7.3独立性检验问题（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦北师大版选择性必修第一册第七章“独立性检验问题”，核心知识点包括2×2列联表、卡方（χ²）统计量及独立性检验实施步骤。课堂以“吸烟与肺癌关系”的现实问题导入，结合知识回顾中事件独立性与线性回归方程，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料特色在于以核心素养为导向，通过问题链引导学生用数学眼光观察数据差异，如计算吸烟者与不吸烟者患肺癌比例发现关联。用卡方统计量推导培养数学思维，整合实际与期望频率差异。典例涵盖性别与音乐喜爱、易怒与心脏病等实例，助力学生用数学语言表达现实问题。结构化小结助系统掌握，为教师提供详实备课资源，帮学生提升数据分析与实际问题解决能力。

§3 独立性检验问题 第七章 统计案例 北师大版2019 选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解独立性检验的基本思想及其实施步骤. 能利用等高堆积条形图、2×2列联表探讨两个分类变量的关联.了解随机变量χ2的含义及作用. 通过对数据的处理，提高解决实际问题的能力. 2. Y关于x的线性回归方程是什么？ Y， 知识回顾 1.两个事件相互独立的条件是什么？ P(AB)=P(A)P(B) 其中= = ， =-. 导入新课 议一议 我们知道，吸烟具有危害性。它的根据又是什么呢? 吸烟是否会影响患肺癌的概率？ 燃烧的是香烟 消耗的是生命 新知探究 探究点一 22列联表 为了调查吸烟与患肺癌是否有关系，某机构随机调查了6578人，得到如表7-8的数据(单位：人): 问题1 吸烟者总人数和不吸烟者总人数分别为多少？ 吸烟的总人数： 不吸烟的总人数： 新知探究 探究点一 22列联表 为了调查吸烟与患肺癌是否有关系，某机构随机调查了6578人，得到如表7-8的数据(单位：人): 问题2 患肺癌和不患肺癌的人数分别为多少？ 患肺癌的人数为：562379 不患肺癌的人数为：6499 新知探究 探究点一 22列联表 根据问题1、2，我们可以计算出吸烟与不吸烟的总人数分别是1988和4590，患肺癌和未患肺癌的总人数分别是79和6499，调查的总人数为6578，得到表7-9(单位：人): 假设"吸烟与否"与"是否患肺癌"没有关系，即吸烟与患肺癌是独立的。回答以下问题，验证该假设是否成立。 新知探究 探究点一 22列联表 问题3 在吸烟者中患肺癌的比例为多少？ 问题4 在不吸烟者中患肺癌的比例为多少？ 新知探究 探究点一 22列联表 问题5根据“问题1、2”可得到什么结论？ 吸烟人群中患肺癌的人所占百分比，与不吸烟人群中患肺癌的人所占百分比不相等，且相差较大。由此我们可以推断，开始的假设可能是不成立的。也就是说，患肺癌与吸烟可能是有关系的。由吸烟人群中患肺癌的人所占的百分比较大，可以认为吸烟会对肺癌的发病率产生一定的影响。 新知探究 探究点一 22列联表 问题6 能否根据表格中的数据和事件之间的独立性来判断吸烟与患肺癌是否有关系? 为了讨论方便，我们引人以下记号： 变量A: 表示吸烟，表示不吸烟； 变量B: 表示患肺癌，表示未患肺癌。 问题(1) 假设吸烟和患肺癌是独立的，需要满足什么条件？ P() P() P() P() 新知探究 探究点一 22列联表 问题6 能否根据表格中的数据和事件之间的独立性来判断吸烟与患肺癌是否有关系? 问题(2) 先讨论P()的情况，并列出频率表？ 如图所示，频率表即为所求 新知探究 探究点一 22列联表 问题6 能否根据表格中的数据和事件之间的独立性来判断吸烟与患肺癌是否有关系? 问题(3) 请计算既吸烟又患肺癌的人的频率. 问题(4) 请计算吸烟的人的频率. P( P() 新知探究 探究点一 22列联表 问题6 能否根据表格中的数据和事件之间的独立性来判断吸烟与患肺癌是否有关系? 问题(5) 请计算患肺癌的人的频率. 问题(6) 请根据“问题4、5、6”判断吸烟与患肺癌是否独立. P( 由于根据表中数据计算出的值是频率值，它只是概率的估计值，因此即使变量之间独立，这两个数一般也不一定恰好相等。但是当这两个数相差很大时，就可以得出：患肺癌与吸烟有关的可能性较大。 新知探究 知识点一 22列联表 A B 合计 a b a+b c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 设A,B为两个变量，每一个变量都可以取两个值， 变量A: ，; 变量B: ，. 新知探究 知识点一 22列联表 其中，a表示变量A取，且变量B取时的数据； b表示变量A取，且变量B取 时的数据； c表示变量A取，且变量B取时的数据； d表示变量A取，且变量B取时的数据。 设n=a+b+c+d，用 估计P()，估计P()，估计P() 若有式子 ，则可以认为与独立. 同理，若 ，则可以认为与独立； 新知探究 知识点一 22列联表 若 ，则可以认为与独立； 若 ，则可以认为与独立. 在 中，由于 表示的是频率，不同于概率。即使变量A、B之间独立，式子两边也不一定恰好相等。但是当两边相差很大时，变量A、B之间就不独立。 新知探究 探究点二 独立性检验的基本思想 问题1 如何量化“不独立”？ 在本章第3.1节研究吸烟是否对患肺癌有影响的问题中，我们表明了当过大时，变量之间不独立。同理，我们知道当，，过大时，变量之间也不独立。 需要一个统一的统计量，整合上述差值的信息，判断变量是否独立。 新知探究 探究点二 独立性检验的基本思想 问题2 统计量选择——卡方（）的由来. 将“各单元格的实际频率与独立假设下的期望频率的差异”进行标准化、求和，得到卡方（）统计量，用于检验变量独立性。卡方的原始表达式: 通过代数化简，得到更简洁的形式： 新知探究 探究点二 独立性检验的基本思想 问题3 卡方的意义——独立性的检验逻辑. 在“变量A,B独立”的前提下，当样本量n很大时，近似服从卡方分布(k)（k为自由度，此处k=1）。的值越大，变量A,B独立的可能性越小。 若服从分布(1)，则有表7-12的结论成立。 新知探究 探究点二 独立性检验的基本思想 问题4 利用独立性检验推断"变量A,B有关联"的一般步骤. (1)假设变量A,B是独立的，即提出假设：变量A,B独立。此时 (*)式中的近似服从分布(1) (2)计算出(*)式中的值，并根据表7-12作出判断。 新知探究 探究点二 独立性检验的基本思想 问题5 利用独立性检验推断本节课中"吸烟与患肺癌的问题". (1)提出假设：吸烟与患肺癌无关 (2)由计算得 (3)最后作出判断：因为62.698>10.828，所以我们认为可能性不超过0.1%的小概率事件发生了，所以认为假设H。不成立，即认为吸烟与患肺癌是有关的。 例1 典例分析 问题1 根据以上数据建立一个2×2列联表. 如图7-14 即为所求 某组织对男，女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者随机调查了146名青年，表7-13给出了调查的结果(单位：人): 试问：男，女青年喜爱古典音乐的程度是否有差异? 例1 典例分析 问题2 根据题目提出假设. 依题意知该问题是判断喜爱古典音乐是否与青年的性别有关。提出假设：喜爱古典音乐与青年性别无关。 某组织对男，女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者随机调查了146名青年，表7-13给出了调查的结果(单位：人): 试问：男，女青年喜爱古典音乐的程度是否有差异? 例1 典例分析 问题3 根据题目计算值. 某组织对男，女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者随机调查了146名青年，表7-13给出了调查的结果(单位：人): 试问：男，女青年喜爱古典音乐的程度是否有差异? 例1 典例分析 问题4 根据以上计算判断假设是否正确. 因为15.021>10.828，所以我们认为可能性不超过0.1%的小概率事件发生了，所以认为假设H。不成立，即认为喜爱古典音乐与青年的性别有关。 某组织对男，女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者随机调查了146名青年，表7-13给出了调查的结果(单位：人): 试问：男，女青年喜爱古典音乐的程度是否有差异? 例2 典例分析 问题1 根据以上数据建立一个2×2列联表. 如图7-16 即为所求 容易生气的人更有可能患心脏病吗?某机构随机调查了2796人，表7-15给出了调查的结果(单位:人): 试问:容易生气的人是否更有可能患心脏病? 例2 典例分析 问题2 根据题目提出假设. 容易生气的人更有可能患心脏病吗?某机构随机调查了2796人，表7-15给出了调查的结果(单位:人): 试问:容易生气的人是否更有可能患心脏病? 依题意知该问题是判断患心脏病是否与易怒有关.提出假设：患心脏病与易怒无关. 例2 典例分析 问题3 根据题目计算值. 容易生气的人更有可能患心脏病吗?某机构随机调查了2796人，表7-15给出了调查的结果(单位:人): 试问:容易生气的人是否更有可能患心脏病? 例2 典例分析 问题4 根据以上计算判断假设是否正确. 容易生气的人更有可能患心脏病吗?某机构随机调查了2796人，表7-15给出了调查的结果(单位:人): 试问:容易生气的人是否更有可能患心脏病? 因为5.805>5.024，所以我们认为可能性不超过2.5%的小概率事件发生了，所以认为假设不成立，即认为患心脏病与易怒有关. 例3 典例分析 生物学上对于人类头发的颜色与眼青虹膜的颜色是否有关进行了调研，以下是一次调查结果，调查人数共212人。调查结果如表7-17(单位:人): 试问：头发的颜色与眼睛虹膜的颜色有关吗? 问题1 根据以上数据建立一个2×2列联表. 如图7-18 即为所求 例3 典例分析 生物学上对于人类头发的颜色与眼青虹膜的颜色是否有关进行了调研，以下是一次调查结果，调查人数共212人。调查结果如表7-17(单位:人): 试问：头发的颜色与眼睛虹膜的颜色有关吗? 问题2 根据题目提出假设. 依题意知该问题是判断头发的颜色是否与眼睛虹膜的颜色有关。提出假设：头发的颜色与眼睛虹膜的颜色无关。 例3 典例分析 生物学上对于人类头发的颜色与眼青虹膜的颜色是否有关进行了调研，以下是一次调查结果，调查人数共212人。调查结果如表7-17(单位:人): 试问：头发的颜色与眼睛虹膜的颜色有关吗? 问题3 根据题目计算值. 例3 典例分析 生物学上对于人类头发的颜色与眼青虹膜的颜色是否有关进行了调研，以下是一次调查结果，调查人数共212人。调查结果如表7-17(单位:人): 试问：头发的颜色与眼睛虹膜的颜色有关吗? 问题4 根据以上计算判断假设是否正确. 因为55.576>10.828，所以我们认为可能性不超过0.1%的小概率事件发生了，所以认为假设不成立，即认为头发的颜色与眼睛虹膜的颜色有关。 例4 典例分析 某厂家为了解顾客对改进后产品的满意度，随机调查了相同数量的男、女顾客，经统计有的男顾客“不满意”，有的女顾客“不满意”，若依据小概率值α=0.01的独立性检验，认为对产品是否满意与性别有关，则调查的总人数可能为 参考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d. 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.150 B.168 C.192 D.156 √ 例4 典例分析 依题意，设男、女顾客的人数各为12x. 建立2×2列联表如表所示：   满意 不满意 合计 男生 10x 2x 12x 女生 8x 4x 12x 合计 18x 6x 24x χ2==， 由题意可知≥6.635，所以24x≥179.145. 核心工具： 课堂小结 2×2列联表、卡方统计量 核心逻辑： 通过值判断数据与“独立假设”的偏差 卡方表达式 关键步骤： 列联表→提假设→算→比临界值→下结论； 结论规范： 明确置信度（95%/99%），不夸大关联为因果。 教材P258练习 课后练习 感谢聆听! $