新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第二中学2025-2026学年高一上学期数学第2.5次周测试题

兵团二中2025-2026学年度第一学期高一年级 第2.5次周测 数学 试卷 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B． C．2 D． 3．设，则“”是“”的 （     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数且的图象过定点，函数且也经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题，英国人口学家马尔萨斯发现“人口的自然增长率在一定时间内是一个常数，人口的变化率和当前人口数量成正比”，并给出了马尔萨斯人口模型，其中为年的人口数，为年的人口数，为常数．已知某地区2000年的人口数为100万，，用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数（单位：万）约为（参考数据：） A．200 B．300 C．400 D．500 6．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 7．若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．若，则一定是第一或第二象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C．角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则 D．若是第一象限角，则是第一或第三象限角 10．已知函数和的定义域都为是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C．，使得 D． 11．已知函数，函数，则（    ） A．函数的值域为 B．不存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 三、填空题 12． 13．函数的单调递减区间为 . 14．已知，函数，满足，则 ，若存在，使得，则的取值范围是 . 四、解答题 15．已知． (1)若角的终边过点，求； (2)若，分别求和的值． 16．已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 17．已知函数 (1)求； (2)求函数在上的最大值与最小值； (3)在区间上有且仅有一个，使得，求的取值范围. 18．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 19．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． (1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； (2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《兵团二中 2025-2026学年度第一学期高一年级 第2.5次周测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C B B B D BCD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【解析】利用诱导公式即可求解. 【详解】， 故选：A 2．B 【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，解得. 故选：B 3．A 【分析】由三角函数的基本关系及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】判断充分性： 若，由得，，所以. 因此“”能推出“”，充分性成立； 判断必要性： 若，由得，，所以. 因此“”不能推出“”，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．C 【分析】根据对数运算性质求得点，代入指数函数解析式即可求解参数a. 【详解】，当，即，所以， 由的图象经过，所以，因为，得. 故选：C 5．B 【分析】由题意得，将代入结合即可得解. 【详解】由题意取，而，所以， 所以，又因为，所以， 所以用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数（单位：万）约为万人. 故选：B. 6．B 【分析】根据已知条件利用完全平方公式以及同角三角函数关系式平方和为1求出的值，再结合，解得即可得出的值. 【详解】， ， ， ， 从而， ，可得， ，则且， ，与联解， 可得， 因此. 故选：B. 7．B 【分析】根据平方关系及条件可得，解得后计算可得. 【详解】因为， ∴，又，∴， 所以. 故选：B. 8．D 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 9．BCD 【分析】根据象限角的概念、弧长公式、扇形面积公式、三角函数的定义，即可分别求解． 【详解】对于A选项，若，则角的终边在第一象限、第二象限或轴正半轴，A错； 对于B选项，因为圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，B对； 对于C选项，由三角函数的定义可得，C对； 对于D选项，若是第一象限角，即， 所以， 若为偶数，设，则， 此时为第一象限角， 若为奇数，设，则， 此时为第三象限角， 综上所述，若是第一象限角，则是第一或第三象限角，D对. 故选：BCD. 10．ABD 【分析】根据奇偶性定义计算可判断A；构造方程组，求得解析式，计算可判断B；设，则，得出矛盾，可判断C；由作差法可得，根据函数在上单调递增可判断D. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以， 因为是偶函数，所以， 因为，所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为， 所以，即， 所以， 因为，， 所以，故B正确； 对于C，令，则， 即，此方程无解，故C错误； 对于D，因为， 所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以成立，故D正确. 故选：ABD 11．ACD 【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A，根据即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，根据函数图象，结合对数的运算即可求解D. 【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确， 对于B，当时，有，故B错误， 对于C， 由于，要使恒成立，则或，解得，故C正确 对于D， 令，则或， 作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则， 由于，同理可得， 故，故D正确，    故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 12．/0.5 【分析】由诱导公式一计算可得. 【详解】. 故答案为：. 13． 【分析】利用变量代换，令， 求解. 【详解】因为函数的单调递减区间为，， 令， ， 解得：， ， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为：. 14． 【分析】首先根据分段函数求值，求，再分区间，和，代入分段函数，转化为求函数的值域问题. 【详解】，得， 所以， 若，，得， 此时， 若，，此时，不成立， 若，，得， 此时， 设，，在区间上单调递增，，所以的范围是 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 15．(1) (2)， 【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得. （2）根据齐次式的知识求得正确答案. 【详解】（1） ， 若角的终边过点，则， 所以. （2）若， 所以； . 16．(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得的值，即可得出函数的解析式； （2）根据二次函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增， 由题意得，解得，故. （2）因为，函数的图象对称轴为， 因为在上不是单调函数，所以，解得. 故实数的取值范围为. 17．(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】(1)直接代入计算即可得到； (2)由诱导公式可化简的表达式，其可看成关于的二次函数，由二次函数的性质可求得其最值； (3)由可得到关于的一元二次方程，解之可得，所以问题转化为使得在有且仅有一个解，由正弦函数的性质可求得的取值范围. 【详解】（1）代入可得; （2）由诱导公式可得,令,由正弦函数的性质可知在上单调递增， 故,所以原函数换元后转化为,由二次函数的性质可知对称轴为, 所以函数在上的最小值为,最大值为, 故函数在上的最大值为,最小值为  ； （3）由可得,解得或,因为,所以, 故需满足在有且仅有一个解，由正弦函数的性质可知在第一个解为,第二个解为, 若要使得在有且仅有一个解，则,故的取值范围为. 18．(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 19．(1)答案见解析 (2)奇函数， (3)． 【分析】（1）利用、的表示式分别化简计算即可得 ； （2）根据的表达式，利用奇偶性的定义判断为奇函数，再将其解析式化成，利用函数的单调性即可求其值域； （3）将题设不等式恒成立等价转化成在上恒成立，继而只需求在上的最大值，通过整理换元，利用函数的单调性即可求得其最大值，即得参数范围. 【详解】（1）由题意，； . （2）因，， 则对于，，是奇函数； 又， 因在上单调递增且为正，故在上单调递减， 则在是增函数， 由，得故得， 即的值域为. （3）由题意可知在上恒成立， 整理得在上恒成立 令， 则， 令，由，可得，，即得， 则，， 因函数在上递增，在上递减，故， 依题意，，即m的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $