圆锥曲线不联立之斜率双用讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦圆锥曲线斜率双用专题，整合椭圆、双曲线、抛物线的斜率关系及中点弦、第三定义等核心考点，按知识梳理、典型问题分析、课后巩固训练的逻辑架构展开。通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，帮助学生系统突破解析几何计算难点。 讲义以“不联立”思想优化解题流程，创新采用斜率转化与两点式构造结合的方法，如例1通过斜率和为-1构造直线方程证明定点，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础巩固与综合应用分层练习，配合即时反馈，确保高效突破难点，助力学生提升解析几何应考能力，为教师提供精准复习指导。

圆锥曲线不联立之斜率双用 知识梳理：斜率双用是根据题设中的斜率关系，通过设点再利用中点弦（点差法）、圆锥曲线方程、第三定义等方法对斜率进行转化，经过两次使用斜率构造出直线的两点式，以达到求解定值定点等相关问题。 斜率双用使用必备知识： 一.直线方程的两点式： 二.关于斜率的结论： 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 4、已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时，有，当焦点在y轴即椭圆方程为时，为， 5、已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时有，。 注：第三定义及对应的结论在小题中可以直接使用，在大题中不能直接使用． 6、图中，为椭圆的切点，则； 7、图中，为线段的中点（，分别在双曲线的两条渐近线上），则． 典型问题分析 【例 1】已知椭圆 ,四点 , 中恰有三点在椭圆上. (1) 求的方程; (2) 设直线不经过 点且与 相交于两点,若直线与直线的斜率的和为-1,证明: 过定点 【解析】 (2) 设 ; 即 ; 由 ; 即 ; 即 ; 即 ; 即 ; 由两点式可得直线 的方程为: ; 对照得: 定点(2, - 1) 【例 2】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆 上的点到焦点距离的最大值为3 ,最小距离为1 (1)求椭圆 的方程； (2)若直线 与椭圆 相交于 两点 ( 不是左右顶点),且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点,求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标 【解析】 (2) 由点差法可得: ; 设 分析可知: ; 即 ; 即 ; 即 ; 相减作差得: ; 由两点式可得直线 的方程为: ; 故过定点 【例 3】已知椭圆 经过点 ,且焦距 ,线段 分别是它的长轴和短轴. (1)求 的方程； (2)若 是平面上的动点,直线 与椭圆 的另一个交点分别为 , 证明: 经过定点. 【解析】 (2) 设 ; 由点差法模型: ; 由题可知 由两点式 对比可得: 直线 恒过定点(4,0) 【例 4】已知中心在原点 的椭圆 的左焦点为 与 轴正半轴交点为 ,且 (1)求椭圆 的标准方程； (2)过点 作斜率为 的两条直线分别交 于异于点 的两点 ； 证明: 当 时,直线 过定点. 【解析】(1) ; (2) 由题意可得: 点差法模型: 设 ; 所以作差得: 由两点式: 恒过点 【例 5】已知点 是椭圆 上一点,点 分别为 的左,右焦点,且 的面积为 . (1)求椭圆 的方程； (2) 设 ,过点 作直线 ,交椭圆 于异于点 的 两点,直线 的斜率分别为 ; 证明: 为定值. 【解析】(1) (2) 点差法模型: ; 设 ; 作差得: 两点式: ; 且恒过点 ; ; 所以 【例 6】已知椭圆 经过点 ,右焦点为 (1)求椭圆方程； (2)若直线 与 交于 两点,且直线 与 的斜率互为相反数,求 的中点 与 的最小距离 【解析】(1) (2) 设 ; 由 ; 即 ; 由 ; 即 ; 即 ; 即 ; 作差得: ; 令 中点 ; 即 ; 即 ; 即 ; 所以 的最小值 课后巩固训练 1 ，已知 , 是椭圆 的左,右焦点, 是 上一点, 的面积为 . (1)求椭圆 的标准方程； (2) 过 作两条互相垂直的直线与 分别交于 和 ,若 分别为 和 的中点. 证明: 直线 恒过定点,并求出定点坐标. 【解析】(1) (2) 设 ; 由点差法可得: ; 由 ; 作差: ; 由两点式: ; 对比可得: 恒过定点 . 2，已知双曲线 的左焦点 到其渐近线的距离为 ,点 在 上 (1)求 的方程； (2)若直线 与 交于 (不与点 重合) 两点,记直线 的斜率分别为 , , ；且 ,是否存在 ,使得 ？若存在,求出 的值和直线 的方程 【解析】(1) (2) 设 ; 即 ; 即 ; 由 ; 故 ; 即 ; 即 ; 由 ; 即 ; 直线 恒过定点(2,0); 令 的中点 ; 即 ; 即 ; 由 ; 即 ; 即 ; 即 故 ; 所以 3，平面直角坐标系 中, 为坐标原点,抛物线 的焦点为 ,点 在抛物线 上,且 关于原点的对称点为 ,圆 的半径为 4,以 为圆心的动圆过 且与圆 相切 ( 1 )求动点 的轨迹曲线 的方程； (2)四边形 内接于曲线 ,点 , 分别在 轴正半轴和 轴正半轴上,设直线 的斜率分别是 ,且 ( ) 记直线 的交点为 ,证明:点 在定直线上； (ii) 证明: 【解析】 (2) 设 ; 即 ; 即 (ii) 由 ; 设 ; 即 ; 即 ; 由点差法可得: ; 即 ; 即 ; 即 ; 即 4 ，已知双曲线 的中心是坐标原点,对称轴为坐标轴,且过 两点 (1)求 的方程； (2) 设 三点在 的右支上, ; 证明 ( )存在常数 ,满足 ； (ii) 的面积为定值 【解析】设 ; 由 ; 即 ; 即 ; 由 ; 即 ; 即 ; 即 ; 由 ; 由 (1) 可得 ; 即 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线不联立之斜率双用 知识梳理：斜率双用是根据题设中的斜率关系，通过设点再利用中点弦（点差法）、圆锥曲线方程、第 三定义等方法对斜率进行转化，经过两次使用斜率构造出直线的两点式，以达到求解定值定点等相关 问题。 斜率双用使用必备知识： 一.直线方程的两点式：y-上=X-台x,-x=x0-y)-y(,-x) y2-y x2-x 二.关于斜率的结论： 1小若横图与直线1交于B两点，M为B中点，且u与w斜率存有时，则koK=- a;(焦点在 x轴上时，当焦京在y错上时，太a人= b2 若AB过椭圆的中心，P为椭圆上异于AB任意一点，k:~K=一Q b2 （焦点在x轴上时)，当焦点在y轴 上时，kpA·KPB= b2 b2 2、双曲线中焦点在x轴上为koM·kB= 2·点春至y迪丙kO4·B一， 3、设直线1与抛物线y=2r相交所得的弦4B的中点坐标为(xo,y,),则k=巴 4、已知点(x,B(-6,%)是关于原点对称的两个点，如图，且当点P(x,)不与点4(，， B-,-%),C(,-,D(-,)重合时，有kp4kp=-l,当焦点在y轴即椭圆方程为 c器+等=a>b>0小时为kww=g, 5、已知点Axo,y),B(-x,-y是关于原点对称的两个点，如图，且当点P(x,y)不与点A(x,y), B(-x,-%),C(x,-,D(-xo)重合时有KpA'kpB=e2-1,e>1。 D 注：第三定义及对应的结论在小题中可以直接使用，在大题中不能直接使用。 6、图中，Q为椭圆的切点，则kok线=e2-1； 0 7、图中，Q为线段AB的中点(A,B分别在双曲线的两条渐近线上)，则ko0k4B=e2-1. 米 典型问题分析 【例1】已知椭圆C:等+岁=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P（-1,)P4（1,) 中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程； (2)设直线1不经过P2点且与C相交于AB两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：1过定点 【例2】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小距离为1 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线：y=kx十m与椭圆C相交于AB两点（AB不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过 椭圆C的右顶点，求证：直线】过定点并求出该定点的坐标 【例31已知椭圆E:器+罗=1(a>b>0)经过点M(1)且焦距1R1F2=25线段 AB,CD分别是它的长轴和短轴 (1)求E的方程 (2)若N(1,t)是平面上的动点，直线NANB与椭圆E的另一个交点分别为P,Q,证明：PQ经过 定点. 【例4】已知中心在原点0的椭圆C的左焦点为F1(-1,0),C与y轴正半轴交点为A,且 LAF10=号 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点A作斜率为k1k2(k1k2≠0)的两条直线分别交C于异于点A的两点M,N；证明：当 K1 k2=÷时，直线MN过定点 【例51已知点M是椭圆C:等+岁=1(a>b>0)上一点点FF2分别为C的左右焦点且 P,P2=4,∠R,MP2=60△P,MR2的面积为 (1)求椭圆C的方程 (2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线1，交椭圆C于异于点N,P的AB两点，直线 NANB的斜率分别为k1k2;证明：k1十k2为定值 【例61已知椭圆T:等+=1(a>b>0)经过点A(2,3)右焦点为F(2,0) (1)求椭圆方程， (2)若直线1与了交于B,C两点，且直线AB与AC的斜率互为相反数，求BC的中点M与F的最 小距离 课后巩固训练 1,已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆E:等+罗=1的左右焦点，P是E上一点， PF1⊥PF2△F1PF2的面积为V3 (1)求椭圆E的标准方程， (2)过F2作两条互相垂直的直线与E分别交于AB和C,D,若M,N分别为AB和CD的中点. 证明：直线MN恒过定点，并求出定点坐标. 2,已知双曲线C:等-=1(a>0,b>0)的左焦点F到其渐近线的距离为5点A(1,0)在 C上 (1)求C的方程； (2)若直线1与C交于M,N(不与点A重合)两点，记直线AM,AN,1的斜率分别为k1,k2,k: 且kk1十kk2=一6，是否存在k,使得|FM|=|FN|？若存在，求出k的值和直线1的方程 3,平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,点W在抛物 线C上，且|FW|=20F孔，|0W1=V5;F关于原点的对称点为F',圆F的半径为4，以Z为圆心 的动圆过F且与圆F相切 (1)求动点Z的轨迹曲线E的方程； (2)四边形ABCD内接于曲线E,点A,B分别在X轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC,BD的 斜率分别是k1k2,且k1k2=寻 (i)记直线AC,BD的交点为G,证明：点G在定直线上； i证明：AB//CD 4,已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(一2,0)，B(一4,3)两点 (1)求C的方程； (2)设P,M,N三点在C的右支上，BM//AP,AN//BP;证明 (i存在常数入，满足0M+0=λ0； (i)△MNP的面积为定值