2025-2026学年人教A版高二上学期数学期末模拟试题2(适用于四川省)

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟试题2 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第9-10章（统计、概率）+选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2025·山东潍坊·高二上月考）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个号码为（   ） 随机数表如下0154  3287  6595  4287  5346 7953  2586  5741  3369  8324 4597  7386  5244  3578  6241 A．13 B．32 C．44 D．36 2.（2025高二上·江苏·月考）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·广东江门·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 4.（2024·浙江舟山·高二统考期末）已知事件，且，如果与互斥，那么；如果与相互独立，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·安徽滁州·月考）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6.（2024·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．18 D．20 7. 如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（       ） A．6π B．10π C．8π D．12π 8.（2024·辽宁辽阳·期末）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（2024·福建厦门·期末）已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（    ） A．甲组数据的第70百分位数为23 B．甲、乙两组数据的极差相同 C．乙组数据的中位数为24.5 D．甲、乙两组数据的方差相同 10.（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知，，，且四边形是矩形，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的方程为 C．四边形的面积为6 D．以为直径的圆的方程为 11.已知圆，点.过点作圆的两条切线，为切点，则下列说法正确的有（ ） A.当时，不存在实数，使得线段长度为整数 B.若是圆上任意一点，则的最小值为 C.当时，不存在点，使得的面积为1 D.当且时，若在圆上总是存在点，使得，则此时 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率） ． 13.（2024·湖南·高二联考）已知为双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线分别交双曲线的左、右两支于两点（如图）.若构成以为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .    14. 如下图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为2，P为内（含边界）一点，M、N分别为AC、BC的中点，给出下列几个命题： ①若P为的中点，则过A、P、B三点的平面截三棱柱表面的图形为等腰梯形； ②若P为的中点，则三棱锥的体积； ③若P为的中点，则 ④若与平面所成的角与二面角大小相等，则满足条件的点P的轨迹是抛物线的一部分. 其中正确的命题有_______.（写出所有正确命题的序号） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（2025·高二·天津静海·期中）已知圆经过、、三点 (1)求圆的标准方程. (2)求点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程. 16.（24-25·辽宁大连·高二统考期末）大连市某高中对该校高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生的数学成绩，将成绩按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计该校高一全体学生数学成绩的分位数； (3)现从成绩在和的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中再随机抽取2名学生，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的概率． 17.（2024·陕西咸阳·期末）已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，. (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值. 18. （2025·山西晋中·期中）如图，四棱锥的底面为正方形，，且.    (1)求证：平面平面. (2)若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. （i）求点到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 19.（2024·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心.    (1)求椭圆的离心率； (2)如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值； (3)试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟试题2 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第9-10章（统计、概率）+选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2025·山东潍坊·高二上月考）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个号码为（   ） 随机数表如下0154  3287  6595  4287  5346 7953  2586  5741  3369  8324 4597  7386  5244  3578  6241 A．13 B．32 C．44 D．36 【答案】C 【详解】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，如下： 32，58，65，74，13，36，98，32，44；其中58，65，74， 98不在编号范围内，舍去， 再去除重复的，剩下的号码为：32， 13，36，44； 所以选取的第四个号码为44. 故选：C. 2.（2025高二上·江苏·月考）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为，故选：B. 3.（24-25高二上·广东江门·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】因为，， 所以， ， 因为， 所以，解得，故选：C 4.（2024·浙江舟山·高二统考期末）已知事件，且，如果与互斥，那么；如果与相互独立，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如果事件与互斥，则，所以. 如果事件与相互独立，则事件与也相互独立， 所以， ，即. 故选：C. 5.（2025·安徽滁州·月考）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为． 故选：B. 6.（2024·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．18 D．20 【答案】B 【详解】依题意抛物线的准线为，即，解得， 所以抛物线方程为，则焦点为，又，所以，解得， 所以， 所以，所以直线的方程为， 由，消去整理得，解得、， 即， 所以. 故选：B 7. 如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（       ） A．6π B．10π C．8π D．12π 【解析】，， ， 又、、两两相互垂直， ，即， ，， ，则为直角三角形， 又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径， 则三棱锥的外接球的表面积． 故选：C． 8.（2024·辽宁辽阳·期末）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为平行四边形． 设，则． 因为，所以， 又因为，所以，所以． 在中，， 由余弦定理得， 所以，所以． 故选：B.    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（2024·福建厦门·期末）已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（    ） A．甲组数据的第70百分位数为23 B．甲、乙两组数据的极差相同 C．乙组数据的中位数为24.5 D．甲、乙两组数据的方差相同 【答案】BD 【分析】根据已知平均数的关系求得，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可. 【详解】由题设，，所以， 甲组数据中，故第70百分位数为24，A错； 甲乙组数据的极差都为5，B对； 乙组数据从小到大为，故其中位数为，C错； 由上易知：甲的平均数为，乙的平均数为， 所以甲的方差为， 乙的方差为， 故两组数据的方差相同，D对. 故选：BD 10.（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知，，，且四边形是矩形，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的方程为 C．四边形的面积为6 D．以为直径的圆的方程为 【答案】ABD 【分析】利用两点斜率公式计算斜率求解判断A；结合矩形对边平行及两点式斜率公式求得直线的斜率，然后代入点斜式直线方程并化简即可判断B；利用两点距离公式求出，即可求解矩形面积判断C；根据矩形性质转化为求以为直径的圆的方程，求出圆心和半径，即可求解圆的方程判断D. 【详解】对于A，因为，，所以直线的斜率为，正确； 对于B，由，得直线的斜率为，所以直线的斜率为1， 又，所以直线的方程为即，正确； 对于C，因为，，，所以，， 所以矩形的面积为，错误； 对于D，根据矩形性质可知，以为直径的圆也是以为直径的圆， 则圆心为AC中点即，半径为， 所以所求圆的方程为，即，正确. 故选：ABD 11.已知圆，点.过点作圆的两条切线，为切点，则下列说法正确的有（ ） A.当时，不存在实数，使得线段长度为整数 B.若是圆上任意一点，则的最小值为 C.当时，不存在点，使得的面积为1 D.当且时，若在圆上总是存在点，使得，则此时 【答案】ACD 【解析】：当时，圆，圆心，半径， 易知点在直线即上， ∴，所以当有最小值时，有最小值， ，此时，又因为， 所以，故无整数值，A对； 的圆心为，所以圆心在直线上，又因为点在直线上，易知直线和直线平行，且两直线间的距离为，所以圆上的点与点的距离最小值为，所以B错; 时，圆，圆心，半径， 由选项A可知，点在直线上， ∴ 设，则，设和交于点，则由射影定理可得： ∴ 所以不存在点，使得的面积为1，所以对； 因为与圆相切，所以. ，最短时，此时 ∴，解得 因为，所以，故，故对. 故选择ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率） ． 【答案】/ 【分析】计算出摸到黑球且回答“是”的人数，可求得摸到白球且回答“是”的人数，即可求得结果. 【详解】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到个白球或黑球的概率均为， 所以，人中回答第一个问题的人数为，则另外人回答了第二个问题， 在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为，即摸到黑球且回答“是”的人数为， 则摸到白球且回答“是”的人数为， 所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为. 故答案为：. 13.（2024·湖南·高二联考）已知为双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线分别交双曲线的左、右两支于两点（如图）.若构成以为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .    【答案】 【详解】由题意可得，由双曲线的定义及点在右支上，， 又点在左支上，则，则， 在中，由余弦定理可得， 而与渐近线垂直，于是，即，从而得， 所以，即，化简得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 14. 如下图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为2，P为内（含边界）一点，M、N分别为AC、BC的中点，给出下列几个命题： ①若P为的中点，则过A、P、B三点的平面截三棱柱表面的图形为等腰梯形； ②若P为的中点，则三棱锥的体积； ③若P为的中点，则 ④若与平面所成的角与二面角大小相等，则满足条件的点P的轨迹是抛物线的一部分. 其中正确的命题有_______.（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②④ 【解析】①项，当P为的中点时，如图1，取中点Q，连接PQ、BQ，则，过A、P、B三点的截面即为梯形，且易求得，故①项正确， ②项，如图1，连接BM，则，，所以平面，，故点B到平面的距离为，又N是BC中点，所以点N到平面的距离为，，从而三棱锥的体积，故②项正确， ③项，如图1，取AB中点T，连接NT，，则NT和均平行于AC，故，且，所以四边形为平行四边形，从而，显然与相交，所以PN与不平行，故③项错误， ④项，如图2，作平面于S，连接AS，则即为直线AP与平面所成的角，作于R，连接，则（或重合），因为，所以平面，从而，故是二面角的平面角，若，则，即，即，故点S到点A的距离等于点S到直线的距离，所以点S的轨迹是抛物线的一部分，从而点P的轨迹也是抛物线的一部分，故④项正确. 故答案为：①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（2025·高二·天津静海·期中）已知圆经过、、三点 (1)求圆的标准方程. (2)求点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程. 【解析】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）设中点为，圆上任一点， 因为，所以 整理得 ， 代入圆的方程得，整理得，   所以中点的轨迹方程为； 16.（24-25·辽宁大连·高二统考期末）大连市某高中对该校高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生的数学成绩，将成绩按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计该校高一全体学生数学成绩的分位数； (3)现从成绩在和的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中再随机抽取2名学生，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的概率． 【答案】(1)0.01 (2)115分 (3) 【详解】（1）由题意有，解得. （2）由题意的学生数占比， 的学生数占比， 所以该校高一全体学生数学成绩的分位数在区间内， 所以设该校高一全体学生数学成绩的分位数为分，则， 解得，所以该校高一全体学生数学成绩的分位数为115分. （3）成绩在和的两组学生人数分别有人，人， 用分层抽样的方法抽取5名学生，则在和的两组学生中被抽取的分别有人，不妨设为，人，不妨设为， 抽取的这两人的所有可能的情况为：， 抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的情况共有9种， 所以抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的概率为. 17.（2024·陕西咸阳·期末）已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，. (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值. 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）由题知，点的横坐标为， ∴，， ∴，∴，解得， ∴抛物线的方程为.    （2）由（1）知，设，，直线的方程为， 代入，整理得，∴，即， ∴，， ∴ .    18. （2025·山西晋中·期中）如图，四棱锥的底面为正方形，，且.    (1)求证：平面平面. (2)若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. （i）求点到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理解题； （2）（i）建立直角坐标系，根据，得出点坐标，再求平面的法向量，最后利用距离公式即可； （ii）求平面的法向量，再求，进而即得. 【详解】（1）在中，，得， 则，即， 因为四边形为正方形，则， 又因，平面，平面，则平面， 又因平面，则平面平面. （2）（i）以点为坐标原点，分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 得，即， 因， ，且， 则， 因，则，即， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为.    （ii）， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为. 19.（2024·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心.    (1)求椭圆的离心率； (2)如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值； (3)试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)为定值， 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，解得， 所以椭圆E的的离心率. （2）设直线的方程为， 联立，得， 设，，，则，， 因为原点为的重心，所以，， 所以. （3）因为原点为的重心，所以当直线的斜率不存在时，必有或， 当时，直线的方程为；当时，直线的方程为， 将或者代入椭圆方程，均求得， 又点到直线的距离均为3，因此. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由（2）知，， ，， 因为在椭圆上，代入椭圆方程可得， 化简得， 又 ， 到直线AB的距离为： ， 所以为定值. 综上所述，的面积是为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $