专题07 圆（期末复习知识清单，13知识+18常考&2易错题型）九年级数学上学期华东师大版

该初中数学“圆”专题知识清单系统梳理了圆的核心内容，涵盖13个知识清单（含概念、定理、位置关系、计算等），搭建了从基础概念到定理应用再到综合计算的递进式学习支架。 清单以18类题型分类呈现知识体系，突出“垂径定理实际应用”“切线证明”等重难点，结合筒车盛水桶运行路径等实例培养几何直观与应用意识。每知识点配例题及变式，标注易错点，助力学生高效掌握，也为教师提供精准教学支持。

专题07 圆（13知识&18题型&2易错） 【清单01】与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 【清单02】垂径定理及其推论 定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； .关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形. 【清单03】圆心角、弧、弦的关系 定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【清单04】圆周角定理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ( 2 )推论： 1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 2 直径所对的圆周角是直角. 3 圆内接四边形的对角互补. 【清单05】点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d. (1)d<r ⇔点在⊙O内；(2)d＝r ⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外． 【清单06】直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d＞r d＝r d＜r 【清单07】切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【清单08】切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 【清单09】切线长定理 （1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 【清单10】三角形的外接圆 经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形 三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等. 【清单11】三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等 【清单12】正多边形与圆 .正多边形与圆 （1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①. （2）特殊正多边形中各中心角、长度比： 中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△ a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2 【清单13】与圆有关的计算公式 扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝ （1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长. （2）计算公式： ,圆锥S侧==πrl，S=πr（l+r） 注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积 【题型一】利用垂径定理求值 【例1】如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．利用垂径定理求出、的长度，结合勾股定理得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为： 【变式1-1】如图，的直径，弦于点，，则弦的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理．掌握圆的垂径定理是解题的关键．根据垂径定理知直径找垂直连半径，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵是的直径，， ∴，，． ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴． 故答案为：8． 【变式1-2】如图，是的直径，弦于点，且为中点，． (1)求的半径的长； (2)过作的垂线段交延长线于，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的基本性质，特别是垂径定理及其推论，同时结合直角三角形的勾股定理，直角三角形中所对边是斜边的一半；解题的关键是灵活运用垂径定理得到弦心距与弦长的关系，并利用勾股定理建立方程求半径；对于第二问，通过直角三角形中所对边是斜边的一半的灵活应用转化条件，再结合勾股定理求解． （1）连接，由垂径定理可得，由为中点得，在中利用勾股定理列出关于半径的方程求解； （2）由，求得，，相互垂直平分，可得，，等边对等角得出，，在中，利用所对边是斜边的一半，求得的长． 【详解】（1）解：连接， ∵直径 ∴ 又∵为中点 ∴ 在中， 即 解得或（舍） （2）解：连接， 由（1）得 ∵， ∴， ∵为中点，且 ∴ ∴ ∴ 又∵垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵在中，， ∴ 【题型二】垂径定理的实际应用 【例1】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键；过点作半径于，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中，， ∴， 故选B． 【变式1-1】云南傣族竹筒饭融糯米香、青竹香于一体，是最具民族特色的风味食品．如图1是一个竹筒饭容器，如图2是该竹筒容器的截面示意图．若竹筒开口宽为，这个竹筒所能装食物的最大深度是，则竹筒截面的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点作于点，交于点，求出，设半径为，在中利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示： ∵，最大深度是，即， ∴， 设半径为，则， 在中， 即 解得 ∴， 故答案为：5． 【变式1-2】“圆”对于中国人来说总有一种特殊的情结，圆融、圆满寄托着众人美好的期望，也契合了国人内心深处的向往．如图是合肥园博园中的一个圆拱形的门洞，已知门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．（精确到） 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理等知识． 设的半径为，则，根据垂径定理得到，在中，，列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， 答：门洞的半径约为． 【题型三】圆周角定理 【例1】如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（    ）． A． B． C．点D为弦中点 D．点E为劣弧的中点 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 【变式1-1】已知：如图，是的内接正方形，，是的中点，的延长线交于点E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，连接，由四边形是正方形，则，，证明，则，即，由勾股定理得，代入求得，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-2】如图，点A，B，C都在上，若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【题型四】同弧或等弧所对的圆周角 【例1】如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质． （1）根据，证得，进而根据垂径定理证得； （2）先证明是的中位线，得出，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想：． 证明：∵，， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【变式1-1】如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的直径，弦于点E，得，由垂直平分，得，则，所以； （2）连接，由，，求得，则，所以，则，求得． 【详解】（1）解：连接， 是的直径，弦于点E， ， 垂直平分， ， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：连接， ，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 的长是． 【变式1-2】如图，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据圆周角定理和平行线的判定即可得结论； （）连接，设的半径为，利用勾股定理和垂径定理解答即可求解； 本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴的半径为． 【题型五】半圆或直径所对的圆周角 【例1】如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解：为直径， ， ， ， ∵， ． 故答案为：． 【变式1-1】如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆周角定理和直角三角形的性质，熟练运用圆周角定理是解题关键． 根据圆周角定理可得，结合是直径，故是含的直角三角形，从而． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在直角中，， ∴． 故答案为：2． 【变式1-2】如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，余角的性质，掌握圆周角定理，等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点B作于H，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点B作于， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型六】90度角所得的弦是直径 【例1】如图，，的平分线交于D，若则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质和勾股定理，过点A作于点E，连接，，根据题意可得，，利用勾股定理求得，则可求，在中可求得，即可求得． 【详解】解：过点A作交于点E，连接，，如图， ∵， ∴为直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则． 故答案为：． 【变式1-1】作图：已知都是格点． (1)在图中，先画圆心，再画的角平分线； (2)在图中，先在劣弧上画点，使，将弧绕圆心顺时针旋转到的位置，画点的对应点． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（）取格线与圆的交点，连接，与格线相交于点，点即为圆的圆心，取的中点，连接并延长交于点，连接，由垂径定理可知，即得，故线段为的角平分线； （）取格点，连接，可知，即得，所以，连接，与格线相交于点，连接并延长交圆于点，由线段垂直平分线的性质可得，即得，又由圆周角定理得，即可证，得到，即得到； 本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点和线段即为所求； （2）解：如图所示，点和点即为所求． 【变式1-2】如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理，首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， 点在以为直径的上，当、、共线时最小， 在中，，， ∴， ， ． 最小值为． 故选：A． 【题型七】圆内接四边形的性质 【例1】如图所示，的内接四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形性质，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得到是解题关键． 由，根据等边对等角可得，结合已知条件可得，然后根据圆内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-1】如图，在的边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（    ） A．3 种 B．2种 C．1种 D．全部错误 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，作已知角的平分线，圆内接四边形性质，相似三角形的判定等知识，综合性强﹒①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形，证明，结合，即可证明；②由尺规作图可得，结合，即可证明；③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， 证明，得到，即可证明﹒ 【详解】解：①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由尺规作图可得， 又∵， ∴； ③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴﹒ 故选：A 【变式1-2】如图，是的内接三角形，延长至点D，平分交于点E，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等可得，根据圆内接四边形的对角互补可得，根据邻补角定义可得，根据同角的补角相等可得，等量代换可证，根据等角对等边可证． 【详解】证明：平分， ， ∵， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边、角平分线的定义．解决本题的关键是根据图形的性质得到角之间的关系，利用角之间的关系得到边之间的关系． 【题型八】点与圆的位置关系 【例1】已知的半径为4，点到圆心的距离恰好是一元二次方程的根，老师让同学们判断点与的位置关系，小明认为点在圆内，小亮认为点在圆外，关于两人的判断下列说法正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人合在一起才正确 D．两人都错误 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程和点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键； 先求解一元二次方程得到实数根，由于距离为正，所以取正根，比较与半径的大小关系判断点的位置即可． 【详解】解：方程， ∵， ∴， ∵为点到圆心的距离，故， ∴， ∵， ∴， ∴，点在圆外， ∴小亮正确，小明错误， 故选：B． 【变式1-1】已知的半径为，则点和的位置关系是（　　） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；时，点在圆上；时，点在圆内．据此通过比较点A到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，，， ∴点A在外． 故选：B． 【变式1-2】如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】因为圆心到A，B，C三点距离相等，所以圆心在的垂直平分线上，根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，比较半径和的长度即可得出结论． 【详解】解：∵圆心到A，B，C三点距离相等， ∴圆心在的垂直平分线上， 故如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点． 即为圆心， 则， ， ∵， ， 点在这条圆弧所在圆的圆内． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线，点和圆的位置关系，实数的比较大小，勾股定理，数形结合是解答此题的关键． 【题型九】直线与圆的位置关系 【例1】已知圆的直径是，圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程、直线与圆的位置关系等，熟记一元二次方程的解法及直线与圆的位置关系判定方法是解决问题的关键． 先通过求解一元二次方程得到圆心到直线的距离，再与圆的半径比较，进而判断直线与圆的位置关系即可得到答案． 【详解】解：∵ 圆的直径是， ∴ 半径， ∵ 一元二次方程， ∴ 因式分解得， 解得，， ∵ 圆心到直线的距离不能为负数， ∴圆心到直线的距离， ∵， ∴ 直线与圆相交， 故选：C． 【变式1-1】已知的半径为4，圆心O到某直线的距离为，则该直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，注意解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定 由的半径为4，圆心O到直线l的距离为，利用直线和圆的位置关系：若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离判断即可求得答案． 【详解】解：的半径为4，圆心O到直线l的距离为，， 直线l与的位置关系是：相交． 故答案为：相交． 【变式1-2】的半径为1，在中，若． （1）当满足 时，直线与相切． （2）当满足 时，直线与相交． （3）当满足 时，直线与相离． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，等腰三角形的性质，解直角三角形，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 过圆心作于点，通过计算点到直线的距离，与的半径1比较，，根据与1的大小关系确定直线与圆的位置关系，从而得到的范围． 【详解】解：过点作于点，在等腰中，，平分，，在中，，即．的半径． （1）如图1，当直线与相切时，，即，，，． 故答案为：． （2）如图2，当直线与相交时，，即，，，，又因为， 故． （3）如图3，当直线与相离时，，即，，，，又， 故． 【题型十】切线的证明 【例1】如图，经过的两个顶点A，B，连接交于点D，且，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，求正切值，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由得到，进而得到，由，，得到，，即可得出，即可得证； （2）设，则，，设，则，在中根据勾股定理构造方程，求得，即，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线． （2）解：∵， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式1-1】如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用角平分线的性质证明，再根据切线的判定求解； （2）先利用勾股定理求得，再证明，从而可求得，进而求得，设的半径为，再利用勾股定理得到关于的方程求解，从而可求得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， 又为半径，， ∴是的切线； （2）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），证明某直线是圆的切线，切线的性质定理，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式1-2】如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据三角形内心的性质得出，然后利用同弧所对的圆周角相等进行等量转换，得出，，可得即可证得结论； （2）利用相似三角形的判定以及性质即可得解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴， 又∵（公共角）， ∴， ∴，即， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线的证明，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定和性质，相似三角形的判定与性质． 【题型十一】切线的性质的应用 【例1】如图，中，，，以为圆心的圆与相切于点，交延长线于点，连接，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、直角三角形勾股定理．关键连接，识别为直角三角形．遗漏连接切点与圆心的辅助线，导致角度关系分析错误． （1）先连接，由切线性质得，结合证为直角三角形，再由圆周角定理求； （2）利用直角三角形得，过C作，利用相似三角形求． 【详解】（1） 连接，因与相切于C，故． ， 在中，，则． ，． ， ． （2）解： 过C作， ， 又，， ． ， ，， ， 由勾股定理得：， ． ． 又， ， ． 【变式1-1】如图，是的直径，弦，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，连接，，先由平行的性质得，再由切线的性质得，进而得，即可得，再由垂径定理和圆周角定理可得，，继而可得结论； （2）作于点，设的半径为，则，，由勾股定理列方程得，解方程得，进而可得、的值，再由勾股定理可得的值，最后由可得答案． 【详解】（1）证明：过点O作于点，连接，，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，是切点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点，如图2 ∵，于点， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 【变式1-2】如图，是的直径，为上一点，过点作的切线． 于，点在上，也在的垂直平分线上，延长，与的平行线交于点． (1)求证： ． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，进而根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可得证； （2）根据切线的性质可得，进而可得，结合已知得出，勾股定理求得，进而求得，解，求得，根据，即可求解． 【详解】（1）∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴ ∴， 又∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， （2）解：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型十二】与切线有关的尺规作图 【例1】已知：如图，及外一点P， (1)求作：过点P的的切线（要求使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，是的直径， _______°（ ）（填依据） ． 又为的半径， 直线是的切线（ ）（填依据） 同理可证，直线也是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，尺规作图---线段的垂直平分线，关键是通过作图构造直径所对的圆周角． （1）先作出的中点M，然后以点M为圆心作圆M，则圆M与圆O的交点即为点A，B，则即为所求； （2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）证明：是的直径， （直径所对的圆周角是直角）， ． 又是的半径， 是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）， 同理，是的切线． 故答案为：，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 【变式1-1】请用圆规和无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，写出主要作图步骤）． 【问题再现】如图1，过点P作的一条切线； 【问题联想】如图2，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； 【问题再解】如图3，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦其长度等于弦的长． 【问题再现】（1）主要作图步骤： ； 【问题联想】（2）主要作图步骤： ； 【问题再解】（3）主要作图步骤： ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理，垂径定理和切线的判定与性质． （1）先作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作交于点A，则根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到直线为的切线； （2）连接并延长至点，过点P作的垂线，交直线l于点Q，交于点和，则弦被点P平分； （3）过点O作的垂线，垂足为点，以点O为圆心，为半径作小，作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作交小于点H，则根据圆周角定理得到，射线，交于点和，则弦． 【详解】解：（1）如图1，先作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作交于点A，则根据圆周角定理得到， 然后根据切线的判定方法得到直线为的切线； （2）如图2，连接并延长至点，过点P作的垂线，交直线l于点Q，交于点和，则弦被点P平分； （3）如图3，过点O作的垂线，垂足为点，以点O为圆心，为半径作小，作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作交小于点H，则根据圆周角定理得到，射线，交于点和，则弦． ． 【变式1-2】综合与实践 【情境】数学兴趣小组在学习《圆》这一章时确定的研究主题是过圆外一点作圆的切线的尺规作图方法． 【模型】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．    【操作】博学小组通过讨论给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图1．   求作：过点作的一条切线． 作法：①连接； ②作的________，交于点； ③以点为圆心，长为半径作，交于点； ④作直线． 直线即为所求作的一条切线． （1）博学小组给出的方案中空缺的内容为__________________． （2）请你根据博学小组的作图方案说明图1中的直线符合要求的理由． 【类比】善思小组通过思考给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图2．       求作：过点作的一条切线． 作法：①连接，交于点； ②过点作的垂线； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ④连接交于点； ⑤作直线． 直线即为所求作的一条切线． （3）善思小组的作图方案可行吗？若可行，请你写出证明过程；若不可行，请说明理由． 【拓展】（4）关于“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图，请你再给出一种作法．（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） 【答案】（1）垂直平分线；（2）见解析；（3）可行，证明见解析；（4）见解析 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据作图步骤即可得到解答； （2）由作图可知为的直径，则，得到．由是的半径即可证明直线为的切线； （3）由作图知于点，，，再证明可得，进而证明结论； （4）如图：连接，交于点，作直径；以点为圆心， 长为半径作弧；以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点，作直线． 直线即为所求作的一条切线． 【详解】解：（1）垂直平分线． （2）理由：如图1，连接． 为的直径， ，． 是的半径， 直线是的切线． （3）可行． 证明：由作图知于点，，， ． 又， ， ，即． 是的半径， 直线是的切线． （4）如图2， ①连接，交于点，作直径； ②以点为圆心， 长为半径作弧； ③以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点，作直线． 直线即为所求作的一条切线． 证明：由作图过程可得：， ∴， ∴， ∴直线为的一条切线． 【题型十三】切线长定理的应用 【例1】如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，如图，设四边形的内切圆切点分别为，根据切线长定理得到，求出，进而得到，求出，从而求出，再根据，设，则，由，求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，设四边形的内切圆切点分别为， ∴， ∴， ∵四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 【变式1-1】如图，P是外一点，，分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交，于D、E，若的周长为，则长为 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理和正确计算是解题的关键． 先根据切线长定理，得到，，，再根据线段之间的关系即可求解． 【详解】解：，分别和切于A、B， ， 过 C作的切线分别交，于D、E， ， 的周长为， ， ， ， 则， ，即． 故答案为． 【变式1-2】如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证是的切线，通过切线性质得，结合角平分线证，从而得，完成证明； （2）先证得，结合切线长定理得，再用勾股定理表示，最后在中列方程求解半径． 【详解】（1）证明：与相切， ． ． 平分线， ． 在和中 ． ． 是的切线． （2）解：在和中， ． ． ． ，是的切线， ． ． ． 设，则，． ， ． 解得． 的半径长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌握切线的判定与性质、全等三角形的判定以及利用勾股定理建立方程是解题的关键． 【题型十四】弧长有关计算 【例1】如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是 A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题综合运用了解直角三角形的知识、旋转的性质以及弧长公式，解本题的要点在于求出，再算出答案． 点A经过的路线即以C为圆心，以的长为半径的弧，利用解直角三角形的知识求得的长和的度数，从而求得，再根据弧长公式进行计算． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴点A经过的路线的长度是＝， 故选D． 【变式1-1】在中，的长与的直径的比为，则所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的关键是根据弧长公式求圆心角，但要注意的是圆心角与圆周角的转化． 根据弧长与直径的比求出圆心角，再根据圆周角与圆心角的关系求解． 【详解】解：设的半径为，则直径， ∵的长与直径的比为， 即，解得． ∴所对圆周角为． 故选：A． 【变式1-2】陶土小青瓦是一种传统的建筑材料，广泛应用于中国各地．在北方地区，它被称为阴阳瓦，而在南方地区，则因其小巧而得名蝴蝶瓦．这种瓦片呈弧形，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，弧长公式，因为，且，所以，所以是等边三角形，所以，然后通过弧长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题知，因为，且， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 所以的长为：． 故选：． 43．已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了弧长公式． 根据弧长公式 代入已知数值求解． 【详解】由题意，圆心角 ，弧长 ，代入弧长公式： ， ，， 解得：． 故答案为：6． 【题型十五】与扇形面积有关的计算 【变式1-1】一个扇形的面积为，半径为6，则此扇形的圆心角是 度． 【答案】120 【分析】本题考查扇形的面积以及圆心角问题．设扇形的圆心角为度，根据扇形面积公式 列出方程求解． 【详解】解：由扇形面积公式得， 化简得， 两边同时除以得，即， 解得． 故答案为：120． 【变式1-2】如图①，已知扇形，作如下操作：步骤1：以O，B为圆心，大于的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线；步骤2：直线与交于点，以点为圆心，为半径作弧交直线于点；步骤3：连接，以为圆心，为半径作弧，分别交，于点，(如图②)经过以上操作，得到扇形，若扇形面积为，则扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积公式，由作图可得，直线垂直平分，，，则，，由勾股定理可得，设扇形的半径为，则，的度数为，由扇形面积为求出，再由扇形面积公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，直线垂直平分，，， ∴，， 由勾股定理可得：， 设扇形的半径为，则，的度数为， ∵扇形面积为， ∴， ∴， ∴扇形的面积是, 故答案为：． 【变式1-3】图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． (1)画出将绕点B按逆时针方向旋转后所得到的 (2)在（1）中，求在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．求扫过的面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． （1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形； （2）根据扫过的面积等于扇形的面积与的面积和，列式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由题可得，扫过的面积． 【题型十六】不规则图形面积计算 【例1】在扇形中，，正方形的顶点C，D分别在半径，上，顶点E在上，以O为圆心，长为半径作，若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，正方形的性质，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 根据正方形的性质得到，，，求出正方形的边长，得出阴影部分的面积，分别求出即可． 【详解】解：连接，交于，则， 四边形是正方形， ，，， 在等腰三角形中，， ， 阴影部分的面积 ， 故选：C． 【变式1-1】如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握圆的性质以及旋转的性质是解题关键．先求出半圆的面积，由旋转的性质可知，，结合等边对等角的性质，得出，从而求出的面积和，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 半圆的直径为4， 半圆的面积为， 由旋转的性质可知，， ， ， ， 扇形的面积为，， 图中阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 故答案为：． 【变式1-2】如图，四边形内接于为直径，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)连接，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，扇形的面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质，可得，结合，可推出，即可作答． （2）先结合以及圆周角定理得，再证明是等边三角形，结合勾股定理列式计算，又因为，则，最后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明： 四边形是的内接四边形， ， 又 ， ； （2）解：如图，过点作于点， 为的直径， ， ， ∵ ∴， ， 是等边三角形， ∴ ∴， ， ∵， ， ． 【题型十七】圆锥有关面积计算 【例1】如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式计算． 由圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再根据圆锥侧面积公式（乘以底面半径乘以母线长）计算侧面积． 【详解】解：圆锥的母线长， 圆锥的侧面积为． 故选：A． 【变式1-1】一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A．5 B．10 C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，利用此关系列方程求解． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为 ， ∵ 圆锥底面圆的周长为 ，且扇形弧长为 ， ∴， 解得 ． 故选B． 【变式1-2】一个圆锥的侧面展开图是半径为10的半圆，则该圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，根据圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为半圆半径，半圆弧长等于底面周长，由此求出底面半径，再根据勾股定理计算高即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，圆锥的高， ∵侧面展开图是半径为10的半圆， ∴母线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥侧面展开图，圆锥侧面展开后为扇形，扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长为圆锥底面周长，由此列方程即可求解． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 故选：C． 【题型十八】正多边形有关的计算 【例1】正十边形的中心角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角度数，正n边形的中心角度数等于，据此求解即可． 【详解】解：正十边形的中心角度数是， 故选：C． 【变式1-1】如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 【变式1-1】如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点的应用，利用正六边形的性质求边长是解题的关键． 首先通过正六边形来构造辅助线形成等边三角形，进而可以利用垂直在直角三角形中求解的长度即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，即， ∵， ∴， 在中，， 故选：D． 【变式1-3】如图，正八边形内接于，连接，，若的半径为 ，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的中心角，特殊角的三角函数值，掌握相关知识是解题的关键．连接，过作于点，在中，由可得的长，进而可求出的面积． 【详解】解：连接，过作于点，如图所示， 正八边形内接于， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型一】圆的有关概念辨析 【例1】已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆中最长的弦是直径，直径的长度是半径的2倍，解答即可． 本题考查了直径是圆中最大弦，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：∵的半径是， ∴最长的弦（直径）， 故选：B． 【变式1-1】以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 【变式1-2】已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（   ） A．0.01 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的弦的性质． 根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径．已知半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 【详解】解：∵的半径为5， ∴直径长为10． ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11． 故选：D． 【变式1-3】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 【题型二】圆心角、弦、弧之间的关系 【例1】如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 【变式1-1】如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】A、 与不一定相等，符合题意；     B、 ∵直径， ∴，故不符合题意； C、∵直径， ∴，故不符合题意； ∴，故D不符合题意， 故选：A． 【变式1-2】如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【详解】（1）证明：连接， ， ． ， ，． ． ； （2）解：的度数是， ． ． ， ， ． 试卷第2页，共61页 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆（13知识&18题型&2易错） 【清单01】与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于 的所有点组成的图形． （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做 ，过圆心的弦叫做 ， 是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做 ，小于半圆的弧叫做 ，大于半圆的弧叫做 . （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做 . （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做 . （6）弦心距：圆心到弦的 . 【清单02】垂径定理及其推论 定理： 垂直于弦的 平分 ，并且平分弦所对的 ． 推论 (1)平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 ； .关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形. 【清单03】圆心角、弧、弦的关系 定理： 在同圆或等圆中，相等的 所对的弧相等，所对的 相等． 推论： 在同圆或等圆中，如果两个 、两条 、两条 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【清单04】圆周角定理及其推论 （1）定理：一条弧所对的 等于它所对的 . ( 2 )推论： 1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 . 2 直径所对的圆周角是 . 3 圆内接四边形的 . 【清单05】点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d. (1)d<r ⇔ ；(2)d＝r ⇔ ；(3)d>r⇔ ． 【清单06】直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 【清单07】切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于 的直线是圆的切线. （3）经过半径 并且垂直于 的直线是圆的切线. 【清单08】切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于 . （3）切线 经过切点的半径. 【清单09】切线长定理 （1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线， 相等， 的连线平分两条切线的夹角. 【清单10】三角形的外接圆 经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形 三角形的外心是三角形 的交点，到三角形的 的距离相等. 【清单11】三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到 距离相等 【清单12】正多边形与圆 .正多边形与圆 （1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①. （2）特殊正多边形中各中心角、长度比： 中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△ a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2 【清单13】与圆有关的计算公式 扇形的弧长l＝ ；扇形的面积S＝ ＝ （1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长. （2）计算公式： ,圆锥S侧= ，S=πr（l+r） 注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积 【题型一】利用垂径定理求值 【例1】如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为 ． 【变式1-1】如图，的直径，弦于点，，则弦的长为 ． 【变式1-2】如图，是的直径，弦于点，且为中点，． (1)求的半径的长； (2)过作的垂线段交延长线于，求的长． 【题型二】垂径定理的实际应用 【例1】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】云南傣族竹筒饭融糯米香、青竹香于一体，是最具民族特色的风味食品．如图1是一个竹筒饭容器，如图2是该竹筒容器的截面示意图．若竹筒开口宽为，这个竹筒所能装食物的最大深度是，则竹筒截面的半径为 ． 【变式1-2】“圆”对于中国人来说总有一种特殊的情结，圆融、圆满寄托着众人美好的期望，也契合了国人内心深处的向往．如图是合肥园博园中的一个圆拱形的门洞，已知门洞高，地面入口宽，求门洞的半径．（精确到） 【题型三】圆周角定理 【例1】如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（    ）． A． B． C．点D为弦中点 D．点E为劣弧的中点 【变式1-1】已知：如图，是的内接正方形，，是的中点，的延长线交于点E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点A，B，C都在上，若，则的度数为 ． 【题型四】同弧或等弧所对的圆周角 【例1】如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 【变式1-1】如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【变式1-2】如图，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【题型五】半圆或直径所对的圆周角 【例1】如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 【变式1-1】如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ． 【变式1-2】如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【题型六】90度角所得的弦是直径 【例1】如图，，的平分线交于D，若则的长为 ． 【变式1-1】作图：已知都是格点． (1)在图中，先画圆心，再画的角平分线； (2)在图中，先在劣弧上画点，使，将弧绕圆心顺时针旋转到的位置，画点的对应点． 【变式1-2】如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【题型七】圆内接四边形的性质 【例1】如图所示，的内接四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在的边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（    ） A．3 种 B．2种 C．1种 D．全部错误 【变式1-2】如图，是的内接三角形，延长至点D，平分交于点E，连接，．求证：． 【题型八】点与圆的位置关系 【例1】已知的半径为4，点到圆心的距离恰好是一元二次方程的根，老师让同学们判断点与的位置关系，小明认为点在圆内，小亮认为点在圆外，关于两人的判断下列说法正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人合在一起才正确 D．两人都错误 【变式1-1】已知的半径为，则点和的位置关系是（　　） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 【变式1-2】如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【题型九】直线与圆的位置关系 【例1】已知圆的直径是，圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【变式1-1】已知的半径为4，圆心O到某直线的距离为，则该直线与的位置关系是 ． 【变式1-2】的半径为1，在中，若． （1）当满足 时，直线与相切． （2）当满足 时，直线与相交． （3）当满足 时，直线与相离． 【题型十】切线的证明 【例1】如图，经过的两个顶点A，B，连接交于点D，且，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【变式1-1】如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，试求的长． 【变式1-2】如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求长． 【题型十一】切线的性质的应用 【例1】如图，中，，，以为圆心的圆与相切于点，交延长线于点，连接，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式1-1】如图，是的直径，弦，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1-2】如图，是的直径，为上一点，过点作的切线． 于，点在上，也在的垂直平分线上，延长，与的平行线交于点． (1)求证： ． (2)若，求的长． 【题型十二】与切线有关的尺规作图 【例1】已知：如图，及外一点P， (1)求作：过点P的的切线（要求使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，是的直径， _______°（ ）（填依据） ． 又为的半径， 直线是的切线（ ）（填依据） 同理可证，直线也是的切线． 【变式1-1】请用圆规和无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，写出主要作图步骤）． 【问题再现】如图1，过点P作的一条切线； 【问题联想】如图2，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； 【问题再解】如图3，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦其长度等于弦的长． 【问题再现】（1）主要作图步骤： ； 【问题联想】（2）主要作图步骤： ； 【问题再解】（3）主要作图步骤： ． 【变式1-2】综合与实践 【情境】数学兴趣小组在学习《圆》这一章时确定的研究主题是过圆外一点作圆的切线的尺规作图方法． 【模型】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．    【操作】博学小组通过讨论给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图1．   求作：过点作的一条切线． 作法：①连接； ②作的________，交于点； ③以点为圆心，长为半径作，交于点； ④作直线． 直线即为所求作的一条切线． （1）博学小组给出的方案中空缺的内容为__________________． （2）请你根据博学小组的作图方案说明图1中的直线符合要求的理由． 【类比】善思小组通过思考给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图2．       求作：过点作的一条切线． 作法：①连接，交于点； ②过点作的垂线； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ④连接交于点； ⑤作直线． 直线即为所求作的一条切线． （3）善思小组的作图方案可行吗？若可行，请你写出证明过程；若不可行，请说明理由． 【拓展】（4）关于“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图，请你再给出一种作法．（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） 【题型十三】切线长定理的应用 【例1】如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式1-1】如图，P是外一点，，分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交，于D、E，若的周长为，则长为 ． 【变式1-2】如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 【题型十四】弧长有关计算 【例1】如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是 A．4 B． C． D． 【变式1-1】在中，的长与的直径的比为，则所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】陶土小青瓦是一种传统的建筑材料，广泛应用于中国各地．在北方地区，它被称为阴阳瓦，而在南方地区，则因其小巧而得名蝴蝶瓦．这种瓦片呈弧形，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 43．已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为 ． 【题型十五】与扇形面积有关的计算 【变式1-1】一个扇形的面积为，半径为6，则此扇形的圆心角是 度． 【变式1-2】如图①，已知扇形，作如下操作：步骤1：以O，B为圆心，大于的一半为半径作两条相等半径圆弧，连接两条圆弧交点并延长成直线，记为直线；步骤2：直线与交于点，以点为圆心，为半径作弧交直线于点；步骤3：连接，以为圆心，为半径作弧，分别交，于点，(如图②)经过以上操作，得到扇形，若扇形面积为，则扇形的面积是 ． 【变式1-3】图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． (1)画出将绕点B按逆时针方向旋转后所得到的 (2)在（1）中，求在旋转过程中扫过的面积． 【题型十六】不规则图形面积计算 【例1】在扇形中，，正方形的顶点C，D分别在半径，上，顶点E在上，以O为圆心，长为半径作，若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1-1】如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式1-2】如图，四边形内接于为直径，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)连接，，，求阴影部分的面积． 【题型十七】圆锥有关面积计算 【例1】如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A．5 B．10 C．20 D． 【变式1-2】一个圆锥的侧面展开图是半径为10的半圆，则该圆锥的高是 ． 【变式1-3】如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型十八】正多边形有关的计算 【例1】正十边形的中心角度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【变式1-1】如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【变式1-3】如图，正八边形内接于，连接，，若的半径为 ，则的面积为 ． 【题型一】圆的有关概念辨析 【例1】已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【变式1-2】已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（   ） A．0.01 B．5 C．10 D．11 【变式1-3】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【题型二】圆心角、弦、弧之间的关系 【例1】如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 试卷第2页，共61页 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $