8.1.2算术平方根课件2025-2026学年人教版 数学七年级下册

该初中数学课件聚焦算术平方根的概念、性质、估算及应用，以购买瓷砖、裁画布等生活问题导入，从实际情境抽象出概念，通过填表巩固性质，结合“夹逼法”估算√2、用计算器计算，再到实际应用与中考题，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过“剪拼小正方形”动手活动和“夹逼法”估算√2，培养抽象能力与推理意识。例题分层设计，从基础计算到中考综合题（如裁纸片、幻方问题），帮助学生用数学语言解决实际问题。教师使用可提升课堂互动性，学生能深化概念理解与应用能力。

人教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件 8.1.2算术平方根 第8章 实数 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年 月 日 . 1 小明到装饰城购买瓷砖，老板给了他一块面积为 30 dm2 的正方形瓷砖，聪明的你能告诉小明这块瓷砖的边长吗？ 边长是多少呢？ 想一想 1 算术平方根的概念和性质 问题 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为 25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 解：由于正方形的面积 = 边长×边长， 又因为 52 = 25 . 所以这个正方形画布的边长应取 5 dm. 问题 若知道一个正方形的面积，我们能说出其边长吗？快速填表. 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm 1 3 4 6 算术平方根的概念 概念 正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根. a 的算术平方根用 来表示 . 规定：0 的算术平方根是 0. 0的算数平方根也记为 性质 1：一个正数的算术平方根是正数. 性质 2：0 的算术平方根是 0. 性质 3：负数没有算术平方根. 性质 4：被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 知识要点 例1 求下列各数的算术平方根： 被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 总结 解：(1) 因为 102 = 100，所以100 的算术平方根是10， (2) 因为 = ，所以 的算术平方根是 ， (3)因为 0.012 = 0.000 1，所以 0.000 1 的算术平方根是 0.01， (2) ； (1) 100； (3) 0.000 1. 即 = . 即 = . 即 = . 典例精析 2 算术平方根的估算及大小比较 剪一剪，拼一拼：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形剪拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？ 2 算术平方根的估算及大小比较 剪一剪，拼一拼：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形剪拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？ 填空： 回忆三角形三边之间的关系， 究竟是一个怎么样的数？ 面积 dm2 边长 dm 1 2 1 算一算：估算 的大小. (1) 比较 1，，2 之间的大小； 因为 1² = 1，()² =2，2² = 4. 所以1<<2. (2) 比较1.4，，1.5 之间的大小； 因为1.4² = 1.96，1.5² =2.25. 所以1.4<<1.5. (3) 比较 1.41，，1.42 之间的大小. 因为1.41²=1.988 1，1.42² =2.016 4. 所以1.41<<1.42. 如此反复可确定出 更精确的估计范围，此种方法叫作“夹逼法”. 事实上， =1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数. 思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这样的数吗? 实际上，很多正有理数的算术平方根 (例如等)都是无限不循环小数. 想一想 例2 (1) 估计与 最接近的两个整数是多少？ 解：因为 32 = 9，42 = 16， 所以 3 < < 4． 所以与 最接近的两个整数是 3 和 4. 典例精析 例2 (2) 估计与 最接近的一个整数是多少？ 解：因为 3 < < 4， 而 3.52 = 12.25， 所以 < 3.5 . 所以最接近 的整数是 3 . 太小 太大 3 用计算器求一个数的算术平方根 探索：用计算器求下列各式的值： (1) ；(2) = (精确到0.001) . 1.414 56 显示：56. 所以：56. 解：(1) 依次按键 1 3 3 6 = 显示：1.414213562. 所以：1.414. (2) 依次按键 2 = 当 “天问一号” 火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v (单位：m/s) 时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v² = 2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (单位：m/s2)，R 是地球半径， R ≈ 6.4×106 (单位：m). 怎样求 v 呢? 由 v² = 2gR 及 v 的实际意义，得 v = ， 其中 g ≈ 9.8 (单位：m/s2 )，R ≈ 6.4×106 (单位：m). 用计算器求得 v ≈ = 1.12×104. 因此，第二宇宙速度 v 约为 1.12×104 m/s，即 11.2 km/s. 合作探究 … … … … 规律：被开方数的小数点每向右移动 位，它的算术平方根的小数点就向右移动 位；被开方数的小数点每向左移动 位，它的算术平方根的小数点就向左移动 位. (1) 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗? 算术平方根的规律 2 2 1 1 (2)用计算器计算 (精确到 0.001)，并利用你在 (1) 中发现的规律说出 的近似值. 你能根据 的近似值直接得到 的近似值是多少吗? 小数点只移动了一位，不符合规律...不能直接得到值. 例3 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 3∶2. 但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗? 解：设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 根据边长与面积的关系，得 3x·2x = 300， 6x2 = 300， x2 = 50. 由边长的实际意义，得 x = . 因此长方形纸片的长为 cm. 因为 50 > 49，所以 > 7. 由上可知 3 > 21，即长方形纸片的长应该大于 21 cm. 因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有 20 cm. 这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片. 返回 1. 36的算术平方根是(　　) A．18　 B．±18 C．6　 D．±6 C 中考考法 20 D 返回 中考考法 21 返回 103 0.9 中考考法 22 3(答案不唯一) 返回 中考考法 23 5. 一个等腰直角三角形的面积为3，则其直角边长为________. 返回 中考考法 24 返回 6. 某学校会议室的面积为64 m2，会议室的地面恰由100块相同的正方形地砖铺成，则每块地砖的边长是______m. 0.8 中考考法 25 返回 中考考法 26 返回 中考考法 27 返回 D 中考考法 28 返回 A 中考考法 29 返回 A 中考考法 30 中考考法 31 返回 中考考法 13. 有一个长、宽之比为5∶2的长方形过道，其面积为10 m2. (1)求这个长方形过道的长和宽； 【解】设这个长方形过道的长为5x m，则宽为2x m，根据题意，得5x·2x＝10，解得x＝±1. ∵x＞0，∴x＝1.∴5x＝5，2x＝2. ∴这个长方形过道的长为5 m，宽为2 m. 中考考法 (2)用40块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种地板砖的边长. 返回 【解】设这个正方形的地板砖的边长为a m， 则40a2＝10，解得a＝±0.5.∵a＞0，∴a＝0.5. ∵0.5 m＝50 cm，∴这种地板砖的边长为50 cm. 中考考法 中考考法 (1)－3，－12，－27这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由. 中考考法 (2)若三个数－5，m，－20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求m的值. 返回 【解】若－5，m这两个数乘积的算术平方根为15，则－5m＝225，解得m＝－45.易知－5，－45，－20是“完美组合数”，∴m＝－45；若m，－20这两个数乘积的算术平方根为15，则－20m＝225，解得m＝－11.25(不是整数，舍去)．综上所述，m＝－45. 中考考法 中考考法 (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； 中考考法 (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式(n为正整数)； 中考考法 算术平方根 定义 表示 特征 如果一个正数 x 的平方等于 a，即________那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根记为________. 非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________. 正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______； 负数没有算术平方根. x2 = a 根号 a 被开方数 0 2. 若4a＋1的算术平方根是5，则a－2的算术平方根是(　　) A． B．±2 C． D．2 3.(1)106的算术平方根是________； (2)的算术平方根是________； (3)()2的算术平方根是________. 4. 满足<a<5的整数a可以是______________(写出一个符合题意的数即可). 【解】∵≥0， ∴当＝0，即x＝－时，＋6有最小值，最小值为6. 7.当x为何值时，＋6 有最小值？最小值为多少？ 8. 已知刹车距离的计算公式v＝16，其中v(km/h)表示车速，d(m)表示刹车距离，f表示摩擦系数，在一次交通事故中，测得d＝16，f＝2.25，而发生交通事故的路段限速为100 km/h，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶. 【解】将d＝16，f＝2.25代入v＝16，得 v＝16×＝16×＝16×6＝96(km/h)． ∵96 km/h＜100 km/h，∴肇事汽车没有违规行驶． 【点拨】∵是整数，∴16－n＝16或9或4或1或0.∴对应n的值为0，7，12，15，16，共5个．故选D. 9. 若是整数，则满足条件的自然数n共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 10.[2025日照期末]实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－的结果是(　　) A．－b B．b C．2a－b D．b－2a 【点拨】∵＋(m＋2n)2＝0，∴m＋4＝0，m＋2n＝0， 解得m＝－4，n＝2，∴mn＝(－4)2＝16. ∴mn的算术平方根为4. 11.[2025武汉月考]＋(m＋2n)2＝0，则mn的算术平方根为(　　) A．4 B．－4 C．16 D．－16 12.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方(如图①)，若满足每一横行、每一竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②是一个未完成的三阶幻方， 则＝________. 【点拨】设左下角的数字为x，∴－4＋m＋x＝m＋2－2，解得x＝4.∴－4＋m＋4＝n＋2＋4.∴m－n＝6.设右下角的数字为y，则m＋2－2＝n－2＋y，解得y＝8.∴－4＋2＋8＝n＋2＋4，解得n＝0，∴m＝6.∴＝＝. 14.我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：－1，－4，－9这三个数，＝6，＝3，＝2，其结果6，3，2都是整数，所以－1，－4，－9这三个数为“完美组合数”. 【解】－3，－12，－27这三个数是“完美组合数”．理由：∵－3，－12，－27这三个数是互不相等的负整数，且＝6，＝9，＝18，其结果6，9，18都是整数， ∴－3，－12，－27这三个数是“完美组合数”． 15.先观察下列等式，再回答问题： ①＝1＋－＝1； ②＝1＋－＝1； ③＝1＋－＝1. 【解】根据规律可猜想第五个等式为＝1＋－＝1.　 【解】第n个等式为＝ 1＋－＝1＋. $