专题29.1 投影（高效培优讲义）数学人教版九年级下册
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摘要：
本讲义聚焦投影的核心知识点，系统梳理投影的概念、平行投影与中心投影的区别、正投影的性质，构建“概念辨析—性质探究—实际应用”的学习支架，帮助学生逐步掌握投影类型判断、影子变化规律及简单计算。
资料特色鲜明，融入“悬梁刺股”等历史典故及路灯影子、旗杆投影等生活情境，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过即学即练与典例变式，强化推理意识与运算能力，课中辅助教师高效授课，课后练习题覆盖选择、解答等题型，助力学生查漏补缺，提升应用意识。
内容正文：
专题29.1 投影
教学目标
1. 掌握投影的概念并能够快速无误的判断投影的类型。
2. 能够利用投影的性质判断影子的变化情况，且能够根据投影的性质进行简单的计算。
教学重难点
1. 重点
（1）平行投影与中心投影；
（2）正投影。
2. 难点
（1）判断投影中影子的变化情况；
（2）对投影的简单计算。
知识点01 投影与平行投影
1. 投影的概念：
物体在光线的照射下，会在某个平面（如地面或墙壁）上留下它的 影子 ，这就是投影现象。一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做 投影线 ，投影所在的平面叫做 投影面 。
2. 平行投影的概念：
由 平行光线 形成的投影是平行投影。通常只把太阳光线认定为时平行光线。在太阳光线下，同一时刻不用物体的高度与影长成 正比 且影子方向一致。一天之中，人在太阳光下形成的影长的变化情况为： 长 → 短 → 最短 → 短 → 长 。
【即学即练1】
1．下列投影是平行投影的是（ ）
A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子
B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子
C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子
D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子
【答案】B
【解答】A．灯是点光源，光线发散，形成中心投影，故此选项不符合题意；
B．太阳光近似平行光线，形成平行投影，故此选项符合题意；
C．萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影，故此选项不符合题意；
D．灯光为点光源，光线发散，形成中心投影，故此选项不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
2．平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是：
故选：D．
【即学即练3】
3．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.25米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A．7.2米 B．8.2米 C．9.2米 D．10.2米
【答案】C
【解答】解：作CE⊥AB于E点，如图，
由题意可得：BD＝CE＝9，BE＝CD＝2，
∴，
即，
∴AB＝AE+BE＝7.2+2＝9.2（m）．
故选：C．
知识点02 中心投影
1. 中心投影的概念：
由 同一点（点光源） 发出的光线形成的投影叫做中心投影。物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系。
在灯光下，等高的物体垂直于地面放置时物体离灯光远的物体影子较 长 ，离灯光进的物体影子较 短 。等长的物体平行于地面放置时，离灯光越近影子越 大 ，离灯光越远影子越 短 。
【即学即练1】
4．下列各种现象不属于中心投影的是（ ）
A．中午用来乘凉的树影
B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市霓虹灯形成的影子
D．陕西皮影戏中的影子
【答案】A
【解答】解：中午用来乘凉的树影是平行投影；
晚上在房间内墙上的手影，都市霓虹灯形成的影子，陕西皮影戏中的影子都是中心投影．
故选：A．
【即学即练2】
5．如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（ ）的影子最长．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解答】解：由图可知，四个身高相同的小朋友站在路灯下，丁离路灯最远，则丁的影子最长，
故选：D．
【即学即练3】
6．如图，夜晚冬冬从A点走向B点，他的影子会（ ）
A．一直变长 B．一直变短
C．先变长，再变短 D．先变短，再变长
【答案】D
【解答】解：如图，夜晚冬冬从A点走向B点，他的影子会先变短，再变长．
故选：D．
知识点03 正投影
1. 正投影的概念：
在平行投影中，投影线 垂直于 投影面产生的投影叫做正投影。
①当物体平行于投影面时，物体与正投影 全等 。
②当物体倾斜于投影面时，实际物体 大于 正投影。
③当物体垂直于投影面时，正投影是 一条线或一个点 。
【即学即练1】
7．如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，已知AB＝30cm，∠ABB1＝110°，则投影A1B1的长为（ ）
A．30sin20°cm B．30cos20°cm
C．30cos110°cm D．30tan20°cm
【答案】B
【解答】解：如图，过B点作BC⊥AA1，
∵A1B1是线段AB在投影面上的正投影，
∴A1B1⊥AA1，A1B1⊥BB1，
∴四边形A1B1BC是矩形，
∴A1B1＝BC，∠CBB1＝90°，
∵∠ABB1＝110°，
∴∠ABC＝∠ABB1﹣∠CBB1＝110°﹣90°＝20°，
∴BC＝AB•cos∠ABC＝30cos20°cm，
∴A1B1＝BC＝30cos20°cm，
故选：B．
【即学即练2】
8．如图，一条线段AB在平面Q内的正投影为A'B'，AB＝2，A′B′，则AB与A'B'的夹角为（ ）
A．45° B．30°
C．60° D．以上都不对
【答案】B
【解答】解：过A作AC⊥BB′，交BB′于C点，
∵AB在平面Q内的正投影为A′B′，
∴∠AA′B′＝∠BB′A′＝90°，
∴AC∥A′B′，且AC＝A′B′，则∠BAC即为所求，
∵cos∠BAC，
∴∠BAC＝30°，
∴AB与A'B'的夹角为30°．
故选：B．
题型01 判断投影类型
【典例1】下列不是中心投影的是（ ）
A．阳光下房屋的影子
B．晚上在房间内墙上的手影
C．人在路灯下形成的影子
D．皮影戏中的影子
【答案】A
【解答】解：A．阳光下房屋的影子的光源是太阳光，这是平行投影，符合题意；
B．晚上在房间内墙上的手影是中心投影，不符合题意；
C．认栽路灯下形成的影子是中心投影，不符合题意；
D．皮影戏中的影子是中心投影，不符合题意．
故选：A．
【变式1】如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术．皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ）
A．平行投影
B．中心投影
C．既是平行投影又是中心投影
D．无法确定
【答案】B
【解答】解：“皮影戏”中是用灯光向外散射形成的投影，是中心投影．
故选：B．
【变式2】下列投影是平行投影的是（ ）
A．手电筒照射下小棒的影子
B．太阳光下窗户的影子
C．路灯下行人的影子
D．台灯下纸片的影子
【答案】B
【解答】解：A、手电筒照射下小棒的影子为中心投影，故此选项不符合题意；
B、太阳光下窗户的影子为平行投影，符合题意；
C、路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不符合题意；
D、台灯下纸片的影子为中心投影，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式3】下列投影中，属于平行投影的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据定义：在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．特征：平行投影的投影线是平行的判断如下：
A．如图，
属于中心投影，故不符合题意；
B．如图，
属于中心投影，故不符合题意；
C．如图，
属于中心投影，故不符合题意；
D．如图，
属于平行投影，故符合题意；
故选：D．
题型02 判断影子的变化情况
【典例1】下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【变式1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，树高与影长的比相等，所以A选项满足条件．
故选：A．
【变式2】如图，晚上小明在路灯下散步，在小明由A处沿直线走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【答案】C
【解答】解：在小明由A处沿直线到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短，当他从路灯下走到B处时，他在地上的影子逐渐变长．故选：C．
【变式3】在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射如图所示的球．当球向下移动时，这个球在地面上的影子大小的变化情况是（ ）
A．保持不变 B．越来越大 C．越来越小 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：当把球向下平移时，圆形阴影的大小的变化情况是：越来越小，
故选：C．
题型03 投影的简单计算
【典例1】如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（ ）
A．变长3.5m B．变长2.5m C．变短3.5m D．变短2.5m
【答案】C
【解答】解：设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴，，
则，
∴x；
，
∴y，
∴x﹣y＝3.5，
故变短了3.5米．
故选：C．
【变式1】如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，已知AB＝acm，∠ABB1＝110°，则投影A1B1的长为（ ）
A．a•cos20°cm B．a•sin20°cm
C．a•cos110°cm D．
【答案】A
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H，则四边形HBB1A1是矩形，
∴BH＝A1B1．
∵∠ABB1＝110°，
∴∠ABH＝110°﹣90°＝20°．
在Rt△ABH中，BH＝AB•cos20°＝a•cos20°（cm），
∴A1B1＝BH＝a•cos20°（cm）．
故选：A．
【变式2】一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（ ）
A．5cm B．15cm C．20cm D．25cm
【答案】C
【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，BC＝12cm，B1C1＝24cm，
∴A1C1：AC＝B1C1：BC＝2：1，
∵AC＝10cm，
∴A1C1＝20cm，
故选：C．
【变式3】如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，
设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FDx＝MN，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴，
即，
∴PNx，
∵PN+MN＝PM，
∴xx＝1.6，
解得，x，
故选：B．
1．下列各种现象中，属于平行投影的是（ ）
A．皮影戏中的影子
B．阳光下旗杆的影子
C．台灯下的笔筒的影子
D．汽车灯光照射下行人的影子
【答案】B
【解答】解：A．皮影戏中的影子为中心投影，不是平行投影，故不合题意；
B．阳光下旗杆的影子为平行投影，故符合题意；
C．台灯下的笔筒的影子为中心投影，不是平行投影，故不合题意；
D．汽车灯光照射下行人的影子为中心投影，不是平行投影，故不合题意；
故选：B．
2．在一些节假日或特定活动期间，榆林古城会有定边皮影等非遗表演．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ）
A．中心投影
B．平行投影
C．既是平行投影，又是中心投影
D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵皮影戏的光源是一盏煤油灯，属于点光源，
∴它的投影是中心投影．
故选：A．
3．在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（ ）
A．矩形 B．正方形
C．平行四边形 D．圆
【答案】D
【解答】解：矩形框在水平地面上形成的投影形状可能是矩形，正方形，平行四边形，线段，所以不可能是圆．
故选：D．
4．“明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐•谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是：
故选：D．
5．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ）
A．③①④② B．③②①④ C．③④①② D．②④①③
【答案】C
【解答】解：太阳从东边升起，西边落下，
所以先后顺序为：③④①②
故选：C．
6．用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（ ）
A．先变大后变小 B．逐渐变小
C．逐渐变大 D．先变小后变大
【答案】C
【解答】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大．
故选：C．
7．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知AB＝3cm，胶片与屏幕的距离EF为定值，设点光源到胶片的距离OE长为x（单位：cm），CD长为y（单位：cm），y随x的变化而变化，且当x＝60时，y＝43，则y与x的函数关系可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，即，
解得：EF＝800（cm），
∴，
∴y；
故选：C．
8．圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．2πm2 B．3π m2 C．6π m2 D．12π m2
【答案】B
【解答】解：如图所示：
∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOD，
∴，即，
解得：BD＝2m，
同理可得：AC′m，则BD′＝1m，
∴S圆环形阴影＝22π﹣12π＝3π（m2）．
故选：B．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4），是一个光源．木杆BC两端的坐标分别为（﹣1，2），（2，2）．则木杆BC在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【解答】解：如图，设AB交x轴于点D，AC交x轴于点E，作AN⊥x轴于点N，交BC于点M，
∵木杆BC两端的坐标分别为（﹣1，2），（2，2），
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
即，
解得DE＝6，
∴木杆BC在x轴上的投影长为6．
故选：C．
10．如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次的拐角∠B＝135°，第二次拐角C处有一路灯，白天某一时刻，路灯CE的影子CF与BC的夹角∠BCF＝97°，则∠FCD的度数为（ ）
A．38° B．45° C．46° D．49°
【答案】A
【解答】解：∵一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次的拐角∠B＝135°，
∴AB∥CD，
∴∠BCD＝∠B＝135°，
∵∠BCF＝97°，
∴∠FCD＝∠BCD﹣∠BCF＝135°﹣97°＝38°，
故选A．
11．身高相同的甲，乙两人分别距同一路灯2米，3米，路灯亮时，甲的影子比乙的影子 短 （填“长”或“短”）
【答案】短
【解答】解：中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以甲的影子比乙的影子短．
12．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知树高AB＝2m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度PO长是 5 米．
【答案】5
【解答】解：∵AB在路灯O的照射下形成投影AC，
∴AB∥OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴，
∵AB＝2m，AC＝3m，AP＝4.5m，
∴，
解得OP＝5，
即路灯的高度PO长是5米．
故答案为：5．
13．小明家的客厅有一张直径为1.4m，高0.8m的圆桌BC，在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE．如图，根据题意，以1m为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是 （4.1，0） ．
【答案】（4.1，0）．
【解答】解：∵高0.8m的圆桌BC，在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，
∴BC∥DE，
∴∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵BC＝1.4m，
∴DE＝2.1m，
∵点 D的坐标为 （2，0），
∴OD＝2m，
∴OE＝2+2.1＝4.1m，
∴E（4.1，0）．
故答案为：（4.1，0）．
14．如图，一块面积为40cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A'B'C'．若OB：BB'＝2：3，则△A'B'C'的面积是 250 cm2．
【答案】250．
【解答】解：∵OB：BB'＝2：3，
∴OB：OB'＝2：5，
∴△ABC与△A'B'C'的位似比为2：5，
∴，
∴250（cm2）．
故答案为：250．
15．如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的半径是 7.5cm ．
【答案】7.5cm．
【解答】解：如图所示，AB为皮球视图中圆的直径，过点C作CD∥AB，
由切线的性质可得：
∴AB⊥BC，AB⊥AD，BC⊥CD，，
∴四边形ABCD是矩形，则AB＝CD，
∴∠BCD＝90°，∠ECD＝30°，
∵，
∴，
∴AB＝CD＝15cm，
∴7.5（cm）．
故答案为：7.5cm．
16．如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子．
（1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）；
（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，延长MA、NB，它们的交点为O点，再连接OC、OD，并延长交地面于P、Q点，则PQ为CD的影子，所以点O和PQ为所作；
（2）作OF⊥MN交AB于E，如图，AB＝1.2m，EF＝1.2m，MN＝2m，
∵AB∥MN，
∴△OAB∽△OMN，
∴AB：MN＝OE：OF，即1.2：2＝（OF﹣1.2）：OF，解得OF＝3（m）．
答：路灯O与地面的距离为3m．
17．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝4m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE．
∵∠ABC＝∠DEF＝90°
∴△ABC∽△DEF．
∴AB：DE＝BC：EF，
∵AB＝7m，BC＝4m，EF＝8
∴7：4＝DE：8
∴DE＝14（m）．
18．已知一纸板的形状为正方形ABCD（如图所示），其边长为10厘米，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
【答案】cm2．
【解答】解：
∵正方形ABCD边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，
∴AD＝A1D1＝10厘米．
作AH⊥BB1于H．
∵∠ABB1＝45°，
∴AH＝sin45°AB厘米，
∴A1B1＝AH厘米，
∴投影面A1B1C1D1的面积＝A1D1•A1B1＝10cm2．
答：投影面A1B1C1D1的面积为cm2．
19．李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，
∴四边形CDME、ACDN是矩形，
∴AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），
∴MF＝EF﹣ME＝1.6﹣1.2＝0.4（m），
∴依题意知，EF∥AB，
∴△DFM∽△DBN，
∴，
即：，
∴BN＝20（m），
∴AB＝BN+AN＝20+1.2＝21.2（m）
答：楼高为21.2m．
20．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）；
【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 D ；
A.
B.
C.
D.
【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．
【答案】【画图操作】见解析；
【数学思考】D；
【解决问题】6.4m．
【解答】解：【画图操作】光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图①所示；
【数学思考】如图②所示，等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以小明的影长从A到B的变化是先越来越短再越来越长；
故答案为：D；
【解决问题】∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，，
又∵CD＝EF，
∴，
∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝（BD+3）（m），BG＝BD+DF+FG＝（BD+7）（m），
∴，
∴BD＝9m，BF＝9+3＝12m，
∴，
解得：AB＝6.4m；
∴灯杆AB的高度为6.4m．
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专题29.1 投影
教学目标
1. 掌握投影的概念并能够快速无误的判断投影的类型。
2. 能够利用投影的性质判断影子的变化情况，且能够根据投影的性质进行简单的计算。
教学重难点
1. 重点
（1）平行投影与中心投影；
（2）正投影。
2. 难点
（1）判断投影中影子的变化情况；
（2）对投影的简单计算。
知识点01 投影与平行投影
1. 投影的概念：
物体在光线的照射下，会在某个平面（如地面或墙壁）上留下它的 ，这就是投影现象。一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做 ，投影所在的平面叫做 。
2. 平行投影的概念：
由 形成的投影是平行投影。通常只把太阳光线认定为时平行光线。在太阳光线下，同一时刻不用物体的高度与影长成 且影子方向一致。一天之中，人在太阳光下形成的影长的变化情况为： → → → → 。
【即学即练1】
1．下列投影是平行投影的是（ ）
A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子
B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子
C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子
D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子
【即学即练2】
2．平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练3】
3．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.25米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（ ）
A．7.2米 B．8.2米 C．9.2米 D．10.2米
知识点02 中心投影
1. 中心投影的概念：
由 发出的光线形成的投影叫做中心投影。物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系。
在灯光下，等高的物体垂直于地面放置时物体离灯光远的物体影子较 ，离灯光进的物体影子较 。等长的物体平行于地面放置时，离灯光越近影子越 ，离灯光越远影子越 。
【即学即练1】
4．下列各种现象不属于中心投影的是（ ）
A．中午用来乘凉的树影
B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市霓虹灯形成的影子
D．陕西皮影戏中的影子
【即学即练2】
5．如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（ ）的影子最长．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【即学即练3】
6．如图，夜晚冬冬从A点走向B点，他的影子会（ ）
A．一直变长 B．一直变短
C．先变长，再变短 D．先变短，再变长
知识点03 正投影
1. 正投影的概念：
在平行投影中，投影线 投影面产生的投影叫做正投影。
①当物体平行于投影面时，物体与正投影 。
②当物体倾斜于投影面时，实际物体 正投影。
③当物体垂直于投影面时，正投影是 。
【即学即练1】
7．如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，已知AB＝30cm，∠ABB1＝110°，则投影A1B1的长为（ ）
A．30sin20°cm B．30cos20°cm
C．30cos110°cm D．30tan20°cm
【即学即练2】
8．如图，一条线段AB在平面Q内的正投影为A'B'，AB＝2，A′B′，则AB与A'B'的夹角为（ ）
A．45° B．30°
C．60° D．以上都不对
题型01 判断投影类型
【典例1】下列不是中心投影的是（ ）
A．阳光下房屋的影子
B．晚上在房间内墙上的手影
C．人在路灯下形成的影子
D．皮影戏中的影子
【变式1】如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术．皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ）
A．平行投影
B．中心投影
C．既是平行投影又是中心投影
D．无法确定
【变式2】下列投影是平行投影的是（ ）
A．手电筒照射下小棒的影子
B．太阳光下窗户的影子
C．路灯下行人的影子
D．台灯下纸片的影子
【变式3】下列投影中，属于平行投影的是（ ）
A． B．
C． D．
题型02 判断影子的变化情况
【典例1】下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】如图，晚上小明在路灯下散步，在小明由A处沿直线走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【变式3】在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射如图所示的球．当球向下移动时，这个球在地面上的影子大小的变化情况是（ ）
A．保持不变 B．越来越大 C．越来越小 D．不能确定
题型03 投影的简单计算
【典例1】如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（ ）
A．变长3.5m B．变长2.5m C．变短3.5m D．变短2.5m
【变式1】如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，已知AB＝acm，∠ABB1＝110°，则投影A1B1的长为（ ）
A．a•cos20°cm B．a•sin20°cm
C．a•cos110°cm D．
【变式2】一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（ ）
A．5cm B．15cm C．20cm D．25cm
【变式3】如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
1．下列各种现象中，属于平行投影的是（ ）
A．皮影戏中的影子 B．阳光下旗杆的影子
C．台灯下的笔筒的影子 D．汽车灯光照射下行人的影子
2．在一些节假日或特定活动期间，榆林古城会有定边皮影等非遗表演．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影，又是中心投影 D．无法确定
3．在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（ ）
A．矩形 B．正方形
C．平行四边形 D．圆
4．“明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐•谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ）
A．③①④② B．③②①④ C．③④①② D．②④①③
6．用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（ ）
A．先变大后变小 B．逐渐变小
C．逐渐变大 D．先变小后变大
7．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知AB＝3cm，胶片与屏幕的距离EF为定值，设点光源到胶片的距离OE长为x（单位：cm），CD长为y（单位：cm），y随x的变化而变化，且当x＝60时，y＝43，则y与x的函数关系可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．2πm2 B．3π m2 C．6π m2 D．12π m2
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4），是一个光源．木杆BC两端的坐标分别为（﹣1，2），（2，2）．则木杆BC在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
10．如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次的拐角∠B＝135°，第二次拐角C处有一路灯，白天某一时刻，路灯CE的影子CF与BC的夹角∠BCF＝97°，则∠FCD的度数为（ ）
A．38° B．45° C．46° D．49°
11．身高相同的甲，乙两人分别距同一路灯2米，3米，路灯亮时，甲的影子比乙的影子 （填“长”或“短”）
12．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知树高AB＝2m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度PO长是 米．
13．小明家的客厅有一张直径为1.4m，高0.8m的圆桌BC，在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE．如图，根据题意，以1m为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是 ．
14．如图，一块面积为40cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A'B'C'．若OB：BB'＝2：3，则△A'B'C'的面积是 cm2．
15．如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的半径是 ．
16．如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子．
（1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）；
（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离．
17．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝4m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长．
18．已知一纸板的形状为正方形ABCD（如图所示），其边长为10厘米，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
19．李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．
20．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）；
【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 D ；
A. B.C.D.
【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．
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