天津市第一0二中学2025-2026学年高二上学期12月检测数学试题

2025-2026学年度高二年级第-一学期12月检测（数学) 一、单选网 1.已知数列5,5，√万√2n-1,2n+1,则√47是这个数列的() A.第20项 B.第21项 C.第22项 D.第23项 2双曲线y2 。京=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1，万，则该双曲线的离心率为() A.2 B.3 C.22 D.25 3.抛物线y=4x2的焦点坐标为（) A.(2,0) B.(0,2) c() D.(6 4.记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a,=6,a2=17,则S6=（) A.120 B.140 C.160 D.180 5.数列a}满足a,=2,aa=亡2（neN,则a等千《） A.-2 B.-1 C.2 D. 6.己知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=7,S2=511,则Sg=() A.56 B.-56 C.63 D.-63 7.已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,准线为1，与y轴平行的直线与1和抛物线C分别交于A,B两点，且 直线AF的倾斜角为150°，则AB=（) A.2V5 B.22 C.8 8、已知双面线父-首=1的左、右焦点分别为R,,若直线y=85(x-)与双面战交于4，B两点，【 8V3 8 AF∥BE2,则t的值为（) A.tI B.2 C.±W5 D.2 9.已知数列{an}为单调递增的等差数列、前n项和为Sn,若a5,a6,ao成等比数列，则当S,取最小值时， n=() A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 0,已知F为双曲线C:若片的左焦点，P,2为C右支上的两点若P四=I0,点A5,0在直线P四 上，则△P2F的周长为一一-· 山，设等差数列{@也}的的n项和分别为9，，且会=折7，则子。 b。 12.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点，若FA=2FB=0则 p= 13.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a46=4,则1og2a+log2a2+…+og24,= 14.在数列{an}中，a,=-10，a=an+2,则数列{a}的前10项和为一 15.在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T, 再令an=gTn(n∈N),则数列{an}的通项公式是 三、解答题 16.已知O为坐标原点，F为抛物线C:x2=2y(p>0)的焦点，T是C上异于O的-点，且点T到F的 距离比到x轴的距离大1. (1)求抛物线C的方程； (2)若经过点(0,6)的直线1与抛物线C相交于A,B两点，且AC=24;求1的方程. 试卷第2页，共4页 17.若将数列{an}的前n项和记作Sn,已知Sn=n2+n(n∈N) (1)求a,a2,a的值： (2)求数列{an}的通项公式 18.已知数列满足a,=3,且对任意的n∈N*,都有aml=3an-4(n∈N), (1)令bn=an-2,证明：数列{bn}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式及数列{an}的前n项和Sn 试卷第3页，共4页 19.等差撇列{4n}的前n项和为$Sn,3a2+a4=a,S,=15. (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列(-l)”an}的前n项和 20. 已知等比数列a,}的前n项和为S,品=分4+a= (1)求{an}的通项公式； (2)若bn= n,n为奇数 4n,n为偶数’ 求数列{b,}的前2n项和T2m; (3)若存在正整数，使得(Sn-m)(Sn1-m)<0成立，求m的取值范围. 试卷第4页，共4页2025-2026学年度高二年级第一学期12月检测（数学） 一、单选题 1.已知数列5，√5，√7√2n-1,√2n+1,则√47是这个数列的() A.第20项 B.第21项 C.第22项 D.第23项 【答案】D 【分析】由√47=√2x23+1即可得. 【详解】√47=√2×23+1，故为第23项 故选：D y ,双曲线之 -1a>0,b>0的一条渐近线经过点Q,万)，则该双曲线的离心率为《) A.2 B.3 C.22 D.2W5 【答案】C 【分析】根据渐近线方程可得√万=力，即可由离心率公式求解。 a 7方=1a>0,b>0)的渐近线为y=士x, 【详解】因为双曲线- 且经过点1，√)， a 所以V万=bab=V7a,又c=+b=V8a=25a, 则该双曲线的离心率为二=25， 故选：C 3.抛物线y=4x2的焦点坐标为() A.(2,0) B.(0,2) c.( D ，0 16 【答案】C 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而求出其焦点坐标即可. 【详解】根据=4，可得=京。 所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且2p4: 1 试卷第1页，共13页 所以p日即片6 1 26, 则焦点坐标为0,6) 故选：C 4.记等差数列{a}的前n项和为Sn,4,+a,=6,a2=17,则S6=() A.120 B.140 C.160 D.180 【答案】C 【分析】利用下标和性质先求出4，+42的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出 S6的值 【详解】因为4+4，=2a=6,所以4=3，所以4+42=3+17=20 所以s6-a+a.)16=8(4+4)=160, 2 故选：C 5.数列a,}满足4=2，a11-a 1 (neN),则a26等于() A.-2 B.-1 C.2 D 【答案】c 【分析】由递推公式推得数列的周期，利用周期性求值. 1 11 1 【详解】由递推公式，4=2，a1-2-1a1+12a,= =2 1 1- 2 所以数列{a}的周期为3，所以ao26=658H=4=2, 故选：C 6.己知等比数列{a}的前n项和为Sn,若S4=7,S2=511,则S=（) A.56 B.-56 C.63 D.-63 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质建立方程，求解S即可. 【详解】因为等比数列{a}的前n项和为Sn, 所以S4,S-S4,S2-S成等比数列，且公比为正数， 设S=x,由题意得S=7,S2=511, 试卷第2页，共13页 则7，x-7,511-x成等比数列，得到(x-7)2=7(511-x), 即x2-7x-3528=0,解得x=-56或x=63, 因为S4,S-S4,S2-S三者同号，所以Sg=63,故C正确. 故选：C 7.已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,准线为1，与y轴平行的直线与l和抛物线C分别交 于A,B两点，且直线AF的倾斜角为150°，则AB=() A.2W5 B.2√5 C.8 D.4 【答案】C 【分析】先判断△FAB的形状，再结合抛物线的几何性质求△FAB的边长， 【详解】如图： D y 因为抛物线方程为x2=8y,所以焦点F(0,2),准线l:y=-2. 因为直线AF的倾斜角为150°，且AB⊥x轴，所以∠FAB=60 又B点在抛物线上，所以BF=|BA,故△FAB为等边三角形 过A作y轴的垂线，垂足为P,则P(0,-2),且∠FAP=30°，所以AF=2FP=8 所以AB=AF=8 故选：C 8.已知双曲线x-上-1的左、右焦点分别为R,R,若直线y 83 (x-t)与双曲线交于 8 3 A,B两点，且AF∥BE,则t的值为() A.+1 B.±√2 C.±5 D.±2 【答案】D 【分析】利用点差法结合直线平行求解即可， 试卷第3页，共13页 【详解】如图所示，设直线AR与双曲线的另一个交点为C, F 设A(,),B(2,y2),由图形的对称性知C(-2,-y2) 由4，B两点在双曲线上知-上=1，片-发=1， 8 作差得到+业-少=8， x+x2x-x2 其中出-业-8V5 -x23 ,故直线4R的斜率kg十出-5， X1+X2 此时直线AR的方程为y=√3(x+3), 与双曲线的方程联立得5x2-18x-35=0, 化简得(5x+7)x-5列=0，即x=号或x=5, 那么A 7&3 5 或A5,83) 又直线AB的斜率为 3 83 所以；85或8585 7 J 3 5-t3 解得t=士2， 故选D 9.己知数列{a}为单调递增的等差数列、前项和为Sn,，若a,a,,ao成等比数列，则当 Sn取最小值时，n=() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 试卷第4页，共13页 【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出前项和S,再 利用配方法能求出当S,取最小值时，n的值. 【详解】设数列{a}的公差为d,则a4=4+4d,a,=4+5d,4。=a4+9d, 因为4,4，a。成等比数列， 所以a,2=a,4。,即(a+5d)2=(a+4d)(a+9d),化简得3ad+11dP=0, 解得4=-d或d=0, 3 因为数列{a}为递增的等差数列，所以d>0, 故d=0舍去，ad, 3 所以s,=m+0m-1d=rd-2, d=-d(n- 252-625d 6 2 2 6,由于n为正整数，且4离 2 5 开口向上，对称轴为直线n= 更近， 6 所以当n=4时，Sn取得最小值。 故选：B 二、填空题 10.己知F为双曲线C: 。上=1的左焦点，P,e为C右支上的两点若P四=10，点 169 A(5,0)在直线PQ上，则△PQF的周长为 【答案】36 【分析】利用双曲线的定义先求出PF+◆QF的值，由此即可求出△POF的周长. 【详解】由己知a=4,b=3,则c=√a2+b2=5,所以A(5,0)是双曲线的右焦点， PF-PA =2a=8,OF-O4 =8, PF+OF-(PA+4)=PF+OF-PO=16, 所以PF+2=10+16=26, 所以△POF的周长为PF+2+Pg=26+10=36 试卷第5页，共13页 故答案为：36. 11.设等差数列{a},b}的前n项和分别为Sn,n,且 -2n+3 T 【答1君 【分析】根据等差数列前n项和公式进行求解即可. 【详解】因为等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn 则4=44,4-4，S,=176+alZ,- 17(6+b,) 2 2 2 所以2=4+4=$=37 bb+b7 T 50 37 故答案为： 50 12.己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点，若 |FA=2FB=6,则p= 【答案】4 【分析】延长AB与准线相交，利用抛物线的定义以及相似比即可求出。 【详解】如图，设直线AB与准线交于点H,分别过点A,B作准线的垂线，垂足为A,B, 且准线与x轴的交点为F, 则由抛物线的定义可知，A4=AF=6,BB=BF=3, BB BH 3 BH 则 44 BH+AB'即 BH+9,得BH=9, 瞬m期日品-4 BB BH 故答案为：4 试卷第6页，共13页 13.己知数列{a}是各项均为正数的等比数列，a,。=4,则 log,a +log,a +...+l0g2 【答案】9 【分析】根据等比数列的通项公式进行计算即可 【详解】因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，a,a,=4, 所以4q=4即4q=2, log:a+log2 a+.+log2 a,log2 aaa,=log a 2log ad3=9l0g ag 49 故答案为：9 14.在数列{a}中，4=-10，a1=a,+2,则数列a}的前10项和为 【答案】50 【分析】求出等差数列通项公式，再分析得前6项小于等于0，最后利用等差数列前项公 式计算即可」 【详解】由an1=a+2,得aH-an=2, 所以数列{a}是以-10为首项，2为公差的等差数列. 则an=-10+(-1)×2=22-12. 数列{a}的前n项和S.=10+2n-1四=0u-10n. 2 当n≤6时，a≤0，当n≥7时，a,>0, 则数列1a}的前10项和为4+a++a.+a+a+a+4o =-(4+a2++a,)+a,+4+4+40 =S1。-2S6=10-11)×10-2×(6-11)×6=50. 故答案为：50. 15.在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个 数的乘积记作T，,再令an=lgTn(neN),则数列{a}的通项公式是 【答案】a.=n+2(n∈N) 试卷第7页，共13页 【分析】记这n+2个数构成递增的等比数列为{b,},则由b=1,b2=100,可求得.，代 入a=gT,即可得出答案 【详解】记这n+2个数构成递增的等比数列为b},则由b=1,bn2=100, 由T。=bb,…b1b2,则()'=(6b+2)(bb）(亿+2b)=1002, +2 +2 T,=1002,故a,=1g1002=n+2 故答案为：a,=n+2(neN). 三、解答题 16.已知O为坐标原点，F为抛物线C:x2=2(p>0)的焦点，T是C上异于O的一点， 且点T到F的距离比到x轴的距离大1. (1)求抛物线C的方程： (2)若经过点(0,6)的直线1与抛物线C相交于A,B两点，且AB=24,求1的方程 【答案】（①）x2=4y (2)±3x-y+6=0 【分析】(1)根据抛物线的定义进行求解即可： (2)根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式进行求解即可： 【详解】（1)设点T(6,%),由题可知-%+1，由数物线定义知例-%+号 所以+号+1，所以p=2,侧则抛物线C的方程为c=4. (2)易知1的斜率一定存在，设1的方程为y=+6,设A(:,乃)，B(xy2) r=4y消去y得2-4-24=0， 由 y=r+6, 则△=16k2+96>0,且x1+x2=4k,xx2=-24, AB=V压，-s)'+(,-=V1+EVG-x)}=1+辰V压+x)-45王 =V1+k2√4k)2-4×(-24=41+k3Vk2+6 试卷第8页，共13页 由AB=24,化简整理得k4+7k2-30=0,解得k2=-10（舍去)或k2=3, 所以k=±√5，即1的方程为±V3x-y+6=0. B 17.若将数列{a}的前n项和记作Sn,已知S。=m2+n(n∈N). (1)求a,4,4的值： (2)求数列{a}的通项公式 【答案】(1)4=2,42=4,4=6 (2)a=2(neN) 【分析】(1)由4=S,a,=S,-S,4=S,-S2计算得解： (2)根据a,与Sn的关系求出通项. 【详解】(1)：S。=n2+n, .4=S=1+1=2,4=S2-S=22+2-2=4,4=S,-S2=32+3-22-2=6 (2)当n=1时，4=S=2, 当n≥2时，a=S。-S-1=n2+n--1)°--1片21， ..a =2n,neN'. 18.已知数列满足a,=3,且对任意的neN*,都有a+1=3a-4(n∈N) (①)令b=a。-2,证明：数列b}为等比数列： (2)求数列{a}的通项公式及数列{an}的前n项和S 【答案】（①）证明见解析 试卷第9页，共13页 ②2=31+2,3=3”1+2n 2 【分析】(1)由递推公式可得a41-2=3(a,-2),即b+1=3b。,结合等比数列的定义证明即 可； (2)由(1)求出b}的通项，即可得到{a}的通项公式，再由分组求和法计算可得 【详解】(1)因为an1=3a.-4,即a+1-2=3(an-2), 又b=4-2,即b1=3b,又4=3，所以b=a-2=1, 所以b}是以1为首项，3为公比的等比数列： (2)由(1)可得bn=4-2=1x3”-1, 所以an=3"1+2, 所以Sn=3°+2+3+2+.+3-+2n =(3°+3+.+3-)+2n 3°×(1-3" 2+2m-31+2n 1-3 2 19.等差数列{a}的前n项和为Sn,3a+a=4,S3=15 (1)求数列{a}的通项公式： (②)求数列{-1)a}的前n项和. 【答案】(1)a=3n-1 「3. 2内奇数 (2)Tn= 3 3%的偶数 【分析】(1)根据等差数列的通项公式，列方程求解： (2)根据(1)的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解 【详解】(1)：等差数列{a}的前n项和为Sn,3a2+a4=a, .4a+6d=a+8d,即3a=2d, 试卷第10页，共13页