精品解析：安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年高二上学期期中考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解. 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 2. 已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ） A. 21 B. 19 C. 13 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率公式，以及椭圆和双曲线的焦点公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则，解得，所以． 故选：B． 3. 已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意直线与线段相交，求出直线过线段端点时的斜率即可得解. 【详解】由题意，点的轨迹为线段， 又直线过定点, 所以， 由题意，直线与线段相交， 所以或， 故选：C 4. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点差法得到，从而得到，结合，求出，得到椭圆方程. 【详解】由题意，设，代入椭圆方程， 可得两式相减可， 变形可得， 又过点的直线交椭圆于两点，且的中点为， 所以， 代入上式可得，，又， 解得，所以椭圆的方程为. 故选：C 5. 若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得直线为过点的动直线，曲线为以为圆心，1为半径的半圆，进而结合图象求解即可. 【详解】直线为过点的动直线， 曲线，即为半圆， 圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图， 当直线与半圆相切时，有，解得； 当直线过点时，有，即； 因为直线与半圆有两个不同的交点，所以， 则的取值范围是. 故选：B 6. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 7. 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为为的左焦点，是的上顶点，是的右顶点，是的下顶点.记直线与直线的交点为，则的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的离心率和已知条件表示出直线的斜率，即可求出，再由同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式即可得出答案. 【详解】由离心率为，可得，又因为， 所以，所以， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，又因为， 设椭圆的左端点为， 所以，所以， 所以， 因为， 所以 . 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若向量、与空间任意向量都不能构成一组基，则 B. 若非零向量，，满足，，则有 C. “倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件 D. 若是空间的一组基，则也是空间的一组基 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面、倾斜角和斜率的关系、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，∵，与任何向量都不构成空间向量的基底， ∴，只能为共线向量，∴，A对； B选项，取，，，显然满足，， 但与不平行，B不对； C选项，倾斜角相等时，可能倾斜角都是，此时直线没有斜率，所以C选项错误. D选项，∵，，为一组基底， ∴对于空间任意向量，存在实数m，n，t， 使， ∴，，也是一组基底，D对； 故选：AD 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，点在渐近线上，且在第一象限，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 的面积为 D. 的内切圆的半径 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，可求双曲线的渐近线和离心率，可判断AB的真假；确定点坐标，根据直角三角形的面积公式求面积，判断C的真假；利用面积法求三角形内切圆半径，判断D的真假. 【详解】如图： 选项A：对双曲线，，，. 所以双曲线的渐近线方程为，故A正确； 选项B：双曲线的离心率为，故B正确； 选项C：因为，且为的中点， 所以，又在上， 所以点，得， ；故C错误； 选项D：因为为直角三角形，所以内切圆半径，故D正确． 故选：ABD 10. 已知曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线与曲线关于轴对称 B. 曲线是轴对称图形 C. 曲线是中心对称图形 D. 存在两条直线，使得曲线在两条直线之间 【答案】ABD 【解析】 【分析】先去绝对值符号，再画出图形，再结合双曲线和圆的知识，根据曲线对称性含义，逐个检验判定. 【详解】当时，曲线的方程为， 这是单位圆在第一象限的部分（包括边界）. 当时，曲线的方程为，这是双曲线在的部分. 当时，曲线的方程为， 这是双曲线在的部分. 当时，曲线的方程为，无实数解. 画出图形，如图所示， 当点在曲线上，则在曲线上，点还在曲线上， 而当点在曲线时，在曲线， 故选项AB正确； 对于曲线，当时，； 当时，； 当时，； 双曲线有共同的渐近线，而圆与相切， 故存在两条直线，使得曲线在两条直线之间，曲线明显不是中心对称图形． 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：曲线的对称性有如下常见结论： (1)将方程中的x换成−x，若方程不变，则曲线关于y轴对称； (2)将方程中的y换成−y，若方程不变，则曲线关于x轴对称； (3)将方程中的的x换成−x，y换成−y，若方程不变，则曲线关于原点对称； (4)将方程中的的x换成y，y换成x，若方程不变，则曲线关于y=x对称； (5)将方程中的的x换成−y，y换成−x，若方程不变，则曲线关于y=−x对称. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案. 【详解】当直线过原点时，斜率为，则方程为； 当直线不过原点时，由题意方程可设，代入，可得，解得，则方程为. 故答案为：或. 12. 已知三棱锥中，点平面ABC，若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由空间四点共面的向量表示即可求解. 【详解】由题意得，则， 因为A，B，C，D四点共面，所以，解得. 故答案为：3 13. 已知点为椭圆上两点，且点A在第一象限，点B在第二象限，，射线的斜率分别为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】采用设线法，设直线．直线，联立椭圆方程得到，同理得，再求出点到直线OA的距离，写出面积表达式，求得，再代入斜率差表达式，最后利用基本不等式即可求出最值. 【详解】设， 设直线．直线， 由，所以，同理得，（显然判别式大于零） 点B到直线OA的距离， 所以． 平方得，所以， 因为点A在第一象限，所以，所以． 当且仅当时取等号． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 14. 已知的顶点边上的中线所在直线方程边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两条直线互相垂直斜率互为相反数，得出AC所在直线方程，再跟CM所在直线方程联立方程即可. （2）设点的坐标把M的坐标表示出来，利用点B在直线BH上，点M在直线CM上，列式联立方程即可. 【小问1详解】 边上的高所在直线方程为，其斜率为，故直线的斜率为， 则直线的方程为：，即， 联立方程与中线所在直线方程，可得， 故点的坐标为. 【小问2详解】 设点的坐标为，由点在直线上可得； 的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程， 即； 故可得，即点坐标为. 则直线的斜率为. 15. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【小问1详解】 由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 16. 如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，是的中点，过作交于点． （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为底面，平面，所以. 又底面为矩形，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 又，为的中点，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 又，平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件确定的长，利用空间向量求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，垂足为. 所以即为与平面所成的角. 由，，所以. 在中，，，所以， 所以. 由，所以. 由，所以. 以为原点，建立如图空间直角坐标系： 则，，，，， 因为为中点，所以. 且，. 设平面的法向量为， 则，可取. 由（1）可知，平面的法向量可取. 设平面与平面所成的角为， 则, 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义先求出，然后利用圆上的点到圆心的距离为半径求出，最后求出和椭圆方程； （2）先联立得到的取值范围，然后得到面积的解析式，根据函数性质求得面积最大值，最后判断是否符合要求即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又且以为圆心的圆与直线相切，所以， 又圆过点，所以，解得， 所以， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 如图所示， 不妨令直线，， 联立，得， 所以，解得， 又， 且点到直线的距离为， ， 所以， 当且仅当时取到最大值，此时满足， 所以. 【点睛】关键点睛：熟练应用韦达定理和弦长公式是解决解析几何的基本功，需要大量的训练和练习. 18. 已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. （1）求双曲线的方程. （2）过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）； （2）是，. 【解析】 【分析】（1）由双曲线的焦距为得到，再由其中一条渐近线方程为，得到求解； （2）设过P点的切线l的方程为，由动圆D的圆心到切线l的距离为，设直线，与双曲线的方程联立，结合韦达定理求得点B和C的坐标，写出直线BC的方程求解. 【小问1详解】 因为双曲线的焦距为， 所以， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得，. 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由题意，切线PB，PC的斜率都存在， 设过P点的切线l的方程为，动圆D的半径为， 所以圆心到切线l的距离为，即， 则PB，PC的斜率，是该方程的两个根，可得. 设直线，，， 联立方程，消去y得. 由韦达定理得，则， 将其代入，得， 即得，同理可得， 因为，则得. 又因为， 所以直线BC的方程为， 直线BC的方程可化为， ， . 故直线BC过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 2. 已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ） A. 21 B. 19 C. 13 D. 11 3. 已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A. B. C. D. 7. 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为为的左焦点，是的上顶点，是的右顶点，是的下顶点.记直线与直线的交点为，则的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若向量、与空间任意向量都不能构成一组基，则 B. 若非零向量，，满足，，则有 C. “倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件 D. 若是空间的一组基，则也是空间的一组基 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，点在渐近线上，且在第一象限，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 的面积为 D. 的内切圆的半径 10. 已知曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线与曲线关于轴对称 B. 曲线是轴对称图形 C. 曲线是中心对称图形 D. 存在两条直线，使得曲线在两条直线之间 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 12. 已知三棱锥中，点平面ABC，若，则__________. 13. 已知点为椭圆上两点，且点A在第一象限，点B在第二象限，，射线的斜率分别为，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 14. 已知的顶点边上的中线所在直线方程边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的斜率. 15. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，是的中点，过作交于点． （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 18. 已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. （1）求双曲线的方程. （2）过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $