专题05 圆中的重要模型之圆幂定理模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级下册

专题05 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 6 模型1.相交弦模型 6 模型2.双割线模型 8 模型3.切割线模型 10 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 14 19 圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。‌ （2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． （2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）． ，∴，． ，． ，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 1）相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 图1 图2 图3 2）割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3）切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4）弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5）托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型 例1（24-25·山东菏泽·九年级校考期中）如图，已知、、、在同一个圆上，，与交于，若，，且线段、为正整数，则 ．    例2（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，O的两弦，相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接，．∵，．∴，（根据_____________） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径． 模型2.割线模型 例1（2025·辽宁葫芦岛·校考一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则= . 例2（24-25九年级上·北京·期中）如图，点是外一点，为的一条割线，且，交于点，若，，则长为（    ） A． B． C． D． 例3（2025·河南·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 模型3.切割线模型 例1（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）如图，与切于点，是的割线，如果，那么的长为 . 例2（2024·山西·模拟预测）阅读与思考：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点， 求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，．∵是的切线，． ∵是的直径，（依据：______）．，． 又（依据：______），．………… 任务：(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格；(2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 例3（2025·浙江台州·校考二模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，连接，且． (1)求证：；(2)判断直线与的位置关系，并说明理由．    模型4.弦切角模型 例1（2025·河南周口·二模）弦切角定理是指弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 举例来说，假设有一个圆，一条切线与圆相切于点C，一条弦，那么由切线和弦构成的弦切角 与弦AC和切线所夹的弧 对应的圆周角相等． 为了说明这一说法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知： 如图， 内接于， ．求证： ． 例2（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）阅读材料，完成任务 一切平面图形中最美的是圆形，人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年 前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周 的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上， 一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． 下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 证明：如图①，与 ⊙O 相切于点A． 当圆心O 在 弦 上时，容易得到，所以弦切角的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．                如图②，与相切于点A， 当圆心O在的内部时，过点 A 作直径交于点D，在弧上任取一点E，连接，，， 则．( 依 据) 是的直径，则 是的切线，则 所以，， 即 所以弦切角的度数等于它所夹弧所对圆周角的度数． 【任务】(1)①请写出在上面的证明过程中的依据：_________ ②请完成如图③ ，与相切于点A．当圆心O在的外部时，弦切角定理的证明过程． (2)如下图，在△ABC  中 ，，以 为直径的交 于 点E， 过点B作的切线交的延长线于点D，直 接 写 出 与的数量关系：_______________． 模型5.托勒密定理模型 例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 例2（24-25·河南平顶山·九年级校联考阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务： 罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 如图1，四边形内接于，求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，… 任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______； (2)请完成后续证明；(3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长． 例3（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形中，有，当四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）请将证明过程补充完整： 如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点E，连接，使． 【直接应用】（2）如图2，为的直径，，求的长； 【灵活运用】（3）如图3，在等腰三角形中，，点D在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，则的长为__________． 1．（24-25九年级上·成都市·期中）如图，切于，是的割线，如果，，则的长为（ ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 3．（24-25·山西九年级期中）如图，是外一点，、都是的割线．如果，，，那么的长为(     ) A． B．2 C．3 D．4 4．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图所示，是圆O的直径，是圆的切线，E为切点，，若与圆的交点为D，且，则的大小为 ． 5．（2025·江苏无锡·校考一模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是 ．    6．（2025·河南·三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长．    7．（2025·山东·校考三模）如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE．(1)求证：CF是圆O的切线；(2)若，BE＝2，求圆O的半径和的值． 8．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，四边形内接于，交于点E，，．  (1)求证：；(2)若，，求的长． 9．（24-25·湖北九年级课时练习）如图所示：、分别与圆O交于A、B、C、D四点，连接、，(1)证明：(2)若，，，求的长. 10．（2025·河南·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线． 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，A是⊙O外一点， ． 求证： ． 11．（2025·山东潍坊·统考一模）如图，是的直径，点C、D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于E，与的延长线相交于点F，G为的下半圆弧的中点，交于H，连接(1)证明：是的切线；(2)若圆的半径，求的长；(3)求证：．    12.（24-25·广西九年级期中）定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 问题情景：已知如图所示，直线是的切线，切点为，为的一条弦，为弧所对的圆周角． （1）猜想：弦切角与之间的关系．试用转化的思想：即连接并延长交于点，连接，来论证你的猜想．（2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论． 13．（24-25·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．【证明】 在证明时，细心的小高考虑了三种情况，圆心在弦切角的一条边上，圆心在弦切角外，圆心在弦切角内．如图1，与相切于点，为直径，当圆心在上时，容易得到，所以弦切角，请帮助小高继续解决下面的问题． (1)如图2，是的切线，为切点，为直径，夹弧所对的圆周角为，求证： (2)如图3，是的切线，为切点，夹弧所对的圆周角为．求证； 【解决问题】(3)如图4，中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，直接写出与的数量关系：______ 14．（24-25·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点． 证明 情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）： ，∴ ∴，即 情况二点P在⊙O外时（如图2）： 情况三当点A和点B重合时（如图3） 15．（24-25九年级上·河南新乡·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题：    (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，，求的长． 16．（2025·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P． 求证：． 证明：如图1，连接． ∵，．∴，（根据） ∴@，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 17．（24-25·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角． (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，，，．求证：． 证明： (2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接，，．若，，求弦的长． 18．（24-25·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务： 弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）． 如图1，P是外一点，是的切线，是的一条割线，与的另一个交点为B，则． 证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接． ∵是的切线，∴，∴，即．…… 任务：(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分． (2)如图3，与相切于点A，连接并延长与交于点B、C，，，，连接．①与的位置关系是 　 　．②求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 6 模型1.相交弦模型 6 模型2.双割线模型 8 模型3.切割线模型 10 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 14 19 圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。‌ （2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． 【答案】（新知探究）：见详解；（类比探究）：；（延伸结论）： 【详解】（新知探究）：∵， ∴，∴，； （类比探究）：如图所示：连接，       ∵四边形是圆内接四边形，， ，，； （延伸结论）：如图所示：连接， 是的切线，，，， 是的直径，，，， ，，， ，，，． （2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）． ，∴，． ，． ，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等， (2) 【详解】（1）证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（同弧所对的圆周角相等）． ．∴，．，． ，，即． ．∴，． ． 故答案为：同弧所对的圆周角相等，； （2）连接，作于点， ∵为的中点，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，设，则：， 由托勒密定理，得：，∴，∴． 1）相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 图1 图2 图3 2）割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3）切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4）弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5）托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型 例1（24-25·山东菏泽·九年级校考期中）如图，已知、、、在同一个圆上，，与交于，若，，且线段、为正整数，则 ．    【答案】7 【详解】解：，∠BAC=∠DAC，∠DBC=∠DAC，∠BAC=∠DBC， 又∠BCE=∠ACB，△ABC∽△BEC，，，，EC=2，AE=6， ，，，即， 又由线段、为正整数，且在△BCD中，， BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，BD=BE+DE=7；故答案为7． 例2（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，O的两弦，相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接，．∵，．∴，（根据_____________） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似，；(2)的半径为． 【详解】（1）证明：如图1，连接，． ∵，．∴，（根据有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为，而，，， ，， ， 根据（1）中结论得，即为， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去），⊙O的半径为． 模型2.割线模型 例1（2025·辽宁葫芦岛·校考一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则= . 【答案】8 【详解】根据割线定理得：PA•PB=PC•PD； ∵，，；∴PD==8cm．故答案为8. 例2（24-25九年级上·北京·期中）如图，点是外一点，为的一条割线，且，交于点，若，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设PA=AB=x，延长PO交圆于点D．连接BD，AC ∵四边形ABDC内接于∴ 又 ∴ ∴ ∴PA•PB=PC•PD， ∵OC=3，OP=5，∴PC=2，PD=5+3=8∴x•2x=16，∴x=∴．故选：B． 例3（2025·河南·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 【答案】证明一：，∽，；证明二见解析 【详解】解：证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴． 又∵，∴∽，∴．即． 故答案为：，∽，， 证明二：连接、，∵四边形为圆内接四边形，∴， 又∵，∴， 又∵，∴∽，∴，即． 模型3.切割线模型 例1（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）如图，与切于点，是的割线，如果，那么的长为 . 【答案】 【详解】解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是⊙O的割线，∴PA2=PB•PC， ∵PB=BC=2，∴PC=4，∴PA2=4×2，∴ 故答案为 例2（2024·山西·模拟预测）阅读与思考：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点， 求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，．∵是的切线，． ∵是的直径，（依据：______）．，． 又（依据：______），．………… 任务：(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格；(2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 【答案】(1)直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等(2)见解析(3) 【详解】（1）解：根据题意可得，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等； （2）证明：又，．．． （3）解：如图，连接，， ，∴设，，，则． ∵是的切线，是割线，∴由切割线定理得，则， 解得或（舍去），，，，则． ∵AB是的直径，AC是的切线，．． ，，，则． ，． 例3（2025·浙江台州·校考二模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，连接，且． (1)求证：；(2)判断直线与的位置关系，并说明理由．    【答案】(1)见解析(2)相切，见解析 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵，∴． （2）答：直线与相切．解：连接，∵，∴， ∵，∴，∴ ∵是的直径，∴， ∴，∴． 又∵是半径，∴直线是的切线．    模型4.弦切角模型 例1（2025·河南周口·二模）弦切角定理是指弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 举例来说，假设有一个圆，一条切线与圆相切于点C，一条弦，那么由切线和弦构成的弦切角 与弦AC和切线所夹的弧 对应的圆周角相等． 为了说明这一说法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知： 如图， 内接于， ．求证： ． 【答案】直线与相切于点C；；证明见解析 【详解】解：如图，内接于⊙O，直线与相切于点C，求证：．连接， ∵直线与相切于点C，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即． 故答案为：直线与相切于点C，． 例2（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）阅读材料，完成任务 一切平面图形中最美的是圆形，人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年 前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周 的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上， 一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． 下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 证明：如图①，与 ⊙O 相切于点A． 当圆心O 在 弦 上时，容易得到，所以弦切角的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．                如图②，与相切于点A， 当圆心O在的内部时，过点 A 作直径交于点D，在弧上任取一点E，连接，，， 则．( 依 据) 是的直径，则 是的切线，则 所以，， 即 所以弦切角的度数等于它所夹弧所对圆周角的度数． 【任务】(1)①请写出在上面的证明过程中的依据：_________ ②请完成如图③ ，与相切于点A．当圆心O在的外部时，弦切角定理的证明过程． (2)如下图，在△ABC  中 ，，以 为直径的交 于 点E， 过点B作的切线交的延长线于点D，直 接 写 出 与的数量关系：_______________． 【答案】(1)①同弧所对的圆周角相等  ②见解析(2) 【详解】（1）解：①根据证明过程可得依据为：同弧所对的圆周角相等； 故答案为：同弧所对的圆周角相等； ②在优弧上任取一点E，连接，，， 则， 是的直径，则；是的切线，则 所以，， 即 所以弦切角的度数等于它所夹弧所对圆周角的度数． （2）解：连接，则，∵是的直径，∴， 又∵，∴，∴，故答案为：． 模型5.托勒密定理模型 例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，    ，， 在中，，，， ，，在中，， 在中，，， 在中，，， 四边形是的内接四边形，， ，解得：，故选：B． 例2（24-25·河南平顶山·九年级校联考阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务： 罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 如图1，四边形内接于，求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，… 任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______； (2)请完成后续证明；(3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长． 【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：由题意知，托勒密定理的逆命题是：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形． 证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等； “依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似． 故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：如图，作，交于点E， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴， 即．∴，∴ ，∴． ∴． ∴； （3）解：∵为直径，∴，∴四边形为圆的内接四边形， ∵，∴，由勾股定理得，． ∵的角平分线交于点D，∴， ∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴． ∵四边形为圆的内接四边形， ∴，即，解得． 例3（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形中，有，当四点共圆时，有． 【尝试证明】（1）请将证明过程补充完整： 如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点E，连接，使． 【直接应用】（2）如图2，为的直径，，求的长； 【灵活运用】（3）如图3，在等腰三角形中，，点D在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，则的长为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：在上取点E，连接，使． ∵，∴，∴，∴①， ∵，∴，即， 又∵，∴，∴，∴②， 得，∴； （2）解：连接、，∵为的直径，∴， ∵，，，∴，， ∵由（1）得，即，∴； （3）解：∵，∴，∵，∴，， ∵，∴，，，∴，， 由折叠性质得，，， ∴，∴、、、四点共圆，由（1）得， ∴，∴．故答案为：． 1．（24-25九年级上·成都市·期中）如图，切于，是的割线，如果，，则的长为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据切线定理得PA2＝PBPC＝8即可求得PA的长. 【详解】∵PA2＝ PBPC＝8,PB＝2,PC＝4，∴PA＝. 【点睛】本题主要考查了切线定理的运用. 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，∴，，，    ∵，，∴，， ∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵，，，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， 在中，，∴，由托勒密定理得：， ∴，∴， ∴四边形的周长为，故选：． 3．（24-25·山西九年级期中）如图，是外一点，、都是的割线．如果，，，那么的长为(     ) A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】如图，连结BC、BD.∵同弧所对的圆心角相等∴∠PDA＝∠PBC，又∵∠BPD是△PCB和△PAD共同的角，∴△PCB∽△PAD，∴PA：PD＝PC：PB＝PD：PA＋AB，∴PD＝4. 4．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图所示，是圆O的直径，是圆的切线，E为切点，，若与圆的交点为D，且，则的大小为 ． 【答案】/15度 【详解】解：如图，连接，，，，作于F， ∵是圆的切线，E为切点，∴，∵，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∵是的直径，∴，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，设，则， ∵，∴，∵，， ∴，∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，在中，， ∴，∴， ∵，∴．故答案为：． 5．（2025·江苏无锡·校考一模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，设交于点，    ∵是的直径，， ，， 在中， ， ，，， 设则， ，，， 中，， ，， 又，，，，， ，，，解得， ，故答案为：． 6．（2025·河南·三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)，证明见解析(2) 【详解】（1）求证：． 证明：连接AC、BD．如图①．    ∵，．∴．∴．∴． （2）解：∵，，．由（1）可知．∴． ∵，是的直径，，．连接OD．如图②． ∵为切线．∴．∵．．∴．∴． ∵，∴．∴，．又∵．∴． 7．（2025·山东·校考三模）如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE． (1)求证：CF是圆O的切线；(2)若，BE＝2，求圆O的半径和的值． 【答案】(1)见解析(2)半径为；的值为 【解析】(1)证明：∵FC=FE，∴∠CEF=∠ECF， ∵∠CEF=∠CAF+∠ACD，∠ECF=∠ECB+∠FCB，∴∠CAF+∠ACD=∠ECB+∠FCB， ∵点D是弧AB的中点，∴∠ACD=∠ECB，∴∠CAF=∠FCB， ∵AC是直径，∴∠CBA=∠CBF=90°，即∠F+∠FCB=90°， ∴∠F+∠CAF=90°，∴∠OCF=90°，∴CF是圆O的切线； (2)解：∵cosF=，即，令BF=3k，则CF=5k，∴BC==4k， ∵CF=EF，∴2+3k=5k  解得k=1，∴CF=5，BF=3，BC=4， 在Rt△ABC中，∠ACB=∠F，∵cos∠ACB=，∴AC=，所以半径为， 在Rt△ACF中，，∴，∴AE=AF-EF=，连接AD， ∵∠CBE=∠ADE，∠CEB=∠AED，∴△CBE∽△ADE， ∴，∴． 8．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，四边形内接于，交于点E，，．  (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵∴设，则， ∵∴∴ ∵∴，； （2）解：由（1），∴，∴， ∵∴∴ ∵，∴∴， ∵∴∴ 在中，由勾股定理，得∴ 解得：或(不符合题意，舍去)，∴． 9．（24-25·湖北九年级课时练习）如图所示：、分别与圆O交于A、B、C、D四点，连接、，(1)证明：(2)若，，，求的长. 【答案】(1)见解析(2)的长为6 【详解】（1）证明：∵A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵，∴， ∵，∴； （2）解：∵，∴， ∵，，，∴， 即的长为6． 10．（2025·河南·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线． 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，A是⊙O外一点， ． 求证： ． 【答案】AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，AB2＝AC•AD，见解析 【详解】解：（已知：如图，A是⊙O外一点，）AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线． 求证：AB2＝AC•AD． 故答案为：AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，AB2＝AC•AD， 证明：连接BD，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE， ∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC+∠CBE＝90°， ∵BE是圆的直径，∴∠BCE＝90°＝∠E+∠CBE， ∴∠ABC＝∠E，而∠E＝∠CDB，∴∠ABC＝∠BDC， ∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴，∴AB2＝AC•AD． 11．（2025·山东潍坊·统考一模）如图，是的直径，点C、D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于E，与的延长线相交于点F，G为的下半圆弧的中点，交于H，连接(1)证明：是的切线；(2)若圆的半径，求的长；(3)求证：．    【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）连接，，，       又平分，，，， 又，，∴是的切线； （2）连接，∵G是半圆弧中点，， 在中，，． ∴． （3）∵是的直径，，， 由（1）得，是的切线，，， ，，， 又，，∴， ． 12.（24-25·广西九年级期中）定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 问题情景：已知如图所示，直线是的切线，切点为，为的一条弦，为弧所对的圆周角． （1）猜想：弦切角与之间的关系．试用转化的思想：即连接并延长交于点，连接，来论证你的猜想．（2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论． 【答案】（1）（2）弦切角等于其两边所夹弧对的圆周角 【详解】（1）； 证明：∵是的直径，∴； 又∵是的切线，∴，∴； 又∵，∴． （2）弦切角等于其两边所夹弧对的圆周角． （或弦切角的度数等于其两边所夹弧度数的一半．） 13．（24-25·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．【证明】 在证明时，细心的小高考虑了三种情况，圆心在弦切角的一条边上，圆心在弦切角外，圆心在弦切角内．如图1，与相切于点，为直径，当圆心在上时，容易得到，所以弦切角，请帮助小高继续解决下面的问题． (1)如图2，是的切线，为切点，为直径，夹弧所对的圆周角为，求证： (2)如图3，是的切线，为切点，夹弧所对的圆周角为．求证； 【解决问题】(3)如图4，中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，直接写出与的数量关系：______ 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵为直径∴ ∵∴ ∵是的切线∴∴ 即∴； （2）证明：如图，过点作直径交于点，连接， ∵四边形是的内接四边形∴，即 ∵是的切线∴ ∴即 ∵为直径∴ ∵∴ 即∴ （3）解：连接， 由（1）知， 是直径， 故答案为 14．（24-25·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点． 证明 情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）： ，∴ ∴，即 情况二点P在⊙O外时（如图2）： 情况三当点A和点B重合时（如图3）    【答案】见解析 【分析】情况二：如图2，连接、，可得由同弧或等弧所对的圆周角相等，可证，进而结论得证；情况三：如图3，连接，连接并延长交于，连接．由切线的性质可得，即，由直径所对的圆周角为直角可得，证明，由，可得，则，证明，进而结论得证． 【详解】 证明 情况一点P在内时，连接（如图1）： ，， ∴， ∴，即． 情况二点P在外时（如图2）： 连接、， ， ，， ∴． 情况三当点A和点B重合时（如图3）： 连接，连接并延长交于，连接． 为的切线，， 即， 是的直径，， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ，即， ∴．    15．（24-25九年级上·河南新乡·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题：    (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)． 【详解】（1）证明：∵是的直径,∴，∴， ∵所在的直线是的切线，点恰好在所在的直线上， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴． （2）证明：∵，, ∴.∴，即． （3）解：由（2）可知， ∵， ∴，． 16．（2025·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P． 求证：． 证明：如图1，连接． ∵，．∴，（根据） ∴@，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似；；(2) 【详解】（1）连接．∵，． ∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为r，则，， 根据（1）中结论得，即为， 解得：或（不符合题意，舍去），的半径为． 17．（24-25·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角． (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，，，．求证：． 证明： (2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接，，．若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2)21 【详解】（1）解：求证：， 证明：如图2，延长交于，连接， 是的直径，，， 为的切线，，， ，，；即； （2）如图3，连接，，，， 为的切线，， ，，，，． 18．（24-25·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务： 弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）． 如图1，P是外一点，是的切线，是的一条割线，与的另一个交点为B，则． 证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接． ∵是的切线，∴，∴，即．…… 任务：(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分． (2)如图3，与相切于点A，连接并延长与交于点B、C，，，，连接．①与的位置关系是 　 　．②求的长． 【答案】(1)见解析(2)①平行；② 【详解】（1）证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接． ∵是的切线，∴，∴，即． ∵是直径，∴，即， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：①∵，，∴，∴，故答案为：平行； ②如图3，连接，∵与相切，为割线，∴， ∵，∴，∴，即，∴， 由（1）可知，，∴，∴， 在中，，由勾股定理可知，， ∴，即，∴， 由（1）中证明过程可知，又， ∴，∴，即 ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $