专题10.7 直线与圆锥曲线的位置关系讲义-2026届高三数学一轮复习
直线与圆锥曲线的位置关系
联立直线方程 y = kx + m 与椭圆方程 x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0），消去 y 得：
(b² + a²k²)x² + 2a²kmx + a²m² - a²b² = 0
设一元二次方程的判别式为 Δ，则：
• 当 Δ > 0 时，方程有两解，直线与椭圆相交；
• 当 Δ = 0 时，方程有一解，直线与椭圆相切；
• 当 Δ < 0 时，方程无解，直线与椭圆相离。
联立直线方程 y = kx + m 与双曲线方程 x²/a² - y²/b² = 1（a > 0, b > 0），消去 y 得：
(b² - a²k²)x² - 2a²kmx - a²m² - a²b² = 0
设一元二次方程的判别式为 Δ，位置关系与方程解、图形特点的对应关系如下表：
位置关系 | 图形特点（形） | 交点个数 | 方程条件（数） |
相交 | 直线与双曲线渐近线平行 | 1个 | b² - a²k² = 0 |
相交 | 直线与双曲线两支/一支相交 | 2个 | b² - a²k² ≠ 0 且 Δ > 0 |
相切 | 直线与双曲线有唯一公共点（非渐近线平行） | 1个 | Δ = 0 |
相离 | 直线与双曲线无公共点 | 0个 | Δ < 0 |
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注意：直线与双曲线“一解≠相切”“相交≠两解”“两解≠同支”。
联立直线方程 y = kx + m 与抛物线方程 y² = 2px（p > 0），消去 y 得：
k²x² + 2(mk - p)x + m² = 0
设一元二次方程的判别式为 Δ，则：
1. 当 ( k ≠0 ) 时：
• Δ > 0：方程有两解，直线与抛物线相交；
• Δ = 0：方程有一解，直线与抛物线相切；
• Δ < 0：方程无解，直线与抛物线相离。
2. 当 ( k = 0 ) 时：直线与抛物线对称轴平行/重合，仅有1个交点（相交）。
注意：
• 直线与抛物线有一个公共点是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件；
• 研究时需注意直线斜率不存在的情况（如 x = x₀）。
设直线 l: y = kx + b 与圆锥曲线交于 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 两点，则：
1. 通用弦长公式：
|AB| = √(1 + k²)·|x₁ - x₂| = √[(1 + k²)·[(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂]]
|AB| = √(1 + 1/k²)·|y₁ - y₂| = √[(1 + 1/k²)·[(y₁ + y₂)² - 4y₁y₂]] （k ≠ 0）
2. 抛物线焦点弦公式：
对抛物线 y² = 2px，过焦点的直线倾斜角为 α，则焦点弦长：
|AB| = x₁ + x₂ + p = 2p/sin²α
（一）椭圆相关结论（x²/a² + y²/b² = 1，a > b > 0）
• 1. 通径长度为 2b²/a；
• 2. 焦点弦：
• 过左焦点的弦 AB：|AB| = 2a + e(x₁ + x₂)；
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• 过右焦点的弦 CD：|CD| = 2a - e(x₃ + x₄)（e = c/a 为离心率）；
3. 长轴顶点性质：设 A₁, A₂ 为长轴顶点，P 是椭圆上异于 A₁, A₂ 的点，则 k_(PA₁)·k_(PA₂) = -b²/a²；
4. 中点弦斜率：设 AB 是不平行于对称轴的弦，O 为原点，M 为 AB 中点，则 k_(OM)·k_(AB) = -b²/a²；
5. 原点对称点斜率：过原点的直线交椭圆于 A, B，P 是椭圆上异于 A, B 的点，则 k_(PA)·k_(PB) = -b²/a²；
6. 切线方程：点 P(x₀, y₀) 在椭圆上，过 P 的切线方程为 (x₀x)/a² + (y₀y)/b² = 1；
（二）双曲线相关结论（x²/a² - y²/b² = 1，a > 0, b > 0）
• 1. 切线角平分线：点 \( P \) 处的切线 \( PT \) 平分 \( \triangle PF_1F_2 \) 在 \( P \) 处的内角；
• 2. 切线方程：
• 点 P(x₀, y₀) 在双曲线上：切线方程为 (x₀x)/a² - (y₀y)/b² = 1；
• 点 P(x₀, y₀) 在双曲线外：切点弦 P₁P₂ 的方程为 (x₀x)/a² - (y₀y)/b² = 1；
3. 中点弦斜率：AB 是不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 中点，则 k_(OM)·k_(AB) = b²/a²；
4. 中点弦方程：点 P(x₀, y₀) 在双曲线内，被 P 平分的中点弦方程为 (x₀x)/a² - (y₀y)/b² = x₀²/a² - y₀²/b²；
（一）人教A版选择性必修一 习题3.2 第13题（P128）
已知双曲线 x² - y²/2 = 1，解答下列问题：
1. 求直线 y = x + 1 被双曲线截得的弦长；
2. 过点 \( P(1,1) \) 能否作直线 \( l \) 与双曲线交于 \( A, B \)，且 \( P \) 是 \( AB \) 中点？
解：
1. 弦长计算：
联立 {y = x + 1, x² - y²/2 = 1}，消去 y 得 x² - 2x - 3 = 0；
解得 x = -1（对应 y = 0）、x = 3（对应 y = 4），即交点为 (-1, 0)、(3, 4)。
弦长 |AB| = √[(3 - (-1))² + (4 - 0)²] = √(16 + 16) = 4√2；
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