学易金卷：高二数学上学期期末模拟卷02（上海专用，沪教版必修三全册+选修一：空间向量与立体几何+统计概率+数列）

2025-2026学年高二年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1./0.5 2. 3. 4. 6 5. 6. 18 7.垂 8. 9. / 10. 11. 1 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 序号 1 2 3 4 选项 D A A D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（本题14分） （1）根据题意，， ....................................................7分 （2）质量位于与之间等于在区间上的白糖的袋数，共有14袋，所占的百分比为. 由此估计600袋白糖中质量位于与之间的共有袋，所占的百分比为. ...................................................14分 18.（本题14分） （1）证明：取中点，连接、， 由于是的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于，平面， 所以平面....................................................6分 （2）设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 由于，所以， 由于平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. ...................................................14分 19.（本题14分） （1）在长方体，因为， 所以四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面；...................................................7分 （2）如图所示，设和交于点，则为的中点，连接 是的中点，. 由（1）知为在平面内的射影，故为直线与平面所成角， 且， ， 又， 直线与平面所成角的大小....................................................14分 20.（本题18分） （1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以.....................................................8分 （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量， 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以.....................................................18分 21.（本题18分） （1），是公差为2的等差数列， 所以，所以，又因为， 所以，即， ，即．.....................................................5分 （2）因为，所以， 所以，当，单调递减，所以， 当，单调递增，所以， 所以数列的最小值为，所以，使得对一切正整数，均有；.......................................10分 （3）因为，所以， 所以化简得， 当时，， 求和得， 所以； 当时，， 则. 综上所述，.....................................................18分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2025-2026学年高二年级数学上学期期末模拟卷 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 : 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版必修第三册全部+选一立体几何与空间向量、数列。。 : 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.） 1.已知空间向量=(1,2,2)，b=(1,x,-1)且a1b,则x= 2.用数学符号表示“直线4在平面B上"为 3. 若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为】 4.把水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法，得到如图所示的直观图A'B'CD',其中 : : B'C'=2AD'=4,A'B'=1,则四边形ABCD的面积为 (O)B' : 正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的正切值 为 拟 : : 6.正方体ABCD-AB,C,D的棱长为4，E,F分别为BC、CC的中点，则平面AEF截正方体所得的截面 .: 面积为 : 7. : 在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点P在平面ABC上的投影O点是△ABC的 : 心 8.将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 9.已知事件A与事件B互相独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,则P(A⌒B)= 10.现有甲、乙两组数据.甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5：乙组数据有9个数，其平均数 为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 试题第1页（共4页） .: ©学科网·学易金卷德概德：或限餐是鲁帮 11.已知数列{a}的前n项和S.=logn,那么4+a,的值为一· 12.将扇形纸充0OCD剪掉前形Q1B后得到扇环ABCD,OA=AD-6,∠C0D-号·如图1，用扇环ACD 制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 B D 图1 图2 二、选择题（本大题共有4题，荷分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.在以下调查中，适合用普查的是(). A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.调查一批LED灯的寿命 C.调查某城市居民的食品消费结构 D.调查一个班级学生的身高情况 14.己知4，b是两条不同的直线，a为一个平面，aCa,则“b川a'是“a,b无公共点”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.在多面体ABC-DEF中，己知AD/1BE11CF,且它们两两之间的距离为4.若AD=2,BE=4,CF=6, 则该多面体的体积为(). D A- B A.16√3 B.8W3+16 c.l65 D.243-16 3 16.如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体O(i=1,2,,8), 有1个以正方体体心为球心的球体O。,O。与O(i=1,2,,8)均相切，则该9部分的体积和的范围是() 试题第2页（共4页） 西学科网·学易金卷做好德然限是鲁普 A.「V2x,V3π] B.「V3m,2x c.[「V3π，2π D.「V3π，(8W5-12)π 三、解答题（本大题共有5题，满分分》解答下列各题必须写出必要的步骤 17.(本题14分)某大型超市从一家贸易公司购进600袋白糖.为了了解这些白糖的重量情况，从中抽取 了21袋白糖，称出各袋白糖的重量（单位：g)如下： 486494496498499493492 498490497504489 495503 498502509498487501508 若设这21袋白糖的平均重量为x,标准差为$. (1)求x与$（精确到0.1)： (2)试估计在这600袋白糖中重量位于x-5与x+5之间的共有多少袋？所占的百分比是多少？ 18.(本题14分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ABI/CD,PA=AB=AD=2,CD=1, ∠ADC=90°，E,F分别为PB,AB的中点. (1)求证：CEI平面PAD: (2)求点B到平面PCF的距离. 试题第3页（共4页） 19.(本题14分)如图，长方体ABCD-AB,CD中，AB=AD=1,A4=2,点P为DD的中点. O D : C A B P D以 C B (1)求证：直线AC⊥平面BDD 米 (2)求直线AP与平面DDB所成角的大小. :: 游 : 游 20.(本题18分)如图，在长方体ABCD-ABCD中，DD=DA=1,AB=2,点E在棱AB上运动. D S O B : D B (1)证明：B,C⊥DE; CF (2②设B为棱AB的中点，在棱CC上是否存在一点R,使得BP/平面DBC,若存在，求CC的值，若不 : 存在，说明理由. 世 21.(本题18分)己知数列{a},{b.},{c}满足(a1-a)(b.1-b)=cn(n为正整数). (1)设cn=4n+6,{a}是公差为2的等差数列.当b=1时，求b2,b的值： (2)设cn=n,a。=n2-10n.求正整数k,使得对一切正整数n,均有b。≥b: (3到设c,=3+na=1+1少.当么=1时，求数列，子的通项公式。 : 2 O O 试题第4页（共4页） 2025-2026学年高二年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册全部+选一立体几何与空间向量、数列。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．已知空间向量，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】利用空间向量垂直及空间向量的坐标运算法则计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为： 2．用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 【答案】 【分析】由线面关系的符号表示即可得解. 【详解】“直线在平面上”的符号表示为. 故答案为： 3．若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径与高均为2， 所以圆柱的侧面积. 故答案为： 4．把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】把直观图还原,可知是直角梯形，利用梯形面积公式可求答案. 【详解】根据斜二测画法，还原成平面图形后，得到; 水平方向长度不变，则四边形是直角梯形，． 故答案为：6. 5．正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】如图可得异面直线与所成角等于，然后可得答案. 【详解】设正四棱锥棱长为2.连接AC，取AC中点为O，连接OE. 因E，O分别为PC，AC的中点，则， 则异面直线与所成角等于或其补角. 又由题可得，， 则. 故答案为： 6．正方体的棱长为4，分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 . 【答案】18 【分析】把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积即可． 【详解】解：如图，把截面补形为四边形， 连接，由正方体可得，可得等腰梯形为平面截正方体所得的截面图形， 由正方体的棱长为4，得，， ，则到的距离即等腰梯形的高为， 所求截面的面积为， 故答案为：18． 7．在三棱锥中，，则点在平面上的投影 O 点是 的 心. 【答案】垂 【分析】根据，利用线面垂直的判定定理得到平面PAC，从而，再根据点在平面上的投影为O，得到，有平面PBO，从而，同理证得，即可. 【详解】如图所示： 在三棱锥P-ABC中，因为， 平面PAC，又平面PAC，所以， 又点在平面上的投影为O，所以 平面ABC， 又平面ABC，所以 ， 又，所以平面PBO， 因为平面PBO，所以， 同理可得，， 所以点在平面上的投影 O 点是 的垂心. 故答案为：垂. 8．将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 【答案】; 【分析】根据球的体积和表面积公式，即可求解. 【详解】设小球的半径为，则，得， 所以这些小球的表面积之和为. 故答案为： 9．已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 【答案】/ 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式结合已知条件求解即可. 【详解】因为事件A与事件B互相独立，且，， 则. 故答案为：. 10．现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 【答案】 【分析】根据题意，混合数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】设甲、乙组平均数分别为，方差分别为， 设两组数据混合成一组的平均数为，方差为，则，，， 则， 故答案为：. 11．已知数列的前n项和，那么的值为 . 【答案】 【分析】根据，结合对数运算即可求解. 【详解】， 故答案为：1. 12．将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    【答案】 【分析】根据扇形和圆台的几何关系，求上下底面圆的半径，以及高，最后代入圆台的体积同时，即可求解. 【详解】由条件可知，， 设圆台上底面的半径为，下底面半径为， 弧长的长为,弧长， 所以，，，， 圆台上下底面的高， 所以圆台的体积. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．在以下调查中，适合用普查的是（    ）. A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查一批LED灯的寿命 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况 【答案】D 【分析】根据普查的概念判断即可； 【详解】A选项，每个批次生产的汽车的数量非常多，且调查汽车抗重击能力具有破坏性，不适合使用普查，应使用抽样调查； B选项，调查一批LED灯的寿命具有破坏性，不宜使用普查，应使用抽样调查； C选项，某城市居民数量非常多，不适合使用全面普查，应使用抽样调查； D选项，一个班级学生的身高情况，人数较少，适合用普查； 故选：D 14．已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的概念可确定选项. 【详解】由b∥α得直线b与平面α无公共点，由a⊂α得a，b无公共点，充分性成立. 由a，b无公共点得a∥b或a，b为异面直线，b∥α不一定成立，必要性不成立. 故“b∥α”是“a，b无公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 15．在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用补形法，补成一个三棱柱，利用柱体的体积公式计算即可. 【详解】    如图所示，用一个完全相同的多面体与多面体组合； 因为，所以，又， 则，从而， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又，所以平面平面， 所以组合体是一个三棱柱，又两两之间的距离为4， 不妨将三棱柱看作直三棱柱（侧棱与底面垂直）， 所以， 此时三棱柱的高，， 所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于侧棱之间的距离为定值，而侧棱与底面所成角不是定值，所以可以取侧棱垂直于底面的特殊情况，这仍满足题意；此时补形后的三棱柱的高为侧棱长，进而根据柱体的体积公式计算即可. 16．如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体，与均相切，则该9部分的体积和的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合正方体对角线及球的体积公式列式，再结合值域求解即可. 【详解】设球体的半径为，半径为， 所以，即得， 可得，所以， 开口向下，对称轴为， 所以， 该9部分的体积和为 ， 所以. 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（本题14分）某大型超市从一家贸易公司购进600袋白糖．为了了解这些白糖的重量情况，从中抽取了21袋白糖，称出各袋白糖的重量（单位：g）如下： 486    494    496    498    499    493    492 498    490    497    504    489    495    503 498    502    509    498    487    501    508 若设这21袋白糖的平均重量为，标准差为. (1)求与（精确到0.1）； (2)试估计在这600袋白糖中重量位于与之间的共有多少袋？所占的百分比是多少？ 【答案】(1)， (2)400袋， 【分析】（1）根据均值定义计算均值，根据方差公式计算出方差，然后得标准差； （2）直接计数即可得，然后计算所占百分比即可． 【详解】（1）根据题意，， . （2）质量位于与之间等于在区间上的白糖的袋数，共有14袋，所占的百分比为. 由此估计600袋白糖中质量位于与之间的共有袋，所占的百分比为. 18．（本题14分）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设是的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明，再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接、， 由于是的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于，平面， 所以平面. （2）设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 由于，所以， 由于平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. 19．（本题14分）如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证:直线平面 (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）设和交于点，连接，即可得到，则为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）在长方体，因为， 所以四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）如图所示，设和交于点，则为的中点，连接 是的中点，. 由（1）知为在平面内的射影，故为直线与平面所成角， 且， ， 又， 直线与平面所成角的大小. 20．（本题18分）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得平面， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，证明，由此可得结论. （2）求平面的法向量，由条件可得，由方程求得. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量， 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 21．（本题18分）已知数列满足（为正整数）． (1)设是公差为2的等差数列．当时，求的值； (2)设．求正整数，使得对一切正整数，均有； (3)设．当时，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】（1）根据公差化简计算得出,再代入求值即可； （2）代入求出，再分类得出数列的单调性即可得出； （3）分和两种情况分别应用累加法及分组求和法求出通项公式. 【详解】（1），是公差为2的等差数列， 所以，所以，又因为， 所以，即， ，即． （2）因为，所以， 所以，当，单调递减，所以， 当，单调递增，所以， 所以数列的最小值为，所以，使得对一切正整数，均有； （3）因为，所以， 所以化简得， 当时，， 求和得， 所以； 当时，， 则. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题第3问关键是得到，进而分情况利用累加法及分组求和法进行求解. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册全部+选一立体几何与空间向量、数列。。 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．已知空间向量，且，则 ． 2．用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 3．若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 4．把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为 ． 5．正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成角的正切值为 . 6．正方体的棱长为4，分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 . 7．在三棱锥中，，则点在平面上的投影 O 点是 的 心. 8．将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 9．已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 10．现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 11．已知数列的前n项和，那么的值为 . 12．将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．在以下调查中，适合用普查的是（    ）. A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查一批LED灯的寿命 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况 14．已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 16．如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体，与均相切，则该9部分的体积和的范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（本题14分）某大型超市从一家贸易公司购进600袋白糖．为了了解这些白糖的重量情况，从中抽取了21袋白糖，称出各袋白糖的重量（单位：g）如下： 486    494    496    498    499    493    492 498    490    497    504    489    495    503 498    502    509    498    487    501    508 若设这21袋白糖的平均重量为，标准差为. (1)求与（精确到0.1）； (2)试估计在这600袋白糖中重量位于与之间的共有多少袋？所占的百分比是多少？ 18．（本题14分）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 19．（本题14分）如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证:直线平面 (2)求直线与平面所成角的大小. 20．（本题18分）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 21．（本题18分）已知数列满足（为正整数）． (1)设是公差为2的等差数列．当时，求的值； (2)设．求正整数，使得对一切正整数，均有； (3)设．当时，求数列的通项公式． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册全部+选一立体几何与空间向量、数列。 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．已知空间向量，且，则 ． 2．用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 3．若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 4．把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为 ． 5．正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成角的正切值为 . 6．正方体的棱长为4，分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 . 7．在三棱锥中，，则点在平面上的投影 O 点是 的 心. 8．将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 9．已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 10．现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 11．已知数列的前n项和，那么的值为 . 12．将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．在以下调查中，适合用普查的是（    ）. A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查一批LED灯的寿命 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一个班级学生的身高情况 14．已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．在多面体中，已知，且它们两两之间的距离为4.若，则该多面体的体积为（   ）.    A． B． C． D． 16．如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体，与均相切，则该9部分的体积和的范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（本题14分）某大型超市从一家贸易公司购进600袋白糖．为了了解这些白糖的重量情况，从中抽取了21袋白糖，称出各袋白糖的重量（单位：g）如下： 486    494    496    498    499    493    492 498    490    497    504    489    495    503 498    502    509    498    487    501    508 若设这21袋白糖的平均重量为，标准差为. (1)求与（精确到0.1）； (2)试估计在这600袋白糖中重量位于与之间的共有多少袋？所占的百分比是多少？ 18．（本题14分）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 19．（本题14分）如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证:直线平面 (2)求直线与平面所成角的大小. 20．（本题18分）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 21．（本题18分）已知数列满足（为正整数）． (1)设是公差为2的等差数列．当时，求的值； (2)设．求正整数，使得对一切正整数，均有； (3)设．当时，求数列的通项公式． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 数 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7- 12题每题5分) 2 口 拓 3. 9 1 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15- 16题每题5分) 13[A[B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C]D] 16[A][B][C][D] 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分.) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二年级数学上学期期末模拟卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版必修第三册全部+选一立体几何与空间向量、数列。 一、境空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.） 1.已知空间向量a=(1,2,2),万=(1，x,-1)且a16,则x= 2.用数学符号表示“直线4在平面B上”为 3.若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为一 4.把水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法，得到如图所示的直观图A'B'C'D',其中 B'C=2AD=4,AB=1,则四边形ABCD的面积为· (O)B' 5.正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的正切值 为 6.正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为4，E,F分别为BC、CC的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面 积为 7.在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点P在平面ABC上的投影O点是△ABC的 心 8.将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为一 9.己知事件A与事件B互相独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,则P(A⌒B)= 1/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 10.现有甲、乙两组数据.甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为 5,方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 l1.已知数列{a,}的前n项和Sn=log,n,那么4+a,的值为 12.将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环ABCD,OA=4D=6,∠COD=亚，如图1，用扇环ABCD 制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为· A」 B 图1 图2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.在以下调查中，适合用普查的是(). A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.调查一批LED灯的寿命 C.调查某城市居民的食品消费结构 D.调查一个班级学生的身高情况 14.已知a,b是两条不同的直线，a为一个平面，aca,则b∥c”是“a,b无公共点”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.在多面体ABC-DEF中，已知AD/BE/1CF,且它们两两之间的距离为4.若AD=2,BE=4,CF=6,则 该多面体的体积为(). C A.16W5 B.83+16 C.16V5 D.243-16 3 2/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体O(i=1,2,,8),有 1个以正方体体心为球心的球体O。,O。与O(i=1,2,,8)均相切，则该9部分的体积和的范围是() A.「V2m,V3π] B.「V3π，2x） C.「3π，2π] D.「V3x(83-12)π 三、解等题（本大题共有5题，满分78分》解答下列各题必须写出必要的步骤 17.(本题14分)某大型超市从一家贸易公司购进600袋白糖.为了了解这些白糖的重量情况，从中抽取 了21袋白糖，称出各袋白糖的重量（单位：g)如下： 486494496498499493492 498490497504489495503 498502509498487501508 若设这21袋白糖的平均重量为x,标准差为s (1)求x与s(精确到0.1)： (2)试估计在这600袋白糖中重量位于x-5与x+5之间的共有多少袋？所占的百分比是多少？ 3/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(本题14分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ABIICD,PA=AB=AD=2,CD=1, ∠ADC=90°，E,F分别为PB,AB的中点. --->B C (1)求证：CE∥平面PAD: (2)求点B到平面PCF的距离. 19.（本题14分)如图，长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=1,AA=2,点P为DD的中点. A B ◇ D C (I)求证：直线AC⊥平面BDD (2)求直线AP与平面DDB所成角的大小. 4/5 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.（本题18分)如图，在长方体ABCD-AB,CD中，DD=DA=1,AB=2,点E在棱AB上运动 D C B (1)证明：B,C⊥DE: CF (②)设E为棱AB的中点，在棱CC上是否存在一点P,使得BF平面DBC,若存在，求CC的值，若不存 在，说明理由。 21.(本题18分)已知数列{a},b},{cn}满足(a1-an)(b1-bn)=c(n为正整数). (1)设cn=4+6,{a}是公差为2的等差数列.当b=1时，求b2,b的值： (2)设cn=i,a.=m-10n.求正整数k,使得对一切正整数n，,均有b.≥b; (6)设c。=3+2a,=1+少.当4=1时，求数列物，的通项公式. 2 5/5