2025-2026学年沪教版 （五四制）八年级数学上册期末综合提升练

八年级数学上学期期末综合提升练 （新教材沪教版八上：实数 二次根式 一元二次方程 直角三角形） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A．7，8，9 B．1，，4 C．3，4，5 D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，判断各组线段是否满足两条较小线段的平方和等于最大线段的平方． 【详解】解：选项A：，不能构成直角三角形； 选项B：，不能构成直角三角形； 选项C：，能构成直角三角形； 选项D：，，通分后，不能构成直角三角形； 故选：C． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，理解其定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 3．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据平方根求原数． 利用正数的平方根互为相反数的性质，列方程求出a，再计算平方根和原数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 即， ∴， ∴一个平方根为， ∴这个正数为． 故选：A． 4．如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系． 【详解】解：在中，， ， ， ， ，， ，，故选项B正确； ∵是中斜边上的中线， ∴， ∴， ，故A选项正确； ∵，， ∴，故选项C正确； ∵不一定相等，， ∴不一定成立，故选项D错误． 故选：D． 5．在实数，（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，，，中，无理数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 在实数，（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，，，中，无理数有（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，，共3个， 故选：C． 6．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 二、填空题 7．比较大小 ． 【答案】< 【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案． 【详解】解：左边求倒数为， 右边求倒数为， ， ． 故答案为：< 8．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 其中，，， 由，得， 由， 得，即， 故且， 故答案为：且． 10．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查代数式有意义，代数式有意义需满足分式分母不为零，且二次根式中被开方数非负，据此进行求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，则需满足以下条件： 的被开方数，解得； 分式分母 ，解得； 因此，实数的取值范围是 且． 故答案为：且． 11．如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，由，点是边的中点，得到，从而得到，由题意可知，，得到，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，点是边的中点， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．用科学记数法表示： ． 【答案】 【分析】为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：． 13．如图，点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，从数轴上获取已知信息是解题的关键． 根据数轴上获取的条件和数轴上两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴点A表示的实数是：， 故答案为：． 14．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题的关键，根据题意易证得，，即可得到，进而可推算出的长． 【详解】解：∵，平分，， ∴， 在与中 ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 16．已知关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有实数解，需考虑方程类型：当 时，方程为一次方程，有解；当 时，方程为一元二次方程，需判别式非负，同时，根号内表达式要求． 【详解】解：由方程中可知，， 分以下两种情况讨论： 当，即时，方程为， 解得，有实数解； 当，即时，方程为一元二次方程， 判别式， 由，得，即． 综上所述，． 故答案为：． 17．如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质，分类讨论，是解题关键． 分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长． 【详解】解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 18．如图，在中，，是的角平分线，分别在边上．，连结． 若，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解决本题的关键． 过作于，由角平分线的性质推出，判定，得到，判定，推出，得到，求出，得到，由勾股定理求出，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过作于， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 三、解答题 19．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴或 ∴，． 20．计算： (1) (2)) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，绝对值，掌握运算法则即可解题． （1）根据二次根式的混合运算法则进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 21．如图，中，，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)在如图（1）边上求作一点D，使点D到点A、C两点的距离相等； (2)在如图（2）边上求作一点E，使得. 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查尺规作图画已知线段的垂直平分线，尺规作图画已知角的角平分线； （1）作线段的垂直平分线与的交点即为点D； （2）使得的点E到、的距离相等，即的角平分线与的交点. 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点D，连接， 由垂直平分线的性质可知：， 则点D即为所求. （2）解：如图，作的平分线，交于点， 此时点E到、的距离都等于的长度， ∴， 则点E即为所求. 22．为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成． (1)当的长为多少米时，生态园的面积为? (2)生态园的面积能达到 吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)米或米 (2)不能，理由见解析 【分析】（）设的长为米，则，根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出方程，再根据方程的解的情况即可判断求解； 本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设的长为米，则， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 答：当的长为米或米时，生态园的面积为； （2）解：不能，理由如下： 当时，方程整理得， ∵， ∴方程无实数解， ∴生态园的面积不能达到 ． 23．已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 【答案】(1)6 (2)17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系，等腰三角形的定义．掌握一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式和对等腰三角形恰当分类是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理可证，当时，三角形的周长为17； ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 24．认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【答案】(1)； (2)；任意实数 (3)或 【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据，，，并结合题意即可得解； （2）根据四次方根和三次方根的意义解答即可； （3）根据四次方根的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴81的四次方根为， ∵， ∴的五次方根为， 故答案为：；； （2）解：若有意义，则， 故的取值范围是； 若有意义，则的取值范围是任意实数， 故答案为：；任意实数； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 25．已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，当点在线段上，连接，求证：； (2)如图2，当点是延长线上一点，过点作于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，，分别是，上两个动点，满足，且，当最小时，直接写出的大小为_____（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质综合，掌握全等三角形的构造是解题关键． （1）根据两个等边三角形的性质，证明，即可求得； （2）作，分别证明与即可证得； （3）延续前两问的解题思路，构造出等边，通过三角形三边关系确定的最小值，最后根据三角形外角和定理即可求得． 【详解】（1）证明：与为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2），理由如下， 如图，连接，过点E作延长线于点H， 与均为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 如图，过点A在右侧作，且，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， 当三点共线时，取得最小值， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 26．已知：如图，在中，，，，点是边的中点，是边上的一动点（点不与点重合），过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，连接． (1)填空：______，______； (2)如图，当点在的延长线上时，设，，试用含的代数式表示； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)2；4 (2) (3)0或4或 【分析】（1）根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，然后求出结果即可； （2）证明，得出，，根据，，得出，，根据勾股定理得出，整理得出答案即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴，且， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵点D为边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴，， 根据勾股定理得：，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：． （3）解：当时，连接，如图所示： ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时点N与点C重合， ∴； 当时，如图所示： ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴此时点E与点C重合， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时； 当时，过点N作交于点G，如图所示： ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴； 综上分析可得：的长为0或4或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 试卷第20页，共23页 试卷第19页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末综合提升练 （新教材沪教版八上：实数 二次根式 一元二次方程 直角三角形） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A．7，8，9 B．1，，4 C．3，4，5 D．，， 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 4．如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．在实数，（相邻两个1之间0的个数逐次加1个），，，，中，无理数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 二、填空题 7．比较大小 ． 8．已知，且，则 ． 9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 10．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 11．如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为 ． 12．用科学记数法表示： ． 13．如图，点A表示的实数是 ． 14．在实数范围内分解因式： ． 15．如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 16．已知关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 17．如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 18．如图，在中，，是的角平分线，分别在边上．，连结． 若，则的面积是 ． 三、解答题 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．计算： (1) (2)) 21．如图，中，，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)在如图（1）边上求作一点D，使点D到点A、C两点的距离相等； (2)在如图（2）边上求作一点E，使得. 22．为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成． (1)当的长为多少米时，生态园的面积为? (2)生态园的面积能达到 吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23．已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 24．认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 25．已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，当点在线段上，连接，求证：； (2)如图2，当点是延长线上一点，过点作于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，，分别是，上两个动点，满足，且，当最小时，直接写出的大小为_____（用含的式子表示）． 26．已知：如图，在中，，，，点是边的中点，是边上的一动点（点不与点重合），过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，连接． (1)填空：______，______； (2)如图，当点在的延长线上时，设，，试用含的代数式表示； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $