专题02 锐角的三角比（5知识5题型3几何模型解题方法）（期末复习知识清单）九年级数学上学期沪教版五四制

该初中数学专题知识清单系统梳理了“锐角的三角比”核心内容，涵盖定义、特殊值、性质、解直角三角形及应用五大知识范畴，构建了从概念理解到性质运用再到实际问题解决的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型分类+几何模型”三维架构呈现知识体系，如“背靠背模型”明确公共边为解题关键，标注特殊角三角比取值等重难点，培养学生几何直观与应用意识。设计中考真题及变式题，搭配模型等量关系解读，助力学生高效掌握，教师可直接用于专题复习，提升教学针对性。

专题02 锐角的三角比（5知识5题型3几何模型解题方法） 【清单01】 锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 【清单02】特殊锐角的三角比的值 1 1 【清单03】锐角的三角比性质 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若，则； ③. 【清单04】解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 【清单05】 解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 3.坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即． 坡度通常写成1 : m的形式，如． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作． 坡度i与坡角之间的关系：． 【题型一】锐角的三角比 【例1-1】（2025·上海杨浦·一模）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海虹口·期末）在中，，如果，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知在中，，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点、、都在格点上，那么的正切值是（   ） A． B． C． D． 【题型二】特殊锐角三角比运算 【例2-1】（23-24九年级上·上海崇明·期末）计算：． 【例2-2】（23-24九年级上·上海静安·期末）计算：. 【变式2-1】（2025·上海黄浦·一模）计算：． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）计算：． 【变式2-3】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【变式2-4】（23-24九年级上·上海青浦·期末）计算：． 【题型三】解直角三角形的相关计算 【例3-1】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，．点D是边的中点，过点D作的垂线，与边相交于点E． (1)求线段的长； (2)求的值． 【例3-2】（2025·上海·一模）如图，已知在中，，，延长边至点，使，连接．取边的中点，连接并延长交边于点． (1)求的正弦值． (2)求的值． 【变式3-1】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，，，点、在的延长线上，连接、，且． (1)求的值； (2)如果，求的长． 【变式3-2】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 【变式3-3】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，点是边的中点，点，是射线上的动点（点在左边），以为一边作． (1)求的长； (2)当点是的重心时，求的值： (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【题型四】解直角三角形中的翻折与旋转问题 【例4-1】（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，矩形沿对角线翻折后，点落在点处．连接交边于点如果，，那么的长等于 ． 【例4-2】（2025·上海·二模）定义：一三角形中有两角与，若角的两倍与角的和为，则此三角形叫作准直角三角形，其中叫作二倍角．已知在准直角三角形中， ，是二倍角，且．连接中点D与中点E，将绕点B旋转，点D落在点处，点E落在直线上，则 ． 【变式4-1】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是 ． 【变式4-2】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）将平行四边形的边沿直线l翻折后，点B、C的对应点、落在直线上．如果，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是 ． 【题型五】 解直角三角形的实际应用 【例5-1】（2025·上海徐汇·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 【例5-2】（2025·上海徐汇·一模）如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是 千米（结果保留根号）． 【例5-3】（2025·上海金山·一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 【例5-4】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米(即米)，遮阳篷的宽度为米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为时，遮阳篷在地面上的阴影宽度为 米． 【变式5-1】（23-24九年级上·上海金山·期末）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为4米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为3米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 【变式5-2】（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【变式5-3】（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【变式5-4】（2025·上海嘉定·一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 【题型一】背靠背模型 模型解读 若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解其中公共边CD是解题的关键. 【等量关系】CD为公共边，AD+BD=AB 模型演变 【等量关系】如图①;CE=D4，CD=EA，CE+BD=AB; 如图②，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB 【例6】（2025·上海崇明·一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 【变式6-1】（2024·上海·模拟预测）“科技改变生活”，小顾是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到3位有效数字；参考数据：，） 【变式6-2】（2025·上海普陀·三模）如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)求点到地面的距离； (2)求大楼的高度．（结果保留根号） 【题型二】子母模型 模型解读 若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键 【等量关系】BC为公共边，如图，AD+DC=C;如图，DC-BC=DB 模型演变1 【等量关系】如图③，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC;如图④，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE. 模型演变2 【等量关系】如图⑤，BE+EC=BC;如图⑥，EC-BC=BE;如图⑦，AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG 模型演变3 【等量关系】如图⑧:BC=FG,BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG; 如图⑨，BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG, BD+DF=BF,AC+BD+DF=AG. 【例7-1】（23-24九年级上·上海青浦·期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取、两点，在处测得浦仓路桥顶部点的仰角为，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至处，在处测得点的仰角为，在处测得地面到水面的距离为米（点、、在一条直线上，， ，），求浦仓路桥顶部到水面的距离．（精确到米）（参考数据：，，；，，） 【例7-2】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为． (1)求坡顶B到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，， 【变式7-1】（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，某建筑物高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的处（即长为400米）.此时测得建筑物顶部的俯角为，当乘坐的热气球垂直上升到达处后，再次测得建筑物顶部的俯角为.（，） (1)请在图中标出俯角、，并用计算器求、的大小：___________，__________；（精确到“1”） (2)求热气球上升的垂直高度（即的长）. 【变式7-2】（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【变式7-3】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为，树根部为、树顶端为A，其中，视线的仰角为（已知），视线的仰角为（已知）． (1)测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中的长度，就可以了．”设，请你用含有的代数式表示松树的高度． (2)小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出的长度，我们总不能把坡给挖平了吧?”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树的高度． 【变式7-4】（23-24九年级上·上海长宁·期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【变式7-5】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 方案一：测量距离，仰角α，仰角β．    方案二：测量高度，仰角α，仰角β． 测量项目 CD α β 方案一 方案二 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比角度 sin cos tan cot 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：____________． 【题型三】拥抱模型 模型解读 分别解两个真角三角形，其中公共边BC是解题的关键 【等量关系】BC为公共边 模型演变 【等量关系】如图①，BF+FC+CE=BE;如图②，BC+CE=BE;如图③，AB=GE，AG=BE,BC+CE=AG，DG+AB=DE 【例8】（24-25九年级上·上海闵行·期中）“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么 ． 【变式8-1】（2023·上海·模拟预测）如图，斜坡的坡度为，坡顶B到水平地面（）的距离为3米，在B处、C处分别测得顶部点E的仰角为和，点A、C、D在一直线上，求的高度（精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 【变式8-2】（2023·上海徐汇·一模）如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡度，小明在斜坡下端处测得楼顶点的仰角为60°，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为30°，与地面垂直，垂足为，其中点、、在同一直线上． (1)求的值； (2)求大楼的高度（结果保留根号） 【变式8-3】（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米，其中，，） 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 专题02锐角的 锐角的三角比 【清单01】锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、 www .zxxk.com 上好每一堂课 三角比(5知识5题型3几何模型解题方法) 知识图谱 0正切 ②余切 定义 ③正弦 ④余弦 ★锐角三角比 0锐角增大，正增余减 性质 增减性 ②锐角减小，正减余增 030°角 特殊角的三角比 045°角 ③60°角 概念 0三边关系 直角三角形的边角关系 目锐角关系 ©边角关系 ★解直角三角形 ①已知两边 解直角三角形的基本类型 ②一角一边 0仰角俯角 解直角三角形实际应用 ②坡度 ®方位角 知识清单 余弦统称为这个锐角的三角比. 1/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义 表达式 取值范围 相互关系 ∠A的对边 tan A=4 tanB=b tan4>0 切 tan A= ∠A的邻边 b a (∠A为锐角) 1 tan 4=- ∠A的邻边 otA 余 b cot 4>0 cotA= cot= 切 ∠A的对边 cotB=a a (∠A为锐角) 正 ∠A的对边 sin A= 斜边 sinA=a c sinB=b 0<sinA<1 (∠A为锐角) sinA=cos(90°-∠A cosA=sin90°-∠A 余 ∠A的邻边 0<cosA<1 cosA= 斜边 COsA=b cosB=a (∠A为锐角) 【清单02】特殊锐角的三角比的值 0=30° 0=60° 0=45° tan a 3 5 3 cot a 5 5 1 3 sin a 2 2 2 2 cosa 5 1 2 2 2 2 【清单03】锐角的三角比性质 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小： ②若∠A+∠B=90°，则tanA=cotB;sinA=cosB, ③tan A.cot 4=l. 【清单04】解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在RtAABC中，如果∠C=90°，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： (1)三边之间的关系： a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系： ∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系： 2/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin 4-cos B-4,cos4=sin B-b C, tan A=cot B=a 6, cot4=tan B=b 【清单05】解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角.如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视 线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. ,视线 铅 垂 人仰角 线 文俯角 水平线 、视线 2方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角. 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45° 北 北偏东30° 北偏西70° 30 70° 入 4550° 南偏东50° 南偏西459 3.坡度（坡比)、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度， 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度1的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i,即1， 坡度通常写成1：m的形式，如i=1:l.5」 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作. h i= =tana 坡度i与坡角之间的关系： h 3/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末常考题型清单 【题型一】锐角的三角比 【例1-1】(2025上海杨浦一模)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4,AC=1,那么sinB的值是() 5 V15 A.4 B.15 C.4 D.5 【答案】A 【详解】解：如图， A Bsin B=4C=1' AB 4 故选：A, 【例1-2】(23-24九年级上·上海奉贤期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,∠A=Q,那么BC的长 是() A.5tana B.5cota C.5sina D.5cosa 【答案】A 【详解】由题意，画出图形如下： B C,即ana=BC 则anA=B 解得BC=5tana, 故选：A 【变式1-1】(24-25九年级上·上海虹口·期末)在△ABC中，∠C=90°，如果BC=3,AC=4,那么 tanA的值是() B.3 c. D.5 4/64 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：如图所示， A .tan 4=BC_3 AC 4' 故选：A. 【变式1-2】(23-24九年级上·上海嘉定·期末)已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=5,那么下列结 论正确的是() A.sin A=3 B.cos A= c.m4 D.cot=3 5 【答案】A 【详解】解：根据题意，AC=VAB2-BC=V52-3=4 A、sinA=BC3 AB5,正确，符合题意： B、cosA=4C-4 AB 5, 该选项错误，不符合题意； BC 3 C、tanA= AC4,该选项错误，不符合题意： AC 4 D、cotA=BC3,该选项错误，不符合题意： 故选：A 【变式1-3】(24-25九年级上·上海浦东新·期末)在网格中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在 4×4的网格中，点A、B、C都在格点上，那么∠BAC的正切值是() 5/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 2W5 A.5 B.5 C.2 D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，通过连接BC构造出直角三角形及熟知正切的定义是解答本题的 关键。 根据所给网格，连接BC得出BC与AC垂直，再结合正切的定义即可解决问题. 【详解】解：连接BC,如图所示： 夕 则BC⊥AC, 设小正方形网格的边长为a, 则由勾股定理得：BC=Va2+(2a'=V5a,AC=V2a2+(4a=2W5a, 在Rt△ABC中， tan∠BAC= BC 5a1 AC 25a 2, 故选：D 【题型二】特殊锐角三角比运算 c0s245°- sin 60 +cot30° 【例2-1】(23-24九年级上·上海崇明·期末)计算： 3tan30° 【答案】√ 5 2 【详解】解：原式= +5 3+ 3 1.1h5 22 6/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =√5 【例2-2】(23-24九年级上·上海静安·期末)计算： Vsin45°-1)2 +cos45°+cot30°.sin60° 【答案】2 1 - 【详解】解 2 Vsin45°-12+cos45°+cot30°.sin60° -1-2+5+5 2 2 2 22 【变式2-1】(2025上海黄浦一模)计算：sin245°- cot60° +sin30° 2cos30°+tan60° 5 【答案】 【详解】解：sin245°- cot60° 2cos30°+tan60° sin30° 5 3 (2 2× +5 2 2 11,1 262 6 2c0s60° 【变式2-2】(24-25九年级上·上海浦东新·期末)计算：2sin450-cot45 -V3tan60° 【答案】 V2-2 2x1 【详解1解：原式2 -3x3 2 7/64 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 -3 √2-1 =√2-2 tan45° 【变式2-3】(23-24九年级上上海奉贤·期末)计算：2sin60°-2c0s60 -cot30°-1. 【答案】3-⑤ 2 tan 45 【详解】2sin60°-2c0s60° cot30°-1 s- 5+15+1 2 =3-5 2 V1-cot302-2sin450+(cos301°+1 【变式2-4】(23-24九年级上·上海青浦·期末)计算： tan60°-√2 【答案】25 V1-cot30)2-2sin45°+(cos30)°+ 1 【详解】解： an60°-√2 1--2x +1+ √3-2 =(3-1-V2+1+5+2 =5-1-√2+1+5+V2 =2W5 【题型三】解直角三角形的相关计算 例3-1】(24-25九年级上上海浦东新期末)如图，在Rt△4BC中，∠4CB=90,MB=10,cosB 点D是边AB的中点，过点D作CD的垂线，与边BC相交于点E. 8/64 命学科网·上好课 www zxxk.com D B E (1)求线段CE的长： (2)求sin∠BDE的值. 【详解】(I)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 点D是边AB的中点， 1 .CD=BD=-AB 2 ∴.∠DCB=∠B cos B=4 Cos∠DCB=4 AB=10, CD=5. ,DE⊥CD, .∠CDE=90°. 在RIACDE中，os∠DCB=CD=4 CE5· 25 ..CE= 4· (2)解：过点E作EH⊥AB,垂足为点H. 在R△CDe中，CD-5C- 43 .DE=VCE2 -CD2=15 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， cos B=BC AB' 9/64 上好每一堂课 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=8 BE=BC-CE= '在Rt△BEH中， COsB=4 3 ∴.sinB= 5· 、EH= 21 20 六在R△DEH中，sin∠BDE=EA=Z DE 25 【例3-2】(2025上海一模)如图，已知在△4BC中，∠4CB=90, sin∠ABC 5,延长边B4至点D 使AD=AC,连接CD.取边AC的中点E,连接BE并延长交边CD于点F. A (I)求∠D的正弦值. CF (2)求FD的值. 【详解】(1)解：过点C作CG⊥BD于G, F D A G B 则∠AGC=90°， ∴.∠CAG+∠ACG=90°， ,∠ACB=90°， .∠BAC+∠ABC=90°， ∴.∠ABC=∠ACG, 3 ∴.sin∠ACG=sin∠ABC= 5 10/64