专题03 旋转（期末复习课件）九年级数学上学期人教版

这是一份初中数学九年级上学期期末复习课件，围绕“旋转”专题构建“研考情-记知识-破重难点-过验收”学习支架，涵盖旋转概念、性质、中心对称、作图及综合应用，配套分层练习助力期末复习。 资料突出数学核心素养，通过典例与变式题结合（如旋转性质判断、中心对称作图）培养几何直观与推理能力，分层验收设计（基础通关、重难突破、综合拓展）适配不同学情，助力学生系统掌握旋转知识，也为教师提供结构化复习方案，提升教学效率。九年级学生面临升学考试，需重点关注旋转与几何综合题，资料通过分层练习和综合题训练，帮助学生适应中考难度，巩固核心考点。

专题03 旋 转 九年级数学上学期 期末复习大串讲 人 教 版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 旋转的概念及性质 理解图形的旋转、翻折的直观意义；认识图形的旋转及其基本特征。 大多数为基础和中等难度题型；基础题直接考察性质，如根据旋转角求角度，中档题常将含特殊角（60°、90°）的旋转作为核心步骤，用于构造全等形或特殊三角形来破解几何证明与计算。 旋转作图的基本步骤 掌握做图基本步骤；会找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转方向，旋转角． 出现频率不高但非常固定，属于“送分题”题型。它通常作为一道独立的小题（3-5分），要求根据明确的旋转中心、方向和角度（最常见的是90°或60°）作出已知图形（如三角形）旋转后的图形。核心是掌握“逐点旋转，连线成图”的步骤。 中心对称及中心对称的图形的性质 知道旋转对称图形；知道中心对称是旋转对称的特例，理解中心对称的意义，知道中心对称图形的基本性质。 通常直接考察定义与性质，出题频率较高但难度普遍较低。题目多以选择题或填空题形式出现，要求识别中心对称图形（如判断常见几何图形或商标图案）、求对称中心的坐标，或利用“对称点连线经过对称中心且被平分”这一核心性质进行简单计算。 核心考点 复习目标 考情规律 利用尺规作关于中心对称的图形 会画某图形关于某点对称的图形，会确定对称中心。 实际单独考察的频率一般，比旋转作图要少见。它通常作为一道步骤清晰的简单作图题出现，要求作一个已知图形（如一个点、一条线段或一个三角形）关于某指定点（对称中心）的中心对称图形。 关于原点对称的点的坐标特征 掌握在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系；会利用关于原点对称的点的坐标关系作出关于原点对称的图。 通常在选择题或填空题中直接考察，出现频率高但属于“秒杀”型送分题。题目往往直接给出一个点的坐标，要求写出它关于原点对称的坐标，其核心规律就是“横、纵坐标都取相反数”。 旋转的综合题 灵活运用旋转的性质，综合运用相关知识进行解答。 频率高且区分度大，它极少单独考旋转，而是作为核心构造技巧嵌入几何综合或代几综合题中。常见考法是：在复杂图形背景下，通过旋转三角形（通常是60°或90°）来构造全等形，从而将分散条件集中、转换线段位置（实现“搬”与“拼”），进而解决线段最值、线段和差关系证明或探求动点路径长等难题。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 旋转的概念及其性质 知识点01 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 旋转前、后的图形全等． 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，其中： 点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角， 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的对应点． 旋转有三要素： （1）旋转中心 （2）旋转方向 （3）旋转角度 旋转的性质 旋转作图的基本步骤 知识点02 （1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角． （2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置． （3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形． 中心对称及关于中心对称的图形的性质 知识点03 （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； （3）关于中心对称的两个图形是全等图形． 中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）． 中点对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是对称中心． 关于中心对称的图形的性质 利用尺规作关于中心对称的图形 知识点04 这类问题应首先明确对称中心的位置， 再利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点， 最后按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来． 关于原点对称的点的坐标特征 知识点05 两个点关于原点对称时，它们的坐标符合相反， 即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）． 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 旋转的概念及其性质 题型一 解｜题｜技｜巧 旋转有两条重要性质： （1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键. 旋转的概念及其性质 题型一 【典例1】下列说法中，正确的是（　　） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 解： A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项说法错误，不符合题意； B、“火箭冲向空中”属于平移、旋转现象，故B选项说法错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项说法正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D说法错误，不符合题意． C 旋转的概念及其性质 题型一 【典例2】（2025春•赣榆区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（　　）   A．30° B．35° C．40° D．45° 解：∵△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE ∴AB＝AD，∠BAD＝110° 由三角形内角和 ∠B B 旋转的概念及其性质 题型一 【典例3】把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（　　）   A．36° B．72° C．90° D．108° 解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分， 因而旋转的角度是：360°÷5＝72°， B 旋转的概念及其性质 题型一 【变式1】下列说法中，正确的是（　　） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． C 旋转的概念及其性质 题型一 【变式2】（2025•潮阳区校级三模）将△ABC绕点A顺时针旋转40°，得到△AEF，若点F在BC上，则∠AFC的度数为（　　）  A．40° B．50° C．70° D．80° 解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°，得到△AEF， ∴∠FAC＝40°，AF＝AC， ∴∠AFC＝∠ACF＝（180°﹣40°）÷2＝70°， C 旋转的概念及其性质 题型一 【变式3】如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（　　）   A．180° B．72° C．60° D．36° 解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分， 因而旋转的角度是：360°÷5＝72°， B 旋转作图的基本步骤 题型二 解｜题｜技｜巧 1．在作图时，尽量选择连线平行于坐标轴的对应点，这样能便捷地到旋转中心． 2．对于同一个图案，如果选择的旋转中心、旋转角、旋转方向不同，那么会出现不同的旋转效果． 旋转作图的基本步骤 题型二 【典例1】如图，已知点A（2，0）、B（0，1），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，则点B的对应点B′的坐标是（　　）  A．（3，2） B．（4，2） C．（3，3） D．（4，3） 解：如图所示，过点B′作B′C⊥x轴于点C， ∵A（2，0）、B（0，1），∴OA＝2，OB＝1， ∵将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′， ∴∠BAB′＝90°＝∠ACB′，AB＝AB′， ∴∠BAO+∠CAB′＝∠AB′C+∠CAB′＝90°， ∴∠BAO＝∠AB′C， 又∵∠BOA＝∠ACB′＝90°， ∴△ABO≌△B′AC（AAS）， ∴OB＝AC＝1，B′C＝OA＝2， ∴OC＝OA+AC＝2+1＝3，∴B′（3，2）． A C ∟ 旋转作图的基本步骤 题型二 （1）画出△A1B1C； （2）写出A点对应点A1的坐标 　　 ； （3）若以点D（3，3）为圆心，5为半径画圆，则点C在该圆 　 （填：“内”，“外”或“上”）． 解：（1）△A1B1C1即为所求；  （2）由图可知：A1（3，0）； （3）， ∵以点D（3，3）为圆心，5为半径画圆， ∴点C在该圆上． A1 B1 （3，0） 上 【典例2】如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ABC，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C． 旋转作图的基本步骤 题型二 【变式1】如图，△ABC的顶点坐标分别是A（3，6）、B（1，3）、C（4，2）． （1）如果将△ABC沿x轴翻折得到△A′B′C′，写出△A′B′C′的顶点坐标； （2）如果将△A′B′C′绕点C′按逆时针方向旋转90°得到△A″B″C″，写出点A″、B″的坐标． 解：如图： （1）A′（3，﹣6），B′（1，﹣3），C′（4，﹣2）； （2）A″（8，﹣3），B″（5，﹣5）． A′ B′ C′ A″ B″ 旋转作图的基本步骤 题型二 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），点A的坐标为（5，2）．如果将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA'，求点A'的坐标．   解：过A作AC⊥x轴，过A′作A′D⊥x轴， 由旋转的性质得到AB＝A′B，且∠ABA′＝90°， ∴∠ABC+∠A′BD＝90°， ∵∠A′BD+∠A′＝90°， ∴∠ABC＝∠A′， 在△A′BD和△ABC中， ， ∴△A′BD≌△ABC（AAS）， ∴BD＝AC，A′D＝BC， D ∟ C ∟ ∵B（1，0），A（5，2）， ∴OB＝1，OC＝5，AC＝2， ∴OD＝OB+BD＝1+2＝3， A′D＝BC＝OC﹣OB＝5﹣1＝4， 则A′坐标为（3，﹣4）． 22 中心对称及中心对称的图形的性质 题型三 解｜题｜技｜巧 1．中心对称是指两个图形间的位置关系． 2．中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°． 3．成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在每个图形的外部，也可能在每个图形的内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧与对称中心重合． 4．中心对称的两个图形是全等图形，全等的两个图形不一定成中心对称． 中心对称及中心对称的图形的性质 题型三 【典例1】如所示四个图形中，是中心对称图形的是（　　） 解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． B． D． A． C． C 中心对称及中心对称的图形的性质 题型三 【典例2】如图，△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，已知AA1＝8cm，BO＝6cm，A1B1＝5cm，则△OAB的周长为（　　）   A．12cm B．15cm C．16cm D．19cm 解：由条件可知AO＝4cm，AB＝A1B1＝5cm， ∴△OAB的周长＝AO+AB+BO＝4+5+6＝15cm， B 中心对称及中心对称的图形的性质 题型三 【变式1】下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：选项A、B、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． C 中心对称及中心对称的图形的性质 题型三 【变式2】如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（　　）  A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF 解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称， ∴AO＝DO，BO＝EO， △ABC与△DEF关于点O成中心对称． 故B，D选项正确，不符合题意； ∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（SAS）， ∴∠BAO＝∠EDO， ∴AB∥DE， A 故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出AD⊥BE， 故A选项不正确，符合题意． 利用尺规作关于中心对称的图形 题型四 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系内作对称图形的两种方法 方法一:在平面直角坐标系中按照作图步骤连线、延长、截线段、连接所得的对称点得到所求作的图形． 方法二:先依据关于原点对称的点的坐标特征求出对称点的坐标，再在平面直角坐标系中描点、连线，得到所求作的图形． 利用尺规作关于中心对称的图形 题型四 【典例1】如图，已知坐标系中△ABC． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′； （2）直接写出△A′B′C′各顶点的坐标． 解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求： （2）由（1）中图可得： A′（0，﹣1）， B′（﹣2，﹣3）， C′（﹣3，0）． A′ B′ C′ 利用尺规作关于中心对称的图形 题型四 【典例2】如图，在4×6的正方形网格中，A，B和O都是格点，请按要求作图． （1）在图中，画出线段A′B′，使其与线段AB关于点O中心对称． （2）在图中，找一格点C，画出△ABC，使其为等腰直角三角形． 解：（1）与线段AB关于点O中心对称的线段A′B′， 如图1即为所求； （2）如图2（或图3或图4）， △ABC即为所求（答案不唯一）． A′ B′ 如图2 如图3 如图4 利用尺规作关于中心对称的图形 题型四 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（5，3）、B（1，2）、C（4，1），△A′B′C′与△ABC关于坐标原点O成中心对称（点A′、B′、C′的对应点分别为点A、B、C）． （1）在图中画出△A′B′C′； （2）若△ABC内部有一点P（3，2），请写出在△A′B′C′中，与点P对应的点P′的坐标． 解：（1）与△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B′C′，如图即为所求； （2）∵△A′B′C′与△ABC关于坐标原点O成中心对称， △ABC内部有一点P（3，2）， ∴在△A′B′C′中，与点P对应的点P′的坐标P′（﹣3，﹣2）． A′ B′ C′ 利用尺规作关于中心对称的图形 题型四 【变式2】每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上， （1）写出A、B、C的坐标． （2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1 的坐标，求△A1B1C1的面积． 解：（1）A（1，﹣4）， B（5，﹣4），C（4，﹣1）； （2）A1（﹣1，4），B1（﹣5，4），C1（﹣4，1）， 如图所示： 6． A1 B1 C1 关于原点对称的点的坐标特征 题型五 解｜题｜技｜巧 第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上． 关于原点对称的点的坐标特征 题型五 【典例1】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（5，3），则点A关于原点对称的点A'的坐标是（　　） A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣5，﹣3） 解：∵点A的坐标是（5，3）， ∴点A关于原点对称的点A'的坐标是（﹣5，﹣3）． 【典例2】在平面直角坐标系中，点P（a，b）关于原点对称的点的坐标为（　　） A．（﹣a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（b，a） 解：点（a，b）关于原点对称的点的坐标是：（﹣a，﹣b）． D C 关于原点对称的点的坐标特征 题型五 【变式1】平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1），则A、B两点（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝﹣x对称 解：因为点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1）的横坐标和纵坐标均互为相反数，所以A、B两点关于原点对称． C 【变式2】已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5 解：∵点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称， ∴a＝4，b＝﹣1． ∴a﹣b＝4﹣（﹣1）＝5． D 旋转综合题 题型六 【典例1】如图1，在△ABC中，∠BAC＝72°，三个内角平分线交于点O，△ABC的外角∠ABE的角平分线交CO的延长线于点F． 【问题初探】：（1）∠OBF＝　 　 ，∠F＝　 　 ； 【问题再探】：（2）如图2，过点O作∠ODC＝∠AOC． ①求证：BF∥DO； ②若∠F＝∠ABC，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B′OD′，当B′D′∥FC时，请直接写出α的度数． 旋转综合题 题型六 【典例1】如图1，在△ABC中，∠BAC＝72°，三个内角平分线交于点O，△ABC的外角∠ABE的角平分线交CO的延长线于点F． 【问题初探】：（1）∠OBF＝　 　 ，∠F＝　 　 ； （1）解：∵三个内角平分线交于点O，∴OB平分∠ABC， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABO∠ABC，∠ABF∠ABE， ∵∠OBF＝∠ABF+∠ABO， ∴∠OBF∠ABC∠ABF （∠ABC+∠ABF）， ∵∠EBC＝∠ABC+∠ABF＝180°， ∴∠OBF＝90°． ∵BF平分∠ABE，OC平分∠ACB， ∴∠EBF∠ABE，∠ECF∠ACB， ∵∠F＝∠EBF﹣∠ECF， ∠BAC＝∠ABE﹣∠ACB， ∴ ， ∴36°； 90° 36° 旋转综合题 题型六 【典例1】如图1，在△ABC中，∠BAC＝72°，三个内角平分线交于点O，△ABC的外角∠ABE的角平分线交CO的延长线于点F． 【问题再探】：（2）如图2，过点O作∠ODC＝∠AOC． ①求证：BF∥DO； （2）①证明：延长BO交AC于点M，   则∠AOM+∠COM＝∠AOC， ∵∠AOM＝∠ABO+∠BAO，∠COM＝∠CBO+∠BCO， ∴∠AOC＝∠ABO+∠BAO+∠CBO+∠BCO＝∠ABC+∠BAO+∠BCO， ∴∠AOC＝∠ABC∠BAC∠BCA， ∵∠BAC+∠ACB＝∠ABE， ∴∠BAC∠ACB∠ABE＝∠ABF， ∴∠AOC＝∠ABC+∠ABF＝∠FBC， ∵∠ODC＝∠AOC， ∴∠ODC＝∠FBC，∴BF∥DO． M 旋转综合题 题型六 【典例1】如图1，在△ABC中，∠BAC＝72°，三个内角平分线交于点O，△ABC的外角∠ABE的角平分线交CO的延长线于点F． 【问题再探】：（2）如图2，过点O作∠ODC＝∠AOC． ②若∠F＝∠ABC，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B′OD′，当B′D′∥FC时，请直接写出α的度数． ②解：由（1）知∠F＝36°， ∵∠F＝∠ABC， ∴∠F＝∠ABC＝36°，∠ACB＝∠BAC＝72°， ∴∠OBD∠ABC＝18°， ∵BF∥DO， ∴∠ACB＝∠BDO＝72°， ∴∠BOD＝90°， ∠DOC＝∠DCO∠ACB＝36°， ∵B′D′∥FC，∴∠COB′＝∠OB′D′＝18°， 39 旋转综合题 题型六 【典例1】如图1，在△ABC中，∠BAC＝72°，三个内角平分线交于点O，△ABC的外角∠ABE的角平分线交CO的延长线于点F． 【问题再探】：（2）如图2，过点O作∠ODC＝∠AOC． ②若∠F＝∠ABC，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B′OD′，当B′D′∥FC时，请直接写出α的度数． ②解：由（1）知∠F＝36°， ∵∠F＝∠ABC， ∴∠F＝∠ABC＝36°，∠ACB＝∠BAC＝72°， ∴∠OBD∠ABC＝18°， ∵BF∥DO， ∴∠ACB＝∠BDO＝72°， ∴∠BOD＝90°， ∠DOC＝∠DCO∠ACB＝36°， 40 旋转综合题 题型六 【典例1】如图1，在△ABC中，∠BAC＝72°，三个内角平分线交于点O，△ABC的外角∠ABE的角平分线交CO的延长线于点F． 【问题再探】：（2）如图2，过点O作∠ODC＝∠AOC． ②若∠F＝∠ABC，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B′OD′，当B′D′∥FC时，请直接写出α的度数． ②解： ∴∠BOD+∠DOC+∠COB′＝∠OB′D′ ＝90°+36°+18°＝144°， ∴α＝360°﹣144°＝216°； 如图所示，此时α＝36°， 综上所述，α的度数216°或36°． ∵B′D′∥FC，∴∠COB′＝∠OB′D′＝18°， 41 旋转综合题 题型六 【典例2】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ （1）证明：由旋转的性质得： OC＝CD，∠DCO＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴∠CDO＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCO， ∴△BOC≌△ADC（SAS）， ∴∠ADC＝∠BOC＝150°， ∴∠ADO＝90°， 即△AOD是直角三角形； 旋转综合题 题型六 【典例2】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ （2）解：∵△COD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α， 由（1）知：△ADC≌△BOC， ∴∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠ADO＝α﹣60°， △ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD ＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°； 旋转综合题 题型六 【典例2】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ （3）解：分三种情况： ①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO． ∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α ＝360°﹣110°﹣60°﹣α ＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°； 旋转综合题 题型六 【典例2】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ （3）解：分三种情况： ②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO． ∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO） ＝50°， ∴α﹣60°＝50°， ∴α＝110°； 旋转综合题 题型六 【典例2】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ ③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD． ∵190°﹣α＝50°， ∴α＝140°， 综上所述： 当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 旋转综合题 题型六 【变式1】如图，△ABC为等边三角形，点M为AB边上一点（不与点A，B重合），连接CM，过点A作AD⊥CM于点D，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE． （1）依题意补全图形，直接写出∠AEB的大小，并证明； （2）连接ED并延长交BC于点F，用等式表示BF与FC的数量关系，并证明． （1）如图所示，即为补全的图形，∠AEB＝90°， 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， 由旋转可知：△ADE为等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠DAC＝60°﹣∠DAB＝∠EAB， 在△DAC和△EAB中，， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴∠ADC＝∠AEB， ∵AD⊥CM， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AEB＝90°； E 旋转综合题 题型六 【变式1】如图，△ABC为等边三角形，点M为AB边上一点（不与点A，B重合），连接CM，过点A作AD⊥CM于点D，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE． （1）依题意补全图形，直接写出∠AEB的大小，并证明； （2）连接ED并延长交BC于点F，用等式表示BF与FC的数量关系，并证明． （2）BF＝FC，理由如下： 如图，过点C作CG∥EB， 交EF的延长线于点G， ∴∠EBF＝∠GCF，∠BEF＝∠G， 由（1）知：∠AEB＝90°， ∵∠AED＝60°， ∴∠BEF＝90°﹣60°＝30°， ∴∠G＝30°， ∵AD⊥CM， E F G ∴∠CDG＝30°， ∴∠G＝∠CDG＝30°，∴CD＝CG， ∵△DAC≌△EAB， ∴DC＝EB，∴EB＝CG， 在△EBF和△GCF中，， ∴△EBF≌△GCF（ASA），∴BF＝CF． ∴∠ADM＝90°，∠ADE＝60°， ∴∠EDM＝90°﹣60°＝30°， 旋转综合题 题型六 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE． （Ⅰ）求证：DC平分∠ADE； （Ⅱ）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）若BE＝BD，求∠ABC的大小．（直接写出结果即可） （Ⅰ）证明： ∵△DCE是由△ACB旋转得到， ∴CA＝CD，∠A＝∠CDE， ∴∠A＝∠CDA， ∴∠CDA＝∠CDE， ∴CD平分∠ADE． （Ⅱ）解：结论：BE⊥AB． 由旋转的性质可知，∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CD，CB＝CE， ∴∠CAD＝∠CDA＝∠CBE＝∠CEB， ∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB＝180°， ∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE＝180°， ∴∠DCE+∠DBE＝180°， ∵∠DCE＝90°，∴∠DBE＝90°， ∴BE⊥AB． 旋转综合题 题型六 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE． （Ⅲ）若BE＝BD，求∠ABC的大小．（直接写出结果即可） （Ⅲ）如图，连接AF，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于H， 作BT⊥CE于T，  ∵∠H＝∠BTC＝∠HCT＝90°， ∴∠HBT＝∠DBE＝90°， ∴∠DBH＝∠EBT， ∵BD＝BE，∠H＝∠BTE＝90° ∴△BHD≌△BTE（AAS）， ∴BH＝BT， ∵BH⊥CH，BT⊥CE， ∴∠DCO＝∠DEB＝45°， ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠FCD， ∵CD＝CD，∠ADC＝∠FDC， ∴△ACD≌△FCD（ASA）， ∴AC＝FC， ∴∠AFC＝∠CAF＝45°， ∵∠ADF＝135°， ∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°， ∴∠ABC＝22.5°， ∵∠AFC＝∠FAB+∠ABF， ∴∠FAB＝∠ABF＝22.5°． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） B． D． A． C． 解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， D 期末基础通关练 2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2025）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，2025） B．（﹣3，﹣2025） C．（3，﹣2025） D．（﹣2025，﹣3） C 3．如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，使得点B的对应点D落在AC的延长线上，若AB＝11，AE＝7，则线段CD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 解：∵将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE， ∴AB＝AD，AC＝AE， ∵AB＝11，AE＝7， ∴AD＝11，AC＝7， ∴CD＝AD﹣AC＝11﹣7＝4． B 期末基础通关练 解：由题意得， 解得， 4．在平面直角坐标系中，已知点A（a﹣b，﹣5）与点B（﹣3，a+b）关于原点对称，则a＝　 ，b .　 4 1 5．如图，△ABC绕某点旋转得到△DEF，则其旋转中心的坐标是 　 　 ． 解：如图所示：连接AD和BE，作AD和B与E的垂直平分线，交于点F， 观察图形可知F（1，﹣1）， ∴旋转中心的坐标是（1，﹣1）， （1，﹣1） 期末基础通关练 6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△EBD．点C的对应点为点D，恰好落在AC上，BD平分∠ABC，求∠EBA的度数． 解：∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△EBD． ∴BC＝BD，∠ABC＝∠EBD， ∴∠C＝∠BDC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBA， ∵∠A＝30°， ∴∠C+∠ABC＝150°， ∵∠C＝∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠A+∠ABD+∠ABC＝150°， ∴30°+∠ABD+2∠ABD＝150°， ∴∠EBA＝∠ABD＝40°． 期末重难突破练 7．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝5，D为BC边上的点，BD，△ABD绕着点A逆时针旋转90°后到达△ACE的位置，那么DE为（　　） A． B． C． D． 解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝5， ∴∠B＝∠ACB＝45°，BC， ∴CD＝BC﹣BD． ∵△ABD绕着点A逆时针旋转90°后到达△ACE的位置， ∴∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴DE． C 期末重难突破练 8．如图，在等边三角形ABC中，O为BC的中点，AB＝6，△BPQ与△BAO关于点B中心对称，连接CP，则△QCP的面积为　 　 ． 解：∵△ABC是等边三角形，O为BC的中点，AB＝6， ∴BO，AO⊥BC． 在Rt△ABO中，AO． ∵△BPQ与△BAO关于点B中心对称， ∴BQ＝BO＝3，PQ＝AO，∠Q＝∠AOB＝90°， ∴CQ＝6+3＝9，∴△QCP的面积为． 期末重难突破练 9．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝98°，求∠BED的度数． （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE， ∴AE＝AD，∠EAD＝60°， ∴∠BAE＝∠CAD＝60°﹣∠BAD， 在△AEB和△ADC中， ， ∴△AEB≌△ADC（SAS）； 期末重难突破练 9．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：△AEB≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝98°，求∠BED的度数． （2）解：∵AE＝AD，∠EAD＝60°， ∴△AED是等边三角形，∴∠AED＝60°， ∵△AEB≌△ADC， ∴∠AEB＝∠ADC， ∵∠ADC＝98°，∴∠AEB＝98°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝98°﹣60°＝38°． 期末综合拓展练 10．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，分别以AC，BC为边向外作正△ACD和正△BCE，连结AE，在△ABC的边BC变化过程中，当AE取最长时，则BC的长为（　　） A． B． C． D． 解：连接BD， ∵△ACD和△BCE是等边三角形， ∴CE＝CB，CA＝CD＝2，∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB， ∴∠ACE＝∠DCB， 在△ACE和△DCB中，， ∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD， ∴当点D在AB延长线上时，BD最大， 此时BD＝AB+AD＝4+2＝6，即AE的最大值为6， 期末综合拓展练 10．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，分别以AC，BC为边向外作正△ACD和正△BCE，连结AE，在△ABC的边BC变化过程中，当AE取最长时，则BC的长为（　　） A． B． C． D． 如图2，过C作CF⊥AB交AB延长线于点F， ∵AC＝DC＝AD＝2， ∴DF＝AFAD＝1， ∴CFAF， ∵AB＝4， ∴BF＝AB+AF＝4+1＝5， ∴BC2， A 期末综合拓展练 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P、M、N分别在边AB、AD、BC上运动，且线段MN始终经过矩形的对称中心，则△PMN周长的最小值为 　 　 ． 24 解：取MP的中点Q，连接AQ，OQ，AO， 作OG⊥BC，垂足为G， 则AQ＝PQ＝QMPM， ∵线段MN始终经过矩形的对称中心， ∴O是MN的中点， ∴MO＝ONMN，OQPN， ∴C△PMN＝PM+PN+MN＝2AQ+2OQ+2ON ＝2（AQ+OQ+ON）≥2（AO+OG）＝2（2）＝24， ∴△PMN周长的最小值为24． 期末综合拓展练 12．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一动点，（点G不与C、D重合）以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系； （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；并证明你的结论． （2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转一定角度，得到如图2情形．请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并说明理由． 期末综合拓展练 12．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一动点，（点G不与C、D重合）以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系； （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；并证明你的结论． （1）解：BG＝DE，BG⊥DE；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形， ∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°， 在△BCG和△DCE中，， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE， 延长BG交DE于H，如图1所示： ∵∠CBG+∠BGC＝90°， ∠DGH＝∠BGC， ∴∠CDE+∠DGH＝90°， ∴∠DHG＝90°， ∴BG⊥DE； H 期末综合拓展练 12．（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转一定角度，得到如图2情形．请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并说明理由． （2）解：成立；理由如下： 如图2，延长DE交BG延长线于点H， ∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形， ∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴∠DCE+∠ECB＝∠ECB+∠BCG， 即∠BCG＝∠DCE， 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG＝DE，∠1＝∠2， ∵∠1+∠3＝90°， ∠3＝∠4（对顶角相等）， ∴∠2+∠4＝90°， 在△BHO中， ∠BHO＝180°﹣（∠2+∠4） ＝180°﹣90°＝90°， ∴BG⊥DE． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $