第三章 圆的切线性质与判定 典型题精编 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

圆的切线性质与判定典型题精编答案 一．选择题（共17小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D B D A C B A D C 题号 12 13 14 15 16 17 答案 A C A A B B 一．选择题（共17小题） 1．如图，点P为⊙O外一定点，连接OP，作以OP为直径的⊙A，与⊙O交于两点Q和R，根据切线的判断，直线PQ和PR是⊙O的两条切线．由△OQP≌△ORP得，PQ＝PR，∠OPQ＝∠OPR，即切线长定理．上述过程中，可以判定△OQP≌△ORP的定理是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 【解答】解：∵OP是⊙A的直径， ∴∠OQP＝∠ORP＝90°， ∴OQ⊥PQ，OR⊥PR， ∴直线PQ和PR是⊙O的两条切线， 在Rt△OQP和Rt△ORP中， ， ∴Rt△OQP≌Rt△ORP（HL）， ∴PQ＝PR，∠OPQ＝∠OPR， ∴判定△OQP≌△ORP的定理是HL， 故选：D． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4．以AB的中点D为圆心作⊙D，当⊙D与AC相切于点P时，⊙D与BC相交于点M、N，则tan∠MPN的值为（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：连接DP，DM，DN，MP，MN，过点D作BC的垂线，垂足为Q，如图所示， ∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°， ∴AC， ∴BC． ∵⊙D与AC相切于点P， ∴DP⊥AC． 又∵∠C＝90°， ∴DP∥BC． 又∵点D为AB中点， ∴DP， ∴DN＝DP． 同理可得，DQ． ∵DM＝DN，DQ⊥BC， ∴∠MDN＝2∠QDN． 又∵∠MDN＝2∠MPN， ∴∠QDN＝∠MPN． 在Rt△QDN中， QN， ∴tan∠QDN， ∴tan∠MPN＝tan∠QDN． 故选：B． 3．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．切线垂直于半径 C．长度相等的弧是等弧 D．若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切 【解答】解：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故A错误； 切线垂直于经过切点的半径，而非任意半径，故B错误； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，故C错误； 直线与圆有公共点时，位置关系为相交或相切，故D正确． 故选：D． 4．如图，∠MPN＝60°，点O是∠MPN的角平分线上的一点，半径为4的⊙O经过点P，将⊙O向左平移，当⊙O与射线PM相切时，⊙O平移的距离是（　　） A．2 B． C． D．2 【解答】解：设⊙O'为⊙O向左平移后与PM相切的圆，切点为B，连接O'B交PO于D，过O作OA⊥PM于A，OC⊥O'B于C，如图所示： 则OO'即为⊙O平移的距离，O'B＝OP＝4，O'B⊥PM， ∵∠MPN＝60°，PO是∠MPN的平分线， ∴∠MPO＝∠OPN∠MPN＝30°， ∵OA⊥PM， ∴OAOP＝2， ∵OA⊥PM，OC⊥O'B，O'B⊥PM， ∴四边形OABC是矩形， ∴BC＝OA＝2， ∴O'C＝O'B﹣BC＝2， 由平移的性质得：OO'∥PN， ∴∠DOO'＝∠OPN＝30°， ∵O'B⊥PM， ∴∠O'BP＝90°， ∴∠BDP＝90°﹣∠MPO＝60°， ∵∠BDP＝∠DOO'+∠DO'O， ∴∠DO'O＝∠BDP﹣∠DOO'＝30°， ∴OCO'C，OO'＝2OC， 即⊙O平移的距离为， 故选：B． 5．下列说法： ①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确； ②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确； ③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确； ④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确； ⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确． 故选：D． 6．下列说法，其中正确的说法有（　　）个． ①弧长相等的弧是等弧； ②过三点可以确定一个圆； ③同弧或等弧所对的圆心角相等； ④垂直于半径的直线是圆的切线； ⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧， ∴弧长相等的弧不一定是等弧， 故①不符合题意； ∵不在同一直线上的三点确定一个圆， ∴“过三点可以确定一个圆”这一说法是错误的， 故②不符合题意； 根据圆心角、弧、弦的关系定理，同弧或等弧所对的圆心角相等， 故③符合题意； ∵经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线， ∴垂直于半径的直线不一定是圆的切线， 故④不符合题意； ∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， ∴“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这一说法是错误的， 故⑤不符合题意， 故选：A． 7．如图，在5×5的正方形方格图形中，点A，B，C，D，E都在格点上，以AB为直径作⊙O，分别连接BC，BD，DE，BE．有以下结论：①D，E两点都在⊙O上；②；③BC与⊙O相切；④BD平分∠CBE．结论正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．③④ 【解答】解：连接AE，AD，则∠ADB＝90°， ∴点D在以AB为直径的⊙O上， ∵AE2＝12+32＝10，BE2＝12+32＝10，AB2＝42+22＝20， ∴AE2+BE2＝AB2， ∴∠AEB＝90°， ∴点E在以AB为直径的⊙O上，故①正确； ∵∠BED＝∠BAD， ∴tan∠BED＝tan∠BAD，故②正确； ∵BC2＝12+22＝5，AB2＝42+22＝20，AC2＝52， ∴BC2+AB2＝AC2＝25， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∵AB为⊙O的直径，BC与⊙O相切，故③正确； ∵∠CBD＝∠BAC＝90°﹣∠ABD，∠BAC＝∠BED， ∴∠CBD＝∠BAC， ∴∠CBD＝∠BED， ∵BD≠ED， ∴∠DBE≠∠BED， ∴∠DBE≠∠CBD，故④错误， 故选：C． 8．摇摇马也叫木马，是形状像马的儿童玩具，如图1是某品牌设计生产的摇摇马水平放置的示意图，其长槽符合圆的一部分．点O是长槽所在圆的圆心．⊙O的半径为50cm，已知摇摇马静止时点A，B所在的直线与地面MN平行，且A，B两点之间的距离为60cm．将图1中的摇摇马玩具沿地面MN向右作无滑动滚动，如图2所示，当⊙O与MN相切于点B时，点A的竖直高度为（长槽的厚度忽略不计）（　　） A．32cm B．36cm C．40cm D．44cm 【解答】解：点O是长槽所在圆的圆心．⊙O的半径为50cm，A，B两点之间的距离为60cm．如图2，过点O作OD⊥AB于点D，过点A作AE⊥MN于点E， ∴OA＝OB＝50cm，AB＝60cm， ∴， ∵当⊙O与MN相切于点B时， ∴OB⊥MN， ∵AE⊥MN， ∴AE∥OB， ∴∠BAE＝∠OBD， ∴， ∴，即， 解得：AE＝36， ∴当⊙O与MN相切于点B时，点A的竖直高度为36cm． 故选：B． 9．如图，⊙O与水平面相切于点A，过点A作⊙O的内接矩形ABCD，已知⊙O的半径为2，且，在保证不滑动的情况下，使⊙O在水平面上沿直线向右滚动，当滚动的路程为2025π时，⊙O与地面相切的切点所在的弧为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵⊙O与水平面相切于点A，过点A作⊙O的内接矩形ABCD， ∴∠D＝∠B＝90°，BC＝AD， ∴∠D所对的弧是半圆， ∵已知⊙O的半径为2，且， ∴圆的周长为2π×r＝4π， 2025÷4＝506……1， ∴⊙O滚动506圈回到点A后又滚动了π的路程， ∵，，， 则， ∵， ∴⊙O与地面相切的切点所在的弧为在上， 故选：A． 10．如图，点P为⊙O外一定点，连接OP，作以OP为直径的⊙A，与⊙O交于两点Q和R，根据切线的判断，直线PQ和PR是⊙O的两条切线．由△OQP≌△ORP得，PQ＝PR，∠OPQ＝∠OPR，即切线长定理．上述过程中，可以判定△OQP≌△ORP的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【解答】解：∵OP为⊙A的直径， ∴∠OQP＝∠ORP＝90°， 在△OQP和△ORP中， ， ∴△OQP≌△ORP（斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等）． 故选：D． 11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，OC，PA，且∠PCA＝∠PAB，点D是AC中点，OD的延长线交AP于点Q，则下列结论：①∠B＝∠AOD；②OQ垂直平分AC；③直线PA和CQ都是⊙O的切线；④CQ∥AO．其中正确的结论是（　　） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【解答】解：∵点D是AC中点， ∴AD＝CD， ∵OA＝OC， ∴OQ⊥AC， ∴OQ垂直平分AC， 故②正确； ∴∠AOD＝∠COD∠AOC， ∵∠B∠AOC， ∴∠B＝∠AOD， 故①正确； ∵∠PCA＝∠PAB， ∴∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝∠B， ∵∠B＝∠AOD， ∴∠PAC＝∠AOD， ∵∠ADO＝90°， ∴∠PAO＝∠PAC+∠OAC＝∠AOD+∠OAC＝90°， ∵OC＝OA，QC＝QA， ∴∠OCA＝∠OAC，∠QCA＝∠QAC， ∴∠QCO＝∠OCA+∠QCA＝∠OAC+∠QAC＝∠QAO＝90°， ∵OA、OC都是⊙O的半径，PA⊥OA，CQ⊥OC， ∴直线PA和CQ都是⊙O的切线， 故③正确； 假设CQ∥AO正确，则∠AQC＝180°﹣∠QAO＝90°， ∴∠AQC＝∠QAO＝∠QCO＝90°， ∴∠AOC＝360﹣∠AQC﹣∠QAO﹣∠QCO＝90°， ∴∠B∠AOC＝45°，显然与已知条件不符， ∴CQ∥AO不正确， 故④错误， 故选：C． 12．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，AC＝2，则以下结论正确的是（　　） ①OD∥BC；②AD为⊙O的切线；③∠DEF＝45°；④． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：①连接OC，如图1所示： ∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上， ∴OA＝OC＝OB，∠ACB＝90°， 在△OAD和△OCD中， ， ∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠ADO＝∠CDO， 又∵AD＝CD， ∴OD⊥AC， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∴OD∥BC， 故结论①正确； ②在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2， 由勾股定理得：AB， ∴AB＝AD＝CD， ∵OA＝OB＝1AB，OD∥BC， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OEBC， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE1， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE2， ∴OD＝OE+DE， 在△OAD中，OA2+AD2，OD2， ∴OA2+AD2＝OD2， ∴△OAD是直角三角形，即∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， 又∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线， 故结论②正确； ∵OA⊥AD，AB＝AD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， 又∵AF⊥BD， ∴∠BAF＝∠DAF∠BAD＝45°， ∵OD⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴AD是△ADE外接圆的直径， ∵AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点F， ∴∠AFB＝∠AFD＝90°， 即AF⊥BD， ∴点F在△ADE的外接圆上， ∴∠DEF＝∠DAF＝45°， 故结论③正确； ④在Rt△ABD中，AB＝AD，AF⊥BD， 由勾股定理得：BD√， ∵∠DEF＝∠ABD＝45°，∠EDF＝∠BDO， ∴△DEF∽△DBO， ∴， ∴BD•EF＝DE•OB， ∴， ∴EF， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④． 故选：A． 13．如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD， 由折叠得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半径为5， ∴CF＝DF＝CD， ∴OF， ∴OO′＝2， ∵弧CE'D与AB相切于点E'， ∴O′E′⊥AB， ∴OO′2＝OE′2+O′E′2， ∵OE＝OB﹣BE′＝1﹣x， ∴（2）2＝（5﹣x）2+52， ∴（x﹣5）2+y2＝75， 当x＝5时，y的值最大，最大值为5， 当x＝10时，y的值最小，最小值为5， ∴5CD≤5． 故选：C． 14．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点M，此时MC+MD的值最小． 设AB与⊙O相切于F， 连接OF， 则∠OFB＝90°， ∵OC＝1， ∴OF＝OC＝1， ∴BF2； ∵CD⊥OB，OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线， ∴DF＝CD， ∵∠DCB＝90°， ∴CD2+CB2＝BD2， ∴CD2+22＝（2CD）2， 解得：CD， ∴DE， ∴△MCD周长最小值为2， 故选：A． 15．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 【解答】解：设平移的距离为m， ∵半径为2的⊙P的圆心P在x轴上，且与y轴相切， ∴圆心的坐标为（﹣2，0）或（2，0）， ∴﹣3+m＝﹣2 或﹣3+m＝2， 解得m＝1或m＝5， ∴平移的距离为1或5， 故选：A． 16．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心作半圆，使BC与半圆相切，点P，Q分别是边AC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP⊥AC垂足为P交⊙O于Q， 此时垂线段OP最短，PQ最小值为OQ﹣OP， ∵AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴∠C＝90°， ∵∠OPA＝90°， ∴OP∥BC， ∵AO＝OB， ∴PC＝PA， ∴OPBC＝3，OEAC＝4， ∴PQ最小值为OQ﹣OP＝4﹣3＝1， 当P、Q重合时，PQ最小值为0， 如图，当Q运动到AB边上时，P与A重合时，PQ经过圆心，经过圆心的弦最长， PQ最大值＝5+4＝9， ∴PQ长的最大值与最小值的和是9． 故选：B． 17．如图，在矩形ABCD中，AD＝80cm，AB＝40cm，半径为8cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切，此时⊙O移动了（　　）cm． A．56 B．72 C．56或72 D．不存在 【解答】解：存在这种情况， 设点P移动速度为v1cm/s，⊙O2移动的速度为v2cm/s， 由题意，得， 如图②： 设直线OO1与AB交于E点，与CD交于F点，⊙O1与AD相切于G点，连接O1G， 若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G＝O1H．连接O1H， 易得△DO1G≌△DO1H， ∴∠ADB＝∠BDP． ∵BC∥AD， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠BDP＝∠CBD， ∴BP＝DP． 设BP＝xcm，则DP＝xcm，PC＝（80﹣x）cm， 在Rt△PCD中，由勾股定理，得 PC2+CD2＝PD2，即（80﹣x）2+402＝x2， 解得x＝50， 此时点P移动的距离为40+50＝90（cm）， ∵EF∥AD， ∴△BEO1∽△BAD， ∴，即， EO1＝64cm，OO1＝56cm． ①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为40cm， 此时点P与⊙O移动的速度比为， ∵， ∴此时PD与⊙O1不能相切； ②当⊙O在返回途中到达⊙O1位置时，⊙O移动的距离为2（80﹣16）﹣56＝72（cm）， ∴此时点P与⊙O移动的速度比为， 此时PD与⊙O1恰好相切．此时⊙O移动了72cm， 故选：B． 二．填空题（共33小题） 18．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过 　4或8　 秒后⊙P与直线CD相切． 【解答】解：当点P在射线OA上⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E， ∴PE＝1cm， ∵∠AOC＝30°， ∴OP＝2PE＝2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间（秒）； 当点P在射线OB上⊙P与CD相切，如图2，过P作PF⊥CD与F， ∴PF＝1cm， ∵∠AOC＝∠DOB＝30°， ∴OP＝2PF＝2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间（秒）． 故答案为：4或8． 19．如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在　2或3　 秒时相切． 【解答】解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切， ∵开始时O点到AB的距离为5， ∴当圆向右移动5﹣1或5+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切， ∴t＝（5﹣1）÷2＝2（s）或t＝（5+1）÷2＝3（s）， 即⊙O与直线AB在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则D′F的长为 　2　 ． 【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H， 则∠OEB′＝∠OHB′＝90°， ∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′， ∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝10，BC＝B′C＝8， ∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝5， ∴B′H＝OE＝5， ∴CH＝B′C﹣B′H＝3， ∴CG＝B′E＝OH4， ∵四边形EB′CG是矩形， ∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′， ∴CF＝2CG＝8， ∴D′F＝CD′﹣CF＝10﹣8＝2． 故答案为：2． 21．如图，边长为4的正方形ABCD中，顶点A落在矩形DEFG的边EF上，EF＝5，而矩形的顶点G恰好落在BC边上．点O是AB边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为 　或2　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝4，∠C＝∠ADC＝90°． ∵四边形DEFG为矩形， ∴DG＝EF＝5，∠E＝∠EDG＝90°． ∴CG3． ∵∠CDG+∠ADG＝90°，∠EDA+∠ADG＝90°， ∴∠CDG＝∠EDA． ∵∠C＝∠E＝90°， ∴△CDG∽△EAD． ∴， ∴， ∴DE，AE． ∴AF＝EF﹣AE． ①当⊙O与矩形DEFG的FG边相切时，设AB与FG交于点H， 过点O作OM⊥FG于点M，如图， ∵∠DAB＝90°， ∴∠EAD+∠FAB＝90°． ∵∠F＝90°， ∴∠FAB+∠FHA＝90°， ∴∠EAD＝∠FHA． ∵∠E＝∠F＝90°， ∴△EAD∽△FHA． ∴． ∴， ∴AH，FH． 设OA＝x， ∵⊙O与矩形DEFG的FG边相切， ∴OM＝OA＝x． ∵OM⊥FG，AF⊥FG， ∴OM∥AF， ∴． ∴， 解得：x． ∴OA ②当⊙O与矩形DEFG的DG边相切时，如图， 过点O作OM⊥DG于点M，延长MO，交EF于点N，则ON⊥EF，MN＝DE． 设OA＝x， ∵⊙O与矩形DEFG的DG边相切， ∴OM＝OA＝x． ∴ON＝MN﹣OMx， ∵ON∥FH， ∴， ∴． 解得：x＝2． ∴OA＝2； ③过点O作OM⊥DE于点M，如图， 可知OM＞OA，⊙O与矩形DEFG的边DE相离． 综上，以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为或2． 故答案为：或2． 22．如图，已知扇形AOB的半径为18，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是弧AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝10，则O到折痕EF的距离为 　　 ． 【解答】解：如图，过点G作OG的垂线，交A′E的延长线于O′，连接OO′交EH于H，连接AO′，则点A′、G、F在以点O′为圆心，O′G为半径的圆上， ， ∵将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G， ∴， ∴⊙O与⊙O'是等圆， ∴O′G＝OA， ∵AO⊥OB，O′G⊥OB， ∴AO∥O′G， ∴四边形AO′GO为矩形， ∴AO′⊥AO， 在直角三角形AO′E中，由勾股定理得：， ∵A′E＝AE，O′A′＝O′G＝OA， ∴EO′＝EO， ∵OE＝10，扇形AOB的半径为18， ∴AE＝8，EO′＝10， ∴AO′＝6， 在直角三角形AOO′中，由勾股定理得：， 连接AA′，由折叠的性质可得AA′⊥EF， ∵∠AEA′＝∠OEO′，∠AA′E＝∠A′AE，∠EOO′＝∠EO′O，∠AEA′+∠AA′E+∠A′AE＝∠OEO′+∠EOO′+∠EO′O＝180°， ∴∠AA′E＝∠EO′O， ∴AA′∥OO′， ∴OO′⊥EF， ∴OH＝O′H， ∴， ∴O到折痕EF的距离为， 故答案为：． 23．如图，在矩形ABCD中，点F是CD上一点，以点D为圆心，AD长为半径画弧，与BC交于点E，再以点C为圆心，CF长为半径画弧，使得弧FG与DE恰好相切于点H，与BC交于点G．若AD＝2CD＝4，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝2CD＝4，如图，连接CH， ∴DE＝AD＝4，CD＝2，∠DCE＝90°，AD∥BC， ∴， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：， ∴∠DEC＝30°， ∵弧FG与DE恰好相切于点H， ∴CH⊥DE， ∴， ∵AD∥BC，∠DEC＝30°， ∴∠ADE＝∠DEC＝30°， ∴S阴影部分＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE﹣S扇形GCF ． 故答案为：． 24．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AB＝5，∠A＝30°，P是AB延长线上一动点，要使直线PC与⊙O相切，则BP的长等于 　2.5　 ． 【解答】解：连接OC，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，AB＝5，∠A＝30°， ∴OA＝OC＝OBAB＝2.5， ∴∠OCA＝∠A＝30°， ∴∠COP＝∠OCA+∠A＝60°， ∵PC与⊙O相切， ∴∠OCP＝90°， 在Rt△OCP中，∠OPC＝90°﹣∠COP＝30°， ∴OP＝2OC＝5， ∴BP＝OP﹣OB＝2.5． 故答案为：2.5． 25．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，以点A为圆心，AD长为半径作圆，交AB于点E，过点B作⊙A的切线BF交CD于点G，切点为F，则图中阴影部分的面积为 　8﹣2π　 ． 【解答】解：连接AF， ∵BF切圆A于F， ∴AF⊥BG． ∵AF＝AD＝2，AB＝4， ∴sin∠ABF， ∴∠ABF＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB， ∴∠BGC＝∠ABF＝30°， ∴CGBC＝2， ∴S阴影＝矩形的面积﹣△BCG的面积﹣扇形ADE的面积＝2×42×2π×22＝8﹣2π． 故答案为：8﹣2π． 26．如图，AB是⊙O的直径，AD是一条弦，延长AD至点C，使DC＝AD，连结BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．给出下面五个结论：①AB≠BC；②DE是⊙O的切线；③∠ADE＞90°+∠A；④当DE∥AB时，若AB＝4，则阴影部分图形的面积为π﹣2；⑤当CE：EB＝2：1时，△DEC与△ABC的面积比为2：5．上述结论中，正确结论的序号有 　②④　 ． 【解答】解：①连接OD，如图1所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴OA＝OB＝ODAB， ∵DC＝AD， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC，ODBC， ∴ABBC， ∴AB＝BC， 故结论①不正确； ②∵OD∥BC，DE⊥BC， ∴DE⊥OD， 又∵OE是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线， 故结论②正确； ③∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∵DE⊥OD， ∴∠ODE＝90°， ∴∠ADE＝∠ODE+∠ODA＝90°+∠A， 故结论③不正确； ④当DE∥AB时， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥AB，连接OD，如图2所示： ∵OD⊥DE， ∴∠ODE＝∠DEB＝∠B＝90°， ∴四边形ODEB是矩形， ∴∠EOB＝∠DOA＝90°， ∴AB＝4， ∴OA＝ODAB＝2， ∴S△OADOA•OD2×2＝2， 又∵S扇形OADπ， ∴阴影部分图形的面积为：S扇形OAD﹣S△OAD＝π﹣2， 故结论④正确； ⑤连接BD，如图3所示： 由三角形面积公式得：S△CDECE•DE，S△BDEBE•DE， ∴S△DEC：S△DEB＝CE：EB＝2：1， ∴设S△DEB＝a，S△DEC＝2a， ∴S△CBD＝S△DEB+S△DEC＝3a， ∵DC＝AD， ∴S△ABD＝S△CBD＝3a， ∴S△ABC＝S△ABD+S△CBD＝6a， ∴S△DEC：S△ABC＝2a：6a＝1：3， 故结论⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号有②④． 故答案为：②④． 27．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 　4　 s后⊙P与直线CD相切． 【解答】解当⊙P移动到⊙P1位置时，⊙P1与直线CD相切于点E， 则P1E⊥CD， ∵∠AOD＝30°， ∴OP1＝2P1E＝2×1＝2（cm）， ∴AP1＝6﹣2＝4（cm）， 此时t＝4， 当⊙P移动到⊙P2位置时，同理可得，P2＝6+2＝8（cm）， 此时t＝8， ∵圆心在射线OA上， ∴t≤6， 综上所述，4秒钟后⊙P与直线CD相切， 故答案为：4． 28．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＞BC，∠ACB＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△ADE（点B，C的对应点分别为D，E）．当AD与⊙O相切时，恰好DE所在的直线也与⊙O相切，若⊙O的半径为3，则BC的长为 　4　 ． 【解答】解：当AD与⊙O相切时，设DE所在的直线与⊙O相切于点F，连接OA、OB、OF， ∵⊙O的半径为3，∠ACB＝45°， ∴OA＝OB＝OF＝3，∠AOB＝2∠ACB＝90°， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△ADE， ∴∠E＝∠ACB＝45°，FD＝AD＝AB3， ∵AD⊥OA，FD⊥OF， ∴∠OAD＝∠OFD＝90°， ∴OD3， 连接AF交OD于点L，作AH⊥EF于点H，则∠AHE＝∠AHF＝90°， ∵AD＝FD，∠ODA＝∠ODF， ∴OD⊥AF，AL＝FL， ∴S四边形AOFDOD•AF，∠DLF＝90°， ∵S四边形AOFD＝S△AOD+S△FOD33×2＝9， ∴3AF＝9， ∴AF＝2， ∴AL＝FLAF， ∴DL2， ∵S△ADF3AH22， ∴AH＝4， ∵∠AHE＝90°，∠E＝45°， ∴∠HAE＝∠E＝45°， ∴EH＝AH＝4， ∵DH， ∴DE＝BC＝EH﹣DH＝4， ∴BC的长为4， 故答案为：4． 29．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知△ACB的三个顶点均在格点上，点M为AC上一点，以点C为圆心，CM的长为半径作圆与边AB相切于点N，已知为该圆的一部分，则图中由线段AN、AM及所围成的阴影部分的周长为　　 ． 【解答】解：连接ON， ∵网格中每个小正方形的边长为1，且AC、BC、AB都是直角三角形的斜边， ∴AC2＝BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20， ∴AB＝AC，AB2，AC2+BC2＝AB2＝20， ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°， ∵以点C为圆心，CM的长为半径作圆与边AB相切于点N， ∴AB⊥CN， ∴CM＝CN＝AN＝BNAB，∠ACN＝∠BCN∠ACB＝45°， ∴AM，， ∴AM+AN， 故答案为：． 30．如图，量角器的0刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺的一边与量角器相切于点C，直尺的另一边交量角器于点A，D，点A在量角器上的读数是0°，在直尺上的读数是1cm，点D在量角器上的读数为60°，在直尺上的读数为7cm，则该直尺的宽度为 　　 cm． 【解答】解：如图，连接OD，OC，且OC交AD于点E， 由题知AD＝7﹣1＝6cm，∠BOD＝60°， ∴∠AOD＝120°， 由条件可知OC⊥CM， ∵AD∥CM， ∴OC⊥AD交AD于点E， ∴DE＝AE＝3cm，∠DOE＝∠AOE＝60°， ∴∠ODE＝30°， ∴， 设OE＝xcm，则OD＝2xcm， ∴x2+32＝（2x）2， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 31．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为3，点P的坐标为（﹣5，0），若将⊙P沿x轴向右平移，使得⊙P与y轴相切，则⊙P向右平移的距离为 　2或8　 ． 【解答】解：∵点P的坐标为（﹣5，0）， ∴OP＝5， ①当圆在y轴左侧相切时， ∵⊙P的半径为3， ∴OP1＝3， ∴PP1＝OP﹣OP1＝5﹣3＝2； ②当圆在y轴右侧相切时， ∵⊙P的半径为3， ∴OP2＝3， ∴PP2＝OP+OP2＝5+3＝8； 综上所述：⊙P向右平移的距离为2或8， 故答案为：2或8． 32．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10．动点E在AB边上，以点E为圆心，以BE为半径作弧，点G是弧上一动点． （1）如图1，若点E与点A重合，且点F在BC上，当DF与弧相切于点G时，则BF的值是 　2　 ； （2）如图2，若AE＝1连结CG，DG，分别取DG、CG的中点P、Q，连接PQ，M为PQ的中点，则CM的最小值为 　2.5　 ． 【解答】（1）连接AG，则AG⊥DF，AG＝6， ∴DG， ∵∠ABC＝90°， ∴FB与弧相切于点B， ∴FB＝FG， 设FB＝FG＝x，则CF＝BC﹣FB＝10﹣x， Rt△CDF中，DF2＝CF2+CD2， 即（8+x）2＝（10﹣x）2+62， 解得x＝2，即BF＝2， 故答案为：2； （2）如图，连接DE、GE，取DE的中点H，连接PH，则PH∥BE， ∴PHEG（AB﹣AE）＝2.5， 连接CE，取CE的中点I，连接IQ，同理IQ∥BE， ∴IQBE＝2.5， ∴PH∥IQ，PH＝IQ， ∴四边形PHIQ是平行四边形， ∴HI＝PQ，HI∥PQ∥CD， ∵P、Q是DG、CG的中点， ∴PQCD＝3， ∴HI＝PQ＝3， 取HI的中点J，由HJHIPQ＝PM＝1.5， ∴四边形HJMP是平行四边形， ∴JM＝PH＝2.5，即点M在以J为圆心，2.5为半径的圆弧上， ∴当C，M，J三点共线时，CM最短，即最小值CM＝CJ﹣JM＝CJ﹣2.5， 延长JH，JI，交AD，BC于点K，L，则KL∥AB， ∴点K，点L分别是AD，BC的中点， ∴CLBC﹣5，HKAE＝05，KL＝CD＝6， ∴KJ＝HK+HJ＝0.5+1.5＝2，JL＝KL﹣KJ＝6﹣2＝4， Rt△CJL中， CJ， ∴最小值CM＝CJ﹣JM2.5， 故答案为：2.5． 33．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与四边形ABCD的一边相切时，其半径为 　或2或106　 ． 【解答】解：如图1，点O在CD边上， ∵∠BCD＝90°， ∴BC⊥OC， ∴⊙O与BC相切于点C， ∵AD＝CD＝2， ∴OC＝ODCD2， ∴⊙O的半径为． 如图2，⊙O与AD相切，连接OD，连接CO并延长CO交BD于点F， ∵点O到AD的距离等于⊙O的半径，且OD是⊙O的半径， ∴OD就是点O到AD的距离， ∴AD⊥OD， ∴∠ODA＝90°， ∵AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴tan∠ADB， ∴∠ADB＝∠CDB＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADC＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°， ∴∠ODF＝30°，∠FOD＝∠OCD+∠ODC＝60°， ∴∠OFD＝90°， ∴OFODOC，DF＝OD•sin60°ODOC， ∵DF2+CF2＝CD2，且CD＝2， ∴（OC）2+（OC+OC）2＝（2）2， ∴OC＝2或OC＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴⊙O的半径为2． 如图3，⊙O与AB相切于点G，连接OG、OD，OC，作OL⊥AD于点L，设⊙O的半径为r， ∵∠OGA＝∠OLA＝∠A＝90°， ∴四边形OGAL是矩形， ∴AL＝OG＝OD＝OC＝r， ∴DL＝2r， 作OH⊥CD于点H，交AB于点K，作KM⊥BC于点M，则DH＝CHCD， ∵∠KMC＝∠MCH＝∠KHC＝90°， ∴四边形MKHC是矩形， ∴KM＝CH， ∵∠BMK＝90°，∠KBM＝60°， ∴sin∠KBM＝sin60°， ∴， ∴BK＝2， ∵KH∥BC， ∴∠OKG＝∠ABC＝60°， ∵∠OGK＝90°， ∴tan∠OKG＝tan60°， ∴KGOGr， ∴OL＝AG＝6﹣2r＝4r， ∵∠OLD＝90°， ∴OL2+DL2＝OD2， ∴（4r）2+（2r）2＝r2， 整理得r2﹣20r+84＝0， 解得r＝106或r＝106（不符合题意，舍去）， ∴⊙O的半径为106， 综上所述，⊙O的半径为或2或106， 故答案为：或2或106． 34．如图，量角器的零刻度线为AB，将一矩形直尺和量角器部分重叠，使直尺一边和量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝6cm，点D在量角器上的读数为120°，则该直尺的宽度为 　　 cm． 【解答】解：如图，连接OC，OD，OC与AD相交于点E． ∵直尺一边与量角器相切于点C， ∴OC⊥AD， ∵AD＝6cm，∠AOD＝120°， ∴∠DAO＝30°，AE＝DE＝3（cm）， ∴OE（cm），OA＝2（cm）， ∴CE＝OC﹣OE＝OA﹣OE（cm）， 故答案为：． 35．如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°，O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则∠CDG＝　67.5°　 ，CG＝　33　 ． 【解答】解：连接OD． ∵CD切⊙O于点D， ∴∠ODA＝90°，∠DOA＝45°， ∵OD＝OF， ∴∠ODF＝∠OFD∠DOA＝22.5°， ∴∠CDG＝∠CDO﹣∠ODF＝90°﹣22.5°＝67.5°． ∵∠C＝90°， ∴OD∥CB； ∵O是AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线，即OD＝BC＝3； ∵AC＝BC＝6，∠C＝90°， ∴AB＝6，则OB＝3， ∵OD∥CG， ∴∠ODF＝∠G； ∵OD＝OF，则∠ODF＝∠OFD， ∴∠BFG＝∠OFD＝∠G， ∴BF＝BG＝OB﹣OF＝33， ∴CG＝BC+BG＝6+33＝33， 故答案为：67.5°，33． 36．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＞BC，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转，使所得矩形A′BC′D′的边C′D′与⊙O相切，切点为E，边A′B与⊙O相交于点F．连接OE，则OE与BC′的位置关系为 　平行　 ，若BF＝8，则矩形ABCD的面积为 　80　 ． 【解答】解：如图，延长EO交BF于点M． ∵C′D′与⊙O相切， ∴∠OEC′＝90°． ∵四边形A′BC′D′为矩形，BC＝8， ∴A′B∥C′D′，∠C′＝90°， ∴EM⊥A′B，∠C′+∠OEC′＝180°， ∴，OE∥BC′． ∵将矩形ABCD绕点B逆时针旋转，使所得矩形A′BC′D′的边C′D′与⊙O相切， ∴∠C′＝∠C＝∠A′BC′＝90°，AB＝CD，BC＝BC′＝8， ∴四边形EMBC′为矩形， ∴ME＝BC′＝8． 设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x． 在直角三角形OBM中，由勾股定理得： ∵OM2+BM2＝OB2， ∴（8﹣x）2+42＝x2， 解得x＝5， ∴AB＝CD＝10， ∴矩形ABCD的面积为10×8＝80． 故答案为：平行；80． 37．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为2，点P的坐标为（﹣3，0），若将⊙P沿x轴向右平移，使得⊙P与y轴相切，则⊙P向右平移的距离为　1或5　 ． 【解答】解：∵点P的坐标为（﹣3，0）， ∴OP＝3， ①当圆在y轴左侧相切时， ∵⊙P的半径为2， ∴OP1＝2， ∴PP1＝OP﹣OP1＝3﹣2＝1； ②当圆在y轴右侧相切时， ∵⊙P的半径为2， ∴OP2＝2， ∴PP2＝OP+OP2＝3+2＝5； 综上所述：⊙P向右平移的距离为1或5， 故答案为：1或5． 38．如图，在平面直角坐标系中，A（5，0），动点B、C从原点O出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿y轴正方向运动，以A为圆心，以OB长为半径画圆；以BC为斜边，在y轴右侧作Rt△BCD，∠D＝90°，BD：CD＝4：3，当⊙A与△BCD一边所在直线相切，运动的时间为 　5或10　 秒． 【解答】解：设运动的时间为t秒， 则OB＝t，OC＝2t，⊙A的半径为t， ∴BC＝OC﹣OB＝t， ∵BD：CD＝4：3，∠D＝90°， ∴设BD＝4k，CD＝3k，且k＞0， ∵BD2+CD2＝BC2， ∴（4k）2+（3k）2＝t2， ∴t＝5k， ①当⊙A与△BCD的边BC所在直线相切时，如图1， ∵OB＝OA， ∴t＝5； ②当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，如图2，作AH⊥BD于H，延长DB交x轴于E， ∵⊙A与Rt△BCD的边BD所在直线相切， ∴AH＝OB＝t，∠AHE＝90°， ∵△BCD为直角三角形，且∠D＝90°， ∴∠D＝∠AHE＝∠BOE＝90°， ∵∠OBE+∠OEB＝90°，∠OEB+∠EAH＝90°，∠CBD＝∠OBE， ∴∠CBD＝∠OBE＝∠EAH， ∴△BEO∽△AEH∽△BCD， ∴， ∴OEt， ∴AEt+5， ∵△AEH∽△BCD， ∴，即， 消去k，得3t+20＝5t， 解得t＝10； ③当⊙A与△BCD的边CD所在直线相切时，如图3，作AH⊥CD于H，延长CD交x轴于E， 则△CEO∽△CBD， ∴， ∴OEt， ∴AEt﹣5， ∵△AEH∽△CBD， ∴， ∴3AE＝5AH，即3（t﹣5）＝5t， 解得：t＝5； 综上所述，运动的时间为5或10秒； 故答案为：5或10． 39．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC的中点，连接DE、OC，OC交DE于点F，AO＝10，DE＝4，的值是 　　 ． 【解答】解：如图所示：连接OE、BE， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵D为BC中点， ∴， ∴∠DEC＝∠ACB， ∵OA＝OE， ∴∠A＝∠AEO， ∴∠AEO+∠DEO＝90°， ∴∠OED＝90°， ∴DE与圆O相切， ∵DE， ∴BC＝8， ∵OA＝10， ∴AB＝2OA＝20， ∴， ∵∠ABC＝90°， ∴BC与圆O相切， ∴BC2＝CE•AC， ∴， ∵O是AB中点，D是BC中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，OD， ∴△ODF∽△CEF， ∴， 故答案为：． 40．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知△ACB的三个顶点均在格点上，点M为AC上一点，以点C为圆心，CM的长为半径作圆与边AB相切于点N，已知为该圆的一部分，则图中由线段AN、AM及所围成的阴影部分的面积为 　　 ． 【解答】解：由勾股定理得AC2＝BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20， ∴AC＝BC，AB＝2，AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°， 连接CN， ∵以点C为圆心，CM的长为半径作圆与边AB相切于点N， ∴AB⊥CN， ∴CN＝AN＝BNAB，∠MCN＝∠BCN∠ACB＝45°， ∴∠ANC＝90°， ∴S阴影＝S△CAN﹣S扇形CMN， 故答案为：． 41．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知AB＝12dm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB＝4dm．当点B按逆时针方向运动到B'时，A'B'与⊙O相切，则AA'的长为 　（16﹣4）　 dm． 【解答】解：如图3，连接OB′，则OB′＝OB＝4dm， ∵AB＝12dm， ∴OA＝OB+AB＝4+12＝16（dm）， ∵A'B'与⊙O相切于点B′， ∴A'B'⊥OB′， ∴∠A′B′O＝90°， ∵A'B'＝AB＝12dm， ∴OA′4（dm）， ∴AA′＝OA﹣OA′＝（16﹣4）dm， 故答案为：（16﹣4）． 42．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在边BC上，CD＝1，BD＝3．点P是线段AD上一动点，当半径为1的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　或或　 ． 【解答】解：①当⊙P与AC边相切时，如图， 过点P作PE⊥AC，则E为切点，PE＝1． ∵BC⊥AC， ∴PE∥CD． ∴． ∵AD， ∴， ∴AP； 此时，点P与点D重合． ②当⊙P与BC边相切时，如图， 过点P作PF⊥BC，则F为切点，PF＝1． ∵BC⊥AC， ∴PF∥CA． ∴． 由①得：AD， ∴PD＝AD﹣APAP． ∴， 解得：AP； ③当⊙P与AB边相切时，如图， 过点P作PG⊥BA于点G，则G为切点，PG＝1． 过点D作DH⊥AB于点H， ∵CD＝1，BD＝3， ∴BC＝4． ∴AB5． ∵∠BHD＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B， ∴△BDH∽△BAC． ∴． ∴． ∴DH． ∵DH⊥AB，PG⊥BA， ∴PG∥DH． ∴． ∴， ∴AP． 综上，当半径为1的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为或或． 故答案为：或或． 43．如图，点C在半圆⊙O上，延长直径AB至D点，使CD是⊙O的切线，若，CD＝6，则图中阴影部分的面积是 　　 ．（结果保留π） 【解答】解：如图，连接OC， ， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD＝90°， ∵， ∴∠COD＝60°， ， 故答案为：． 44．如图，AB＝6，以AB为直径作半圆，弦CD∥AB，将CD上方的图形沿CD向下折叠，使弧CD与直径AB恰好相切于点O，则图中阴影部分的面积为 　3π　 ． 【解答】解：取的中点E，连接OE，交DC于F，连接OC，OD， 则CF＝DF，OF⊥CD， ∴OC＝OD， ∴∠COF＝∠DOF， 由折叠的性质得EF＝OFOEOC， 在Rt△OCF中，cos∠COF， ∴∠COF＝∠DOF＝60°， ∴∠COD＝120°， ∵AB＝6， ∴OC＝3，OF， ∴OF＝OC•sin60°， ∴CD＝3， ∴阴影部分的面积＝扇形OCD的面积﹣△OCD的面积33π， 故答案为：3π． 45．如图，△ABC的周长为20，⊙O的半径为1，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形作无滑动滚动，当滚动一周又回到与AB相切于点D的位置，⊙O的圆心O点运动的长度 　＞　 （填写＞或＝或＜）三角形的周长，运动长度为 　20+2π　 ． 【解答】解：如图，四边形ABEL、四边形BCGF、四边形CAKH都是矩形， 根据题意可知，⊙O的圆心O的运动的总长度为线段LE、FG、HK及、、的长度的和， ∵LE＝AB，FG＝BC，HK＝CA， ∴⊙O的圆心O点运动的长度大于△ABC的周长， ∵∠ABC+∠BCA+∠CAB＝180°， ∴∠EBF+∠GCH+∠KAL＝360°×3﹣90°×6﹣180°＝360°， ∴、、的长度和等于一个半径长为1的圆的周长，即2π×1＝2π， ∵LE+FG+HK＝AB+BC+CA＝20， ∴l圆心O的运动路径＝20+2π， ∴圆心O点运动长度为20+2π， 故答案为：＞，20+2π． 46．如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为　2　 ． 【解答】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； ∵一次函数， 当x＝0时，y＝3， ∴A（0，3）， 当y＝0时，x＝3， ∴B（3，0）， ∴OA＝OB＝3， ∴AB6， ∴OPAB＝3， ∴PQ2． 故答案为：2． 47．如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 　40°或100°　 ． 【解答】解：如图： ①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°， Rt△OPB中，OB＝2OP， ∴∠A′BO＝30°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠ABA′＝40°； ②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时， 同①，可求得∠A′BO＝30°； 此时∠ABA′＝70°+30°＝100°， 故旋转角α的度数为40°或100°． 故答案为：40°或100°． 48．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点．以点P为圆心、以1为半径作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，BP的长为 　2或　 ． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∵BC＝2， ∴DC2， ∴BD＝2DC＝4， ①若⊙P与BC相切于点E，连接PE，则∠PEB＝90°， ∵PE＝1，∠PBE＝30°， ∴PB＝2， ∵BD平分∠ABC， 过点P作PF⊥AB， ∴PE＝PF， ∴此时⊙P与AB相切； ②若⊙P与AC相切于点E，连接PE，则PE⊥AC， ∴PE∥BC， ∴∠DPE＝30°， ∵PE＝1， ∴DE， ∴PD＝2DE， ∴PB＝BD﹣PD＝4， 综合以上可得，当⊙P与△ACB的边相切时，BP长为2或4． 故答案为：2或4． 49．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知Rt△ABC的三个顶点均在格点上，且∠BAC＝90°，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为半径作圆与边BC相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段CN，CM及所围成的阴影部分的面积为 　　 ． 【解答】解：如图，连接AN， 根据网格线，可得，，， ∴BC2＝AC2+AB2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°， ∵边BC与所在的圆相切于点N，AN⊥BC， ∴． 在Rt△ACN中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 50．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．其中正确的结论是 　①②③④　 （填序号）． 【解答】解：连接OC，OD， ∵OC＝OD，CM＝DM，OM＝OM， ∴△CMO≌△DMO（SSS）， ∴∠ODM＝∠OCM， ∵MC与⊙O相切于点C， ∴∠OCM＝90°， ∴∠ODM＝90°， ∵OD是⊙O的直径， ∴MD与⊙O相切；故①正确； ∵△CMO≌△DMO， ∴∠COM＝∠DOM， ∴∠AOC＝∠AOD， ∵OA＝OA， ∴△AOC≌△AOD（SAS）， ∴AC＝AD， ∴AC＝AD＝CM＝DM， ∴四边形ACMD是菱形，故②正确； ∵AC＝CM， ∴∠CAM＝∠CMA， ∵∠COM＝2∠CAM， ∴∠COM＝2∠CMO， ∴∠CMO＝30°， ∴OCOM， ∵OCAB， ∴AB＝OM，故③正确； ∵四边形ACMD是菱形， ∴∠DAM＝∠DMA＝∠AMC＝∠CAM＝30°， ∴∠ADM＝120°，故④正确； 故答案为：①②③④． 三．解答题（共10小题） 51．如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以点O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于点M． （1）求证：CD与⊙O相切； （2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图，四边形ABCD为正方形，⊙O与BC相切于点M，过O作ON⊥CD于N，连接OM， ∴OM⊥BC，∠B＝90°，AB∥CD， ∴AB∥OM∥DC， 又∵AC为正方形ABCD对角线， ∴∠NOC＝∠NCO＝∠MOC＝∠MCO＝45°， ∴∠ONC＝90°， ∵ON为圆的半径， ∴CD与⊙O相切； （2）解：由（1）易知△MOC为等腰直角三角形，OM为半径， ∴设OM＝MC＝r， 在直角三角形MOC中，由勾股定理得： ∴， 在Rt△ABC中，AB＝BC， 由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2， ∴AC2＝2AB2＝2， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 52．如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好经过点D． （1）求证：直线AC是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，OB＝2，求线段CD的长． 【解答】（1）证明：连接OD． ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠DBA， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠DBA， ∴∠ODB＝∠DBC， ∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠ODA＝∠C＝90°， ∴直线AC是⊙O的切线； （2）解：∵OB＝2， ∴OD＝OB＝2， ∵∠A＝30°， ∴AO＝2DO＝4， ∴AB＝4+2＝6， ∴BC＝3， ∵∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DBC＝∠DBA＝30°， 设DC＝x，则DB＝2x， ∵DC2+BC2＝BD2， ∴x2+9＝4x2， 解之得，或（舍去）， ∴． 53．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长． 【解答】（1）如图，连接OC，OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC， ∵∠OED＝∠FEC， ∴∠OED＝∠FCE， ∵AB是直径，D是的中点， ∴∠DOE＝90°， ∴∠OED+∠ODC＝90°， ∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°， ∵OC是半径， ∴CF是⊙O的切线． （2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2， 在Rt△COF中，OC2+CF2＝OF2 ∴42+r2＝（r+2）2， 解得r＝3， ∴OB＝OD＝3， ∵∠DOB＝90°， ∴BD2＝OD2+OB2， ∴． 54．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BM＝3，，求OM的长． 【解答】（1）证明：连接OE． ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠EOC＝2∠ABC＝90°， 又∵EF∥CD， ∴∠FEO＝90°， 即 EF⊥OE， ∴EF与⊙O相切； （2）解：连接DB． ∵CD为直径， ∴∠CBD＝90° ∴∠DBM＝45°＝∠A． 又∠DMB＝∠CMA， ∴△DBM∽△CAM， ， ∴AM＝3BM＝9，AB＝12，， ∴ ∴， ∴． 55．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为8，求AE的长． 【解答】（1）证明：连接OA，如图所示， ∵∠AEC＝30°， ∴∠B＝∠AEC＝30°， ∵AB＝AD， ∴∠D＝∠B＝30°． ∴∠AOC＝2∠AEC＝60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴AD⊥OA． ∵OA是⊙O的半径， ∴直线AD是⊙O的切线； （2）解：由垂径定理可得AM＝EM， ∵∠AEC＝30°， ∴∠AOM＝2∠AEC＝60°， ∴∠OAM＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 56．如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝2，DB＝1，求AE的长． 【解答】（1）证明：如图1，以点O为圆心，AB长为直径作圆，连接OC， ∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠OCA＝90°， 又∵∠DCB＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠DCB， ∴∠DCB+∠BCO＝90°，则∠DCO＝90°， ∴OC⊥DE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接OE，OC， ∴∠DCO＝90°，OC＝OB＝OA， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：OC2+CD2＝OD2， ∴OB2+22＝（OB+1）2， 解得：， ∴AB＝3， ∵AE⊥AD， ∴∠OAE＝∠OCE，OC＝OC，OE＝OE， 在Rt△ECO和Rt△EAO中， ， ∴Rt△ECO≌Rt△EAO（HL）， ∴AE＝CE， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2， ∴42+AE2＝（AE+2）2， 解得：AE＝3． 57．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，F为BC上一点，BF＝DF． （1）求证：DF与⊙O相切； （2）若AB＝5，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵BF＝DF， ∴∠B＝∠BDF， ∵∠C＝90°， ∴∠OAD+∠B＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA． ∴∠ODA+∠BDF＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴DF与⊙O的相切； （2）解：连接OF，OD，如图， 设圆的半径为r，则OD＝OE＝r， ∵AC＝4，BC＝3，CF＝1， ∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2， ∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2， ∴r2+22＝（4﹣r）2+12， ∴r， 故圆的半径长为． 58．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若⊙O半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠ABC， ∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， 又∵OD是半径， ∴DE为⊙O的切线； （2）解：∵⊙O半径为5， ∴AB＝10，OB＝5， ∵∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠ABC＝60°，BC＝AB＝10， ∵OB＝OD， ∴△BOD是等边三角形， ∴BD＝OB＝5， ∴CD＝BC﹣BD＝5， ∵∠C＝60°，CD＝5， ∴∠CDE＝30°， ∴， ∴． 59．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D． （1）请说明AE是⊙O的切线； （2）若OA＝BC＝2时，求阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵∠B＝∠D，∠EAC＝∠D， ∴∠EAC+∠CAB＝90°， ∴∠BAE＝90°， ∵OA是半径， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：如图，AB是⊙O的直径，OA＝BC＝2，连接OC， ∴∠BCA＝90°，AB＝4，AO＝BO＝CO＝2， ∴， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴∠BAC＝30°， ∴∠B＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∵阴影部分的面积为：，OC＝2， ∴阴影部分的面积为：． 60．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D是AC上一点，以AD为直径的⊙O交BC、AB于点E、F，连接OF、EF、DE，且DE＝EF． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AB＝6，CD＝4，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图，DE＝EF，连接OE， ∴， ∴， ∵， ∴∠DOE＝∠A， ∴OE∥AB， ∴∠CEO＝∠B＝90°， ∴OE⊥BC， ∵OE是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵OE∥AB，AB＝6，CD＝4， ∴△COE∽△CAB， ∴， ∵OD＝OE＝OA， ∴， ∴， 解得：OD＝4或﹣3（经检验，都是分式方程的解，负值舍去）． ∴⊙O的半径为4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/5 8:10:26；用户：张殿明；邮箱：zdmzj@sohu.com；学号：11074411 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的切线性质与判定典型题精编 一．选择题（共17小题） 1．如图，点P为⊙O外一定点，连接OP，作以OP为直径的⊙A，与⊙O交于两点Q和R，根据切线的判断，直线PQ和PR是⊙O的两条切线．由△OQP≌△ORP得，PQ＝PR，∠OPQ＝∠OPR，即切线长定理．上述过程中，可以判定△OQP≌△ORP的定理是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4．以AB的中点D为圆心作⊙D，当⊙D与AC相切于点P时，⊙D与BC相交于点M、N，则tan∠MPN的值为（　　） A． B． C．1 D． 3．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．切线垂直于半径 C．长度相等的弧是等弧 D．若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切 4．如图，∠MPN＝60°，点O是∠MPN的角平分线上的一点，半径为4的⊙O经过点P，将⊙O向左平移，当⊙O与射线PM相切时，⊙O平移的距离是（　　） A．2 B． C． D．2 5．下列说法： ①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列说法，其中正确的说法有（　　）个． ①弧长相等的弧是等弧； ②过三点可以确定一个圆； ③同弧或等弧所对的圆心角相等； ④垂直于半径的直线是圆的切线； ⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在5×5的正方形方格图形中，点A，B，C，D，E都在格点上，以AB为直径作⊙O，分别连接BC，BD，DE，BE．有以下结论：①D，E两点都在⊙O上；②；③BC与⊙O相切；④BD平分∠CBE．结论正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．③④ 8．摇摇马也叫木马，是形状像马的儿童玩具，如图1是某品牌设计生产的摇摇马水平放置的示意图，其长槽符合圆的一部分．点O是长槽所在圆的圆心．⊙O的半径为50cm，已知摇摇马静止时点A，B所在的直线与地面MN平行，且A，B两点之间的距离为60cm．将图1中的摇摇马玩具沿地面MN向右作无滑动滚动，如图2所示，当⊙O与MN相切于点B时，点A的竖直高度为（长槽的厚度忽略不计）（　　） A．32cm B．36cm C．40cm D．44cm 9．如图，⊙O与水平面相切于点A，过点A作⊙O的内接矩形ABCD，已知⊙O的半径为2，且，在保证不滑动的情况下，使⊙O在水平面上沿直线向右滚动，当滚动的路程为2025π时，⊙O与地面相切的切点所在的弧为（　　） A． B． C． D． 10．如图，点P为⊙O外一定点，连接OP，作以OP为直径的⊙A，与⊙O交于两点Q和R，根据切线的判断，直线PQ和PR是⊙O的两条切线．由△OQP≌△ORP得，PQ＝PR，∠OPQ＝∠OPR，即切线长定理．上述过程中，可以判定△OQP≌△ORP的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，OC，PA，且∠PCA＝∠PAB，点D是AC中点，OD的延长线交AP于点Q，则下列结论：①∠B＝∠AOD；②OQ垂直平分AC；③直线PA和CQ都是⊙O的切线；④CQ∥AO．其中正确的结论是（　　） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 12．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，AC＝2，则以下结论正确的是（　　） ①OD∥BC；②AD为⊙O的切线；③∠DEF＝45°；④． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 13．如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 14．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（　　） A．2 B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 16．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心作半圆，使BC与半圆相切，点P，Q分别是边AC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 17．如图，在矩形ABCD中，AD＝80cm，AB＝40cm，半径为8cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切，此时⊙O移动了（　　）cm． A．56 B．72 C．56或72 D．不存在 二．填空题（共33小题） 18．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过 　 　 秒后⊙P与直线CD相切． 19．如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在　 　 秒时相切． 20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则D′F的长为 　 　 ． 21．如图，边长为4的正方形ABCD中，顶点A落在矩形DEFG的边EF上，EF＝5，而矩形的顶点G恰好落在BC边上．点O是AB边上一动点（不与A，B重合），以O为圆心，OA长为半径作圆，当⊙O与矩形DEFG的边相切时，AO的长为 　 　 ． 22．如图，已知扇形AOB的半径为18，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是弧AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝10，则O到折痕EF的距离为 　 　 ． 23．如图，在矩形ABCD中，点F是CD上一点，以点D为圆心，AD长为半径画弧，与BC交于点E，再以点C为圆心，CF长为半径画弧，使得弧FG与DE恰好相切于点H，与BC交于点G．若AD＝2CD＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 24．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AB＝5，∠A＝30°，P是AB延长线上一动点，要使直线PC与⊙O相切，则BP的长等于 　 　 ． 25．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，以点A为圆心，AD长为半径作圆，交AB于点E，过点B作⊙A的切线BF交CD于点G，切点为F，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 26．如图，AB是⊙O的直径，AD是一条弦，延长AD至点C，使DC＝AD，连结BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．给出下面五个结论：①AB≠BC；②DE是⊙O的切线；③∠ADE＞90°+∠A；④当DE∥AB时，若AB＝4，则阴影部分图形的面积为π﹣2；⑤当CE：EB＝2：1时，△DEC与△ABC的面积比为2：5．上述结论中，正确结论的序号有 　 　 ． 27．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 　 　 s后⊙P与直线CD相切． 28．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＞BC，∠ACB＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△ADE（点B，C的对应点分别为D，E）．当AD与⊙O相切时，恰好DE所在的直线也与⊙O相切，若⊙O的半径为3，则BC的长为 　 　 ． 29．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知△ACB的三个顶点均在格点上，点M为AC上一点，以点C为圆心，CM的长为半径作圆与边AB相切于点N，已知为该圆的一部分，则图中由线段AN、AM及所围成的阴影部分的周长为　 　 ． 30．如图，量角器的0刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺的一边与量角器相切于点C，直尺的另一边交量角器于点A，D，点A在量角器上的读数是0°，在直尺上的读数是1cm，点D在量角器上的读数为60°，在直尺上的读数为7cm，则该直尺的宽度为 　 　 cm． 31．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为3，点P的坐标为（﹣5，0），若将⊙P沿x轴向右平移，使得⊙P与y轴相切，则⊙P向右平移的距离为 　 　 ． 32．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10．动点E在AB边上，以点E为圆心，以BE为半径作弧，点G是弧上一动点． （1）如图1，若点E与点A重合，且点F在BC上，当DF与弧相切于点G时，则BF的值是 　 　 ； （2）如图2，若AE＝1连结CG，DG，分别取DG、CG的中点P、Q，连接PQ，M为PQ的中点，则CM的最小值为 　 　 ． 33．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与四边形ABCD的一边相切时，其半径为 　 　 ． 34．如图，量角器的零刻度线为AB，将一矩形直尺和量角器部分重叠，使直尺一边和量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝6cm，点D在量角器上的读数为120°，则该直尺的宽度为 　 　 cm． 35．如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°，O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则∠CDG＝　 　 ，CG＝　 　 ． 36．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＞BC，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转，使所得矩形A′BC′D′的边C′D′与⊙O相切，切点为E，边A′B与⊙O相交于点F．连接OE，则OE与BC′的位置关系为 　 　 ，若BF＝8，则矩形ABCD的面积为 　 　 ． 37．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为2，点P的坐标为（﹣3，0），若将⊙P沿x轴向右平移，使得⊙P与y轴相切，则⊙P向右平移的距离为　 　 ． 38．如图，在平面直角坐标系中，A（5，0），动点B、C从原点O出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿y轴正方向运动，以A为圆心，以OB长为半径画圆；以BC为斜边，在y轴右侧作Rt△BCD，∠D＝90°，BD：CD＝4：3，当⊙A与△BCD一边所在直线相切，运动的时间为 　 　 秒． 39．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC的中点，连接DE、OC，OC交DE于点F，AO＝10，DE＝4，的值是 　 　 ． 40．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知△ACB的三个顶点均在格点上，点M为AC上一点，以点C为圆心，CM的长为半径作圆与边AB相切于点N，已知为该圆的一部分，则图中由线段AN、AM及所围成的阴影部分的面积为 　 　 ． 41．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知AB＝12dm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB＝4dm．当点B按逆时针方向运动到B'时，A'B'与⊙O相切，则AA'的长为 　 　 dm． 42．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在边BC上，CD＝1，BD＝3．点P是线段AD上一动点，当半径为1的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　 　 ． 43．如图，点C在半圆⊙O上，延长直径AB至D点，使CD是⊙O的切线，若，CD＝6，则图中阴影部分的面积是 　 　 ．（结果保留π） 44．如图，AB＝6，以AB为直径作半圆，弦CD∥AB，将CD上方的图形沿CD向下折叠，使弧CD与直径AB恰好相切于点O，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 45．如图，△ABC的周长为20，⊙O的半径为1，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形作无滑动滚动，当滚动一周又回到与AB相切于点D的位置，⊙O的圆心O点运动的长度 　 　 （填写＞或＝或＜）三角形的周长，运动长度为 　 　 ． 46．如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为　 　 ． 47．如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 　 　 ． 48．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点．以点P为圆心、以1为半径作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，BP的长为 　 　 ． 49．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知Rt△ABC的三个顶点均在格点上，且∠BAC＝90°，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为半径作圆与边BC相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段CN，CM及所围成的阴影部分的面积为 　 　 ． 50．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．其中正确的结论是 　 　 （填序号）． 三．解答题（共10小题） 51．如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以点O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于点M． （1）求证：CD与⊙O相切； （2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径． 52．如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好经过点D． （1）求证：直线AC是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，OB＝2，求线段CD的长． 53．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长． 54．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BM＝3，，求OM的长． 55．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为8，求AE的长． 56．如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝2，DB＝1，求AE的长． 57．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，F为BC上一点，BF＝DF． （1）求证：DF与⊙O相切； （2）若AB＝5，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长． 58．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若⊙O半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长． 59．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D． （1）请说明AE是⊙O的切线； （2）若OA＝BC＝2时，求阴影部分的面积． 60．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D是AC上一点，以AD为直径的⊙O交BC、AB于点E、F，连接OF、EF、DE，且DE＝EF． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AB＝6，CD＝4，求⊙O的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $