为，圆心角，求面积的取值范围。 （三）拔尖冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值与周长的比值为（） A． B． C． D． 2. 多选题 已知扇形的周长为，半径为，圆心角为，则下列关系式正确的有（） A． B． C．当时，最大 D．的最大值为 3. 填空题 已知扇形的周长为，若圆心角为整数，则的可能取值为。 4. 解答题 (1) 已知扇形的周长为，面积为，若，求半径的值。 (2) 已知扇形的周长为，将面积表示为圆心角的函数，并求的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 12.扇形面积的最值问题（给定周长求面积最大值）（提升）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】扇形的弧长公式 ￮ 定义表述：扇形的弧长是指扇形两条半径之间的圆弧长度，其大小与圆心角的弧度数和半径长度相关。 ￮ 数学符号/表达式：若扇形的半径为，圆心角为（，单位：弧度），则弧长。 ￮ 关键特征：弧长与半径、圆心角弧度数均成正比；圆心角需用弧度制计算。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的弧度制、平面几何的周长计算、二次函数的最值求解。 2. 【概念2】扇形的面积公式 ￮ 定义表述：扇形的面积是指扇形所占平面区域的大小，可通过圆心角和半径进行计算。 ￮ 数学符号/表达式：若扇形的半径为，圆心角为（，单位：弧度），则面积；结合弧长公式可推导得。 ￮ 关键特征：面积与半径的平方、圆心角弧度数成正比；两种公式可根据已知条件灵活切换。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数的弧度制、二次函数的最值求解、不等式的基本定理应用。 3. 【概念3】扇形的周长公式 ￮ 定义表述：扇形的周长是指扇形的两条半径长度与弧长之和。 ￮ 数学符号/表达式：若扇形的半径为，弧长为，则周长；结合弧长公式可得（）。 ￮ 关键特征：扇形周长包含两条半径，与圆形周长的定义有区别；周长为定值是求面积最值的前提条件。 ￮ 跨章节关联：适用于平面几何的周长计算、二次函数的最值求解。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 扇形周长与半径的关系 给定周长时，，且由得 忽略半径的取值范围，认为可以取任意正数；误将扇形周长等同于弧长 二次函数中，若忽略，会错误认为顶点横坐标无约束 扇形面积最值的推导 给定周长，面积，当时，取得最大值 用均值不等式时忽略等号成立条件；圆心角用角度制代入公式计算，导致结果错误 均值不等式求最值时，需满足即，若忽略等号条件会得出错误最值 三、题型分类与例题精析 题型1：已知扇形周长（含参数），求面积的最大值（二次函数法） 题型特征：已知扇形周长为定值或含参数的表达式，利用弧长公式将面积转化为关于半径的二次函数，通过二次函数的顶点式求最值，需关注半径的取值范围。 解题步骤： 1. 根据扇形周长公式，建立弧长与半径的关系式； 2. 将面积公式转化为关于的二次函数（为周长）； 3. 根据二次函数的对称轴和定义域，确定面积的最大值及对应半径、圆心角。 例题1 已知扇形的周长为，求该扇形面积的最大值及此时扇形的圆心角的弧度数。 解析：设扇形的半径为，弧长为，面积为。 由周长公式得，则。 由得，即。 扇形面积。 二次函数的对称轴为，且。 当时，。 此时，由得（rad）。 答案：扇形面积的最大值为，此时圆心角为 rad。 举一反三1-1 已知扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形的半径。 解析：设扇形半径为，弧长为，则，，由得。 面积，对称轴为，且。 当时，。 答案：面积最大值为，此时半径为。 举一反三1-2 已知扇形的周长为，求扇形面积的最大值（用含的代数式表示）。 解析：设扇形半径为，弧长为，则，，由得。 面积，对称轴为，且。 当时，。 答案：扇形面积的最大值为。 举一反三1-3 已知扇形的周长为，圆心角，求当面积最大时，扇形的弧长。 解析：设扇形半径为，弧长为，则，。 对称轴为，此时，弧长。 答案：弧长为。 题型2：已知扇形周长，利用均值不等式求面积的最大值 题型特征：将扇形面积公式变形为积为定值或和为定值的形式，利用均值不等式求最值，需严格验证等号成立的条件。 解题步骤： 1. 根据周长公式将面积表示为（为周长）； 2. 变形构造均值不等式的应用形式，满足“一正、二定、三相等”的条件； 3. 求出面积最大值，并验证等号成立时半径和弧长的取值。 例题2 已知扇形的周长为，利用均值不等式求该扇形面积的最大值。 解析：设扇形的半径为，弧长为，则，面积。 由得，故。 ，因为，，根据均值不等式， 则，当且仅当即时，等号成立。 此时，满足条件，故。 答案：扇形面积的最大值为。 举一反三2-1 已知扇形的周长为，利用均值不等式求面积的最大值。 解析：设半径为，弧长为，则，。 由，，得，当且仅当即时等号成立。 此时，。 答案：面积最大值为。 举一反三2-2 已知扇形的周长为，利用均值不等式求扇形面积的最大值。 解析：设半径为，弧长为，则，。 由，，得，当且仅当即时等号成立。 此时，。 答案：面积最大值为。 举一反三2-3 已知扇形的周长为，若面积的最大值为，求周长的值。 解析：由均值不等式得，解得，因为，所以。 答案：。 题型3：扇形周长与面积的最值综合问题（含参数范围） 题型特征：已知扇形的周长和面积的约束条件，求参数的取值范围或圆心角的范围，需结合二次函数的单调性和定义域求解。 解题步骤： 1. 根据周长和面积的关系，建立关于半径的方程或不等式； 2. 结合二次函数的图像和性质，确定半径的取值范围； 3. 由半径范围推导圆心角或参数的范围。 例题3 已知扇形的周长为，面积不小于，求扇形半径的取值范围。 解析：设扇形半径为，弧长为，则，，面积。 由得，即，解得。 又因为，得，故的取值范围是。 答案：。 举一反三3-1 已知扇形的周长为，面积不大于，求扇形半径的取值范围。 解析：，，，即，解得或。 又得，且，故的取值范围是。 答案：。 举一反三3-2 已知扇形的周长为，面积的最大值为，且圆心角，求周长的取值范围。 解析：由得，此时，，满足。 若变化，，结合，，，故，取值范围为。 答案：。 举一反三3-3 已知扇形的周长为，圆心角，求面积的取值范围。 解析：，，则，。 令，，，则。 设，，，二次函数对称轴为。 当即，时，； 当时，；当时，，故。 答案：。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值为（） A． B． C． D． 解析：设半径为，则，，当时，。 答案：B 2. 多选题 已知扇形的周长为，面积为，则下列说法正确的有（） A．的最大值为 B．当面积最大时，半径 C．当面积最大时，弧长 D．面积最大时，圆心角 rad 解析：由，均值不等式得最大值为，此时，， rad，ABCD均正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知扇形的周长为，面积的最大值为。 解析：。 答案： 4. 解答题 (1) 已知扇形的周长为，求面积的最大值及此时圆心角的弧度数。 解析：设半径为，，，当时，，， rad。 答案：最大值为，圆心角为 rad。 (2) 已知扇形的周长为，求当面积最大时，扇形的半径和弧长。 解析：，，当时，，。 答案：半径为，弧长为。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知扇形的周长为，面积关于半径的函数解析式及定义域为（） A．， B．， C．， D．， 解析：，得，，定义域为。 答案：A 2. 多选题 已知扇形的周长为，圆心角为，则下列说法正确的是（） A．越大，扇形的面积不一定越大 B．当时，面积最大 C．面积最大时，与无关 D．面积的最大值与的平方成正比 解析：面积最大值为，与成正比；当面积最大时，与无关；过大时半径减小，面积减小，ABCD均正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知扇形的周长为，若面积的最大值为，则。 解析：，（）。 答案： 4. 解答题 (1) 已知扇形的周长为，面积不小于，求半径的取值范围。 解析：，解得，结合得，故范围是。 答案： (2) 已知扇形的周长为，圆心角，求面积的取值范围。 解析：，当时，，故。 答案： （三）拔尖冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知扇形的周长为，则该扇形面积的最大值与周长的比值为（） A． B． C． D． 解析：，比值为。 答案：B 2. 多选题 已知扇形的周长为，半径为，圆心角为，则下列关系式正确的有（） A． B． C．当时，最大 D．的最大值为 解析：由得；；当时最大；，无最大值，ABC正确。 答案：ABC 3. 填空题 已知扇形的周长为，若圆心角为整数，则的可能取值为。 解析：，，且为整数，，验证得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知扇形的周长为，面积为，若，求半径的值。 解析：，整理得，解得或。 答案：或 (2) 已知扇形的周长为，将面积表示为圆心角的函数，并求的取值范围。 解析：，，由得，又得，故。 答案：， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $