2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末综合训练卷（深圳专用）

八年级数学上学期期末综合训练卷 （深圳专用，新教材北师大版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A．1，， B．，， C．，， D．，， 2．在，，，，，3.14，（每两个2之间1的个数逐次增加1）这些数中，无理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D．1 4．下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 5．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 7．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 8．已知平面直角坐标系中有三点，，，若过点C的直线将分成面积之比为两部分，则k的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 二、填空题 9．已知，则的算术平方根是 ． 10．如图，已知函数和的图像交于点，根据图像，可得方程组的解为 ． 11．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 12．如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为 ． 13．如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． 三、解答题 14．计算： (1)； (2)． 15．解下列方程： (1) (2) 16．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 八年级 九年级 平均数 中位数 86 a 众数 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______ ，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 17．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 18．甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 19．如图，，将两个直角三角形按如下方式进行摆放，其中，恰好满足． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 20．在中，，，，如图①，当时，． (1)如图②，当时，小明猜想，理由如下：过点A作，垂足为D，设，⋯，完成小明的证明过程； (2)如图③，当时，猜想与的大小关系，并证明你的猜想； (3)若一个钝角三角形中，两条较短边长分别是9和12，请直接写出最长边c的取值范围． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末综合训练卷 （深圳专用，新教材北师大版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A．1，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 2．在，，，，，3.14，（每两个2之间1的个数逐次增加1）这些数中，无理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：，是开方开不尽的数，是无理数， ，是分数，属于有理数，不是无理数， ，，是开方开不尽的数，是无理数， ，，是无限不循环小数，是无理数， ，是正整数，属于有理数，不是无理数， 3.14，是有限小数，属于有理数，不是无理数， 3.212212221…（每两个2之间1的个数逐次增加1），是无限不循环小数，是无理数， ∴ 无理数共4个。 故选：B． 3．点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与对称，熟练掌握以上知识是解题的关键． 关于轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，分别求解即可. 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，且， 解得：，， ∴， 故选；B． 4．下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项结论正确，符合题意； B、没有平方根，故此选项结论不正确，不符合题意； C、若，则或，故此选项结论不正确，不符合题意； D、64的立方根是4，故此选项结论不正确，不符合题意； 故选：A． 5．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查利用统计量作决策，熟记平均数及方差的意义是解决问题的关键． 根据平均数和方差的意义，平均数高表示成绩好，方差小表示发挥稳定，结合表中数据，选择平均数最高且方差最小的同学即可得到答案． 【详解】解：由表中数据可知，乙和丁的平均数最高，甲和乙的方差最小， 乙同学平均数最高且方差最小， 因此选择乙， 故选：B． 6．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据容量为10斗的桶得到；根据共得米7斗，得到，列出方程组进行判断即可． 【详解】解：由题意，可列方程组为：； 故选A． 7．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，结论正确，本选项不符合题意． 故选：C． 8．已知平面直角坐标系中有三点，，，若过点C的直线将分成面积之比为两部分，则k的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或， 故选：D． 二、填空题 9．已知，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的算术平方根．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而求出的值，再代入原式求出的值，进而计算并求其算术平方根． 【详解】解：由二次根式的定义，得且， 解得， ， ， 8的算术平方根是， 故答案为： ． 10．如图，已知函数和的图像交于点，根据图像，可得方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．据此求解即可． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∵函数和的图像交于点， ∴方程组的解为． 故答案为：． 11．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组；得，得出，结合已知可得，解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵， ∴ 解得： 故答案为：． 12．如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用、翻折的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据翻折的性质可得，，，再根据勾股定理可得，连接，设，根据勾股定理可求出，最后在中运用勾股定理可列出方程求解即可． 【详解】解：∵纸片是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接，如下图： 设， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴ ， 故答案为：． 13．如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 过点作，交于点，求出直线和坐标轴的坐标，利用角平分线的性质得出，设，则，利用等面积列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 当时，，即，， 当时，，解得，即，， 由勾股定理得，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 三、解答题 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的除法，最后计算加法即可得解； （2）先利用完全平方公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用代入法解答即可； （）利用加减法解答即可； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， ∴， 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得， 把代入②，得， ∴， ∴方程组的解为． 16．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 八年级 九年级 平均数 中位数 86 a 众数 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______ ，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】(1)；88；40 (2)九年级的成绩更好，理由：因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级 (3)500人 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义可得和的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出的值； （2）依据表格中平均数、中位数、众数做出判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数； 八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数； 由题意可得，故， 故答案为：；88；40； （2）解：九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级； （3）解：（人）， 答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有500人． 17．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据轴上点的坐标特征进行解答即可； （）根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行解答即可； （）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征进行解答即可； 本题考查了坐标与图形，熟知轴上及平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴， 解得； （3）解：∵点到轴的距离与到轴的距离相等， ∴或， 解得或， 当时，，， ∴点坐标为； 当时，，， ∴点坐标为， ∴点的坐标为或． 18．甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 【答案】(1)甲休息前的速度为75千米/时，乙的速度为60千米/时 (2) (3)乙车出发2小时或3小时，相距30千米 【分析】本题考查函数图象，一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； （2）先求出C、E的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设乙车出发x小时后两车相距30千米，由两车相向而行，故分相遇之前和相遇之后，两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：根据题意，得：甲休息前的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； （2）解：乙车从B地到A地所用的时间为小时， ∵甲比乙早到达目的地0.5小时， ∴， 又， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； （3）解：两车相遇前， 根据题意，得， 解得； 两车相遇后， 根据题意，得， 解得， 答：乙车出发2小时或3小时，相距30千米 19．如图，，将两个直角三角形按如下方式进行摆放，其中，恰好满足． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和与差． （1）根据角之间的关系可得，根据平行线的性质可知，根据邻补角的定义可以求出，再根据角之间的关系求出的度数即可； （2）由（1）可知，，根据，，可以求出，根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出，再利用，根据同位角相等，两直线平行，可说明． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．在中，，，，如图①，当时，． (1)如图②，当时，小明猜想，理由如下：过点A作，垂足为D，设，⋯，完成小明的证明过程； (2)如图③，当时，猜想与的大小关系，并证明你的猜想； (3)若一个钝角三角形中，两条较短边长分别是9和12，请直接写出最长边c的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的运用是解答的关键． （1）过A作于D，则，由勾股定理得出，，得出，即可得出结论； （2）过点C作的垂线并截取，连接，，根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，于是得到结论； （3）过点A作，交的延长线于点D，如图4，由三角形三边关系及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：过A作于D，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，即，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点C作的垂线并截取，连接，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点A作，交的延长线于点D，如图4， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，即， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 综上所述，若是钝角三角形，最长边c的取值范围为． 试卷第12页，共18页 试卷第13页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $