第6章 空间向量与立体几何（单元自测卷）高二数学苏教版

第6章 空间向量与立体几何 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知向量且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 3．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（    ） A．2 B． C． D． 7．如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 8．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 11．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则（  ） A．若N为线段GH上的中点，则 B．不存在点N，使得. C．存在，，使得 D．异面直线CE与BH所成角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．空间向量在上的投影向量为 ． 13．已知三棱锥中，点平面ABC，若，则 . 14．已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 16．（15分） 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点． (1)求的值； (2)求证：； (3)求直线和所成角的大小． 17．（15分） 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． (1)求证：平面平面； (2)若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面，，. (1)证明：平面平面； (2)设，且点P，B，C，D均在球O的球面上. （i）证明：点O在平面内；（提示：可设坐标，因为均在球的球面上，所以，再结合代数法计算） （ii）求O到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 空间向量与立体几何 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面，则存在实数使得， 即， 所以，即. 故选：B 2．已知向量且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【解析】因为向量且， 所以， 即，解得. 故选:B. 3．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B. 4．在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则. 故选：A. 5．已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，点到平面的距离为. 故选：A. 6．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】， 所以， 因为三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是， 所以， 所以. 故选：C. 7．如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】A 【解析】由题意得， 所以． 因为，二面角的大小为， 所以，． 因为， 所以， 所以. 故选：A. 8．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，连接， 则． 因为，即，故， 因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【解析】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 10．已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】对于A：由模长公式得，，A正确； 对于B：由题意得，因为，则存在实数，使得，即， ，B正确； 对于C：由题知，C错误； 对于D：向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 11．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则（  ） A．若N为线段GH上的中点，则 B．不存在点N，使得. C．存在，，使得 D．异面直线CE与BH所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】在三棱锥中，平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A，由N为线段GH上的中点，则， 又，所以，正确； 对于B，由是线段上的动点，设，则，， 由，则不存在点，使得，正确； 对于C，由，得， 则，方程无解，因此不存在，，使得，错误； 对于D，，，则， 所以异面直线CE与BH所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．空间向量在上的投影向量为 ． 【答案】 【解析】由题意得，，， 故向量在上的投影向量为. 故答案为： 13．已知三棱锥中，点平面ABC，若，则 . 【答案】3 【解析】由题意得，则， 因为A，B，C，D四点共面，所以，解得. 故答案为：3 14．已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为 . 【答案】 【解析】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为，设为的中心， 可得平面，且， 则， 设，因为， 可得， 整理得， 即点的轨迹为以为球心，半径为的球面， 则球心到平面的距离为，即球心到平面的距离为， 又由截面圆的性质，可得截面圆的半径为， 所以截面圆的周长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 【解析】（1）由，得. 6分 （2）由（1）知，， 由，得 ， 所以. 13分 16．（15分） 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点． (1)求的值； (2)求证：； (3)求直线和所成角的大小． 【解析】（1）由题易知， 所以． 5分 （2）证明：因为和分别是和的中点，则为的中点， 所以且，即， 所以 ， 所以． 10分 （3）设直线和所成角为， 又 ， ，则， 所以和所成的角为60°． 15分 17．（15分） 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． (1)求证：平面平面； (2)若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）在梯形中，，故， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 6分 （2）由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，．易知． 因为是的中点，点是的中点，所以，． ，． 设平面的法向量为，则得 10分 取，则，得平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 则． 15分 18．（17分） 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点，又因为为中点， 所以在中，有，因为平面，平面， 所以平面； 5分 （2）①在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，又， 8分 故为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则有，，，，， 则，，，， 设为平面的法向量，则有，即， 11分 取，得，，则， 点到平面的距离为，解得； 13分 （ii）当时，，， 设为平面的法向量，则有， 即，取，得，，则， 由①可知是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，所以， 16分 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17分 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面，，. (1)证明：平面平面； (2)设，且点P，B，C，D均在球O的球面上. （i）证明：点O在平面内；（提示：可设坐标，因为均在球的球面上，所以，再结合代数法计算） （ii）求O到平面的距离. 【解析】（1）因为底面，且平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 5分 （2）（i）以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 则，设， 因为均在球的球面上，所以， 则， 解得，即， 所以点在上，即点在平面内. 11分 （ii）由， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设到平面的距离为，则， 16分 所以到平面的距离为. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 空间向量与立体几何 单元自测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B A A C A D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BCD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13．3 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【解析】（1）由，得. 6分 （2）由（1）知，， 由，得 ， 所以. 13分 16．【解析】（1）由题易知， 所以． 5分 （2）证明：因为和分别是和的中点，则为的中点， 所以且，即， 所以 ， 所以． 10分 （3）设直线和所成角为， 又 ， ，则， 所以和所成的角为60°． 15分 17．【解析】（1）在梯形中，，故， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 6分 （2）由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，．易知． 因为是的中点，点是的中点，所以，． ，． 设平面的法向量为，则得 10分 取，则，得平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 则． 15分 18．【解析】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点，又因为为中点， 所以在中，有，因为平面，平面， 所以平面； 5分 （2）①在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，又， 8分 故为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则有，，，，， 则，，，， 设为平面的法向量，则有，即， 11分 取，得，，则， 点到平面的距离为，解得； 13分 （ii）当时，，， 设为平面的法向量，则有， 即，取，得，，则， 由①可知是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，所以， 16分 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17分 19．【解析】（1）因为底面，且平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 5分 （2）（i）以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 则，设， 因为均在球的球面上，所以， 则， 解得，即， 所以点在上，即点在平面内. 11分 （ii）由， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设到平面的距离为，则， 16分 所以到平面的距离为. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $