九年级数学上学期期末模拟卷02（湘教版，测试范围：九上全部内容）

2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．为丰富学生校园生活，某中学决定根据学生的喜爱情况开设兴趣班，分别是绘画班、篮球班、机器人班、美术班、围棋班．现随机抽取部分学生进行问卷调查，并绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，判断下列说法正确的是（    ）      A．本次调查的总人数为200人 B．调查的学生中选择“美术班”的有20人 C．该校共有学生2000人，选择“篮球班”的大约有350人 D．扇形统计图中，选择“围棋班”的学生人数所占的圆心角是 5．如图，，若，，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 6．摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 7．设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．1 D． 8．小小气球也蕴含着大学问，已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数．其图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．与之间的关系式为 B．当时， C．当越来越大时，也越来越大 D．当时， 9．将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，折痕为和．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连接交于点M，连接、．若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 12．已知，则 ． 13．为了解社区居民对环保手作的喜爱情况，社区准备给2000户居民每户各发放一份手作材料包，志愿者随机选取80户居民的材料包查看，发现有16户的材料包是多肉种植手作．据此估计，社区准备的多肉种植手作材料包的总数约为 件． 14．在，，，点为直线上一点，若，，则的长为 ． 15．在功一定的条件下，功率是做功时间的反比例函数，与之间的函数关系如图所示．当时，的值为 ． 16．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 17．如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为 ． 18．如图，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，为的中点，反比例函数的图象经过点，且与交于点，连接．若的面积为，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为；③；④为的中点．其中正确的结论是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该一元二次方程的解； (2)若方程有两个不等实数根且满足，求的值． 20．（6分）如图，一次函数（，为常数，）的图像与反比例函数（为常数，）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出时的取值范围． 21．（8分）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 22．（8分）2024年4月24日“中国航天日”主场活动在武汉举行，今年的主题是“极目楚天，共襄星汉”，这是自2016年以来的第九个“中国航天日”，在武汉举行的主场活动，包括启动仪式、中国航天大会、航天科普系列展览等多项内容．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．已知C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79．根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查随机抽取了_______名学生，其中成绩在B组的有_______名学生． (2)在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是______． (3)该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数． 23．（9分）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 24．（9分）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为轴，垂足为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)是轴上的一个动点，如果，求点的坐标． 26．（10分）在矩形中，为上一点，，为边上的一个动点，连接，将矩形沿着折叠，使点恰好落在上，其对应点为． (1)如图①，当点与点重合时，求证：； (2)在图②中，若，点的对应点为点，与交于点．求证：； (3)在图②中，若，当时，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，注意掌握判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断.根据反比例函数的定义，（为常数，）进行判断． 【详解】解：∵ 反比例函数的形式为（为常数，）， A、，符合定义，故此选项符合题意； B、，是一次函数，故此选项不符合题意； C、，是正比例函数，故此选项不符合题意； D、，分母不是，不是反比例函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤． 在等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方式． 【详解】解：， ， 故选：D． 3．如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和正切三角函数的应用，熟练掌握正切三角函数的概念是解题的关键．先用勾股定理求出的长，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴, ∴． 故选：D． 4．为丰富学生校园生活，某中学决定根据学生的喜爱情况开设兴趣班，分别是绘画班、篮球班、机器人班、美术班、围棋班．现随机抽取部分学生进行问卷调查，并绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，判断下列说法正确的是（    ）      A．本次调查的总人数为200人 B．调查的学生中选择“美术班”的有20人 C．该校共有学生2000人，选择“篮球班”的大约有350人 D．扇形统计图中，选择“围棋班”的学生人数所占的圆心角是 【答案】B 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效地获取信息，利用机器人班的人数除以所占的比例求出调查的总人数，进而求出美术班的人数，利用样本估计总体的思想求出选择“篮球班”的人数，用360度乘以围棋班人数所占的比例求出圆心角的度数，逐一判断即可． 【详解】解：A、本次调查的总人数为人；原说法错误，不符合题意； B、调查的学生中选择“美术班”的有人；正确，符合题意； C、该校共有学生2000人，选择“篮球班”的大约有人；原说法错误，不符合题意； D、扇形统计图中，选择“围棋班”的学生人数所占的圆心角是；原说法错误，不符合题意； 故选B． 5．如图，，若，，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】此题考查平行线分线段成比例，即由平行线得到对应的线段成比例，得出正确的比例式是解此题的关键． 根据，得到，然后将已知条件代入即可完成求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故选：B． 7．设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是找到两根之和，两根之积的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，然后代入表达式计算． 【详解】解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴， ∴ 故选A． 8．小小气球也蕴含着大学问，已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数．其图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．与之间的关系式为 B．当时， C．当越来越大时，也越来越大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数图象的性质， 先根据图象经过点求出关系式，判断A；再将代入关系式可判断B；观察图象结合反比例函数图象的性质解答C；最后求出当时，，结合图像的性质解答D即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴反比例函数的关系式为； 当时，； 根据图象可知，当越来越大时，p也越来越小； 当时，， 观察图象可知， 当时，， 所以A，B正确，C不正确，D正确． 故选：C． 9．将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，折痕为和．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线分线段成比例定理，关键是知识点的灵活应用； 由折叠可得，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵， ∴，B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：，C选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，D选项错误，符合题意； 故选：D． 10．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连接交于点M，连接、．若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据条件证明是等边三角形，得到，结合即可判断①；证明 ，根据全等三角形对应边相等即可判断②；证明即可判断③；根据特殊角的三角函数证明，设，则，，， 即可判断④． 【详解】解：①矩形中，为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴垂直平分，故①正确； ②为等边三角形， ， 在和中， ∴， ， ， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即垂直平分， ∴， ∵为的斜边， ∴， 即， 若与全等，则和的对边与也应相等，与上述结论矛盾，故②错误； ③由②知， ∴， 在和中， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ， ， ，， ， ， 由对称性可知，； ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ， 设， 则，，， ， ，故④错误； ∴其中正确结论的个数为2个． 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知可得，再代入分式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为 ． 13．为了解社区居民对环保手作的喜爱情况，社区准备给2000户居民每户各发放一份手作材料包，志愿者随机选取80户居民的材料包查看，发现有16户的材料包是多肉种植手作．据此估计，社区准备的多肉种植手作材料包的总数约为 件． 【答案】400 【分析】本题主要考查了样本估计总体．求出样本中多肉种植手作的比例，即可求解． 【详解】解：样本中多肉种植手作的比例为， 所以多肉种植手作材料包的总数约为件． 故答案为400． 14．在，，，点为直线上一点，若，，则的长为 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查的是解直角三角形，根据题意，分点D在边上和在边延长线上两种情况，结合解直角三角形求出的长即可解答． 【详解】解：当点D在边上时，如图， ∵在中，，，， ∴ ∴设，则， 又， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴； 当点D在边延长线上时，如图， 同理可得． 综上，的长为3或5． 故答案为：3或5． 15．在功一定的条件下，功率是做功时间的反比例函数，与之间的函数关系如图所示．当时，的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据图象可得点在反比例函数图象上，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得当时的P值即可． 【详解】解：由图象知，点在反比例函数图象上， 设反比例函数的解析式为，则， ∴该反比例函数的解析式为， 当时，． 故答案为：． 16．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程解的定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后整体代入代数式求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． 又∵， ∴ ． 故答案为：． 17．如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质解题即可． 【详解】解：在与中， ∵，， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别是与对应角、的平分线， ∴， ∴． 故答案为： 18．如图，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，为的中点，反比例函数的图象经过点，且与交于点，连接．若的面积为，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为；③；④为的中点．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，关键是找到图形面积与反比例函数的关系； 设，根据的面积为，列出方程求得，在论证的过程中逐一判断结论的正确性． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即：为的中点，故④正确； ∵的面积为， ∴， ∵分别是的中点，， ∴， ∴， 解得：，即：，②正确； ∴，故③正确； 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该一元二次方程的解； (2)若方程有两个不等实数根且满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系等知识，解题的关键是∶ （1）把代入方程，如何根据因式分解法求解即可； （2）先根据根的判别式求出m的取值范围，再根据根与系数的关系得出，，再把变形为，整体代入得出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， 或， ∴，； （2）解：∵方程有两个不等实数根， ∴， ∴， 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 又， ∴． 20．（6分）如图，一次函数（，为常数，）的图像与反比例函数（为常数，）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、待定系数法求函数解析式、由函数图像求不等式解集等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得， 点， 将点，的坐标代入一次函数表达式得： ， 解得， 一次函数的解析式为：． （2）解：根据函数图像可知，当或时，， 的取值范围为或． 21．（8分）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可； （）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（8分）2024年4月24日“中国航天日”主场活动在武汉举行，今年的主题是“极目楚天，共襄星汉”，这是自2016年以来的第九个“中国航天日”，在武汉举行的主场活动，包括启动仪式、中国航天大会、航天科普系列展览等多项内容．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．已知C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79．根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查随机抽取了_______名学生，其中成绩在B组的有_______名学生． (2)在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是______． (3)该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数． 【答案】(1)； (2) (3)名 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、抽样调查． （1）用组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去四个组的人数得到组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用乘以组所占的百分比即可； （3）根据一等奖的人数占抽取样本的比例求出该校一等奖的人数即可． 【详解】（1）解：根据频数分布直方图和扇形统计图组的情况，可知本次随机抽查的人数为：（人）， 组的人数为（人）， 故答案为：；； （2）解：扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为：， 故答案为：； （3）解：（名）. 23．（9分）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 【答案】(1)建筑物的高度为米； (2) 米；行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人． 【分析】本题主要考查解直角三角形——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）过作于点，则有四边形是矩形，所以米，米，求出（米），然后通过线段和差即可求解； （2）①分别求出（米），（米），然后通过线段和差即可求解； ②利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物的高度为米； （2）解：∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）； ∵米， ∴， 答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人． 24．（9分）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为轴，垂足为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)是轴上的一个动点，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点或 【分析】（1）先根据点D的横坐标为3，求出点D的坐标，从而可求得反比例函数的解析式； （2）分△、两种情况讨论，分别求出点M坐标； （3）分两种情况讨论：当点P在y轴上方时，过D作x轴平行线，内错角相等；当点P在y轴下方时，连接交x轴于点F，先证明，根据等腰三角形的判定可得出，再利用勾股定理求得F点的坐标，然后求出直线的解析式，令，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， ∵反比例函数的图象过点D，将点D的坐标代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似；理由如下： 当时，得：， 解得：， 当时，得：； ∴，， 如图1，，，于F， ∴，，， ∵轴，垂足为E，， ∴， ∴， ∵M是反比例函数图象上的一个动点且在点D右侧， ∴设， ∴，， ∴， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，M在D的右侧， 当时，得：， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去）， ∴， 当时，得：， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴， 分以下两种情况： 当点P在y轴上方时，过D作x轴平行线，内错角相等，符合题意． 此时，； 当点P在y轴上下方时，连接交x轴于点F， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵轴于点E， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点D，点F的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，， 所以， 综上，点或为所求． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了求反比例函数解析式，解直角三角形的相关计算，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何综合，用勾股定理解三角形，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 26．（10分）在矩形中，为上一点，，为边上的一个动点，连接，将矩形沿着折叠，使点恰好落在上，其对应点为． (1)如图①，当点与点重合时，求证：； (2)在图②中，若，点的对应点为点，与交于点．求证：； (3)在图②中，若，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先利用矩形性质得，结合角的互余关系和折叠性质推出，从而得到，进而证明； （2）设，由矩形和得，结合得，由折叠的性质得，，通过角的互余关系证明，利用相似比例求出，再根据计算，最后验证； （3）设，得，结合得，通过相似三角形比例关系，用和表示出、、等线段，分别计算，，的表达式，根据，化简后可求解． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由折叠的性质，得， ， ， 又 ， ． （2）证明：设， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 由折叠的性质，得，，，， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解： ， ， 又 ， ， ， 设，则， 由知，当时，，， 则， 在中，， ， ，， ，， ，， ， ， 又 ，， ， 解得，（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式，利用矩形和折叠的性质，得到边、角的等量关系是解题关键． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D D B B B A C D C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．/0.5 12． 13．400 14．3或5 15．/ 16． 17．/ 18．①②③④ 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）【详解】（1）解：当时，原方程为， ，····（1分） 或， ∴，；····（2分） （2）解：∵方程有两个不等实数根， ∴， ∴，····（3分） 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴，····（5分） 整理得， 解得，， 又， ∴．····（6分） 20．（6分）【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：，····（1分） 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得，····（2分） 点， 将点，的坐标代入一次函数表达式得： ， 解得，····（3分） 一次函数的解析式为：．····（4分） （2）解：根据函数图像可知，当或时，， 的取值范围为或．····（6分） 21．（8分）【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ····（1分） 又∵， ∴；····（2分） （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴，····（3分） ∵， ∴，， ∴，····（5分） 又∵， ∴，····（6分） ∴， ∴， ∴．····（8分） 22．（8分）【详解】（1）解：；；····（2分） （2）解：；····（5分） （3）解：（名）.····（8分） 23．（9分）【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴米，米，····（2分） 在中，， ∴（米）， ∴（米），····（3分） 答：建筑物的高度为米； （2）解：∵， ∴（米），····（4分） ∵， ∴（米）， ∴（米）；····（6分） ∵米， ∴，····（8分） 答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为人．····（9分） 24．（9分）【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴．····（2分） （2）解：在中，， ∴，····（3分） 整理，得：， 解得或2． 把舍去，····（4分） 所以，当时，的长度等于．····（5分） （3）解：∵， ∴，····（6分） 即， 整理，得：， 解得：或4．····（7分） 依题意，， ∴， ∴，故取．····（8分） 因此，当时，五边形的面积等于．····（9分） 25．（10分）【详解】（1）解：将代入得：， ∴， ∵反比例函数的图象过点D，将点D的坐标代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为；····（2分） （2）解：存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似；理由如下：····（3分） 当时，得：， 解得：， 当时，得：； ∴，， 如图1，，，于F， ∴，，， ∵轴，垂足为E，， ∴， ∴， ∵M是反比例函数图象上的一个动点且在点D右侧， ∴设， ∴，， ∴， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，M在D的右侧，····（4分） 当时，得：， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去）， ∴，····（5分） 当时，得：， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 综上所述，或；····（6分） （3）解：∵，， ∴， 分以下两种情况： 当点P在y轴上方时，过D作x轴平行线，内错角相等，符合题意． 此时，；···（7分） 当点P在y轴上下方时，连接交x轴于点F， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵轴于点E， ∴， ∴， 解得：，····（8分） ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点D，点F的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，， 所以，····（9分） 综上，点或为所求．····（10分） 26．（10分）【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由折叠的性质，得， ， ，····（1分） 又 ， ．····（2分） （2）证明：设， 四边形是矩形， ，， ，， ， ，····（3分） 由折叠的性质，得，，，， ， 又 ， ， ， ， ， ····（4分） ， ， ， ．····（5分） （3）解： ， ， 又 ， ， ，····（6分） 设，则， 由知，当时，，， 则， 在中，，····（7分） ， ，， ，， ，，····（8分） ， ， 又 ，， ，····（9分） 解得，（不合题意，舍去）， ．····（10分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．为丰富学生校园生活，某中学决定根据学生的喜爱情况开设兴趣班，分别是绘画班、篮球班、机器人班、美术班、围棋班．现随机抽取部分学生进行问卷调查，并绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，判断下列说法正确的是（    ）      A．本次调查的总人数为200人 B．调查的学生中选择“美术班”的有20人 C．该校共有学生2000人，选择“篮球班”的大约有350人 D．扇形统计图中，选择“围棋班”的学生人数所占的圆心角是 5．如图，，若，，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 6．摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 7．设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．1 D． 8．小小气球也蕴含着大学问，已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数．其图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．与之间的关系式为 B．当时， C．当越来越大时，也越来越大 D．当时， 9．将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，折痕为和．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连接交于点M，连接、．若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 12．已知，则 ． 13．为了解社区居民对环保手作的喜爱情况，社区准备给2000户居民每户各发放一份手作材料包，志愿者随机选取80户居民的材料包查看，发现有16户的材料包是多肉种植手作．据此估计，社区准备的多肉种植手作材料包的总数约为 件． 14．在，，，点为直线上一点，若，，则的长为 ． 15．在功一定的条件下，功率是做功时间的反比例函数，与之间的函数关系如图所示．当时，的值为 ． 16．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 17．如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为 ． 18．如图，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，为的中点，反比例函数的图象经过点，且与交于点，连接．若的面积为，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为；③；④为的中点．其中正确的结论是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该一元二次方程的解； (2)若方程有两个不等实数根且满足，求的值． 20．（6分）如图，一次函数（，为常数，）的图像与反比例函数（为常数，）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出时的取值范围． 21．（8分）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 22．（8分）2024年4月24日“中国航天日”主场活动在武汉举行，今年的主题是“极目楚天，共襄星汉”，这是自2016年以来的第九个“中国航天日”，在武汉举行的主场活动，包括启动仪式、中国航天大会、航天科普系列展览等多项内容．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．已知C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79．根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查随机抽取了_______名学生，其中成绩在B组的有_______名学生． (2)在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是______． (3)该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数． 23．（9分）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 24．（9分）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为轴，垂足为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)是轴上的一个动点，如果，求点的坐标． 26．（10分）在矩形中，为上一点，，为边上的一个动点，连接，将矩形沿着折叠，使点恰好落在上，其对应点为． (1)如图①，当点与点重合时，求证：； (2)在图②中，若，点的对应点为点，与交于点．求证：； (3)在图②中，若，当时，求的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $