精品解析：2025-2026学年北师大版数学八年级上册期末模拟练习

2025-2026北师大版数学八年级上册期末模拟练习 满分120分 时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，选项A、C、D都是有理数；选项B包含π，是无理数，据此解答即可． 【详解】解：A、0有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是分数，属于有理数，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，12 B. ，1 C. 8，15，16 D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、∵，∴6，8，12不是一组勾股数，本选项不符合题意； B、∵不是正整数，∴，1不是一组勾股数，本选项不符合题意； C、∵，∴8，15，16不是一组勾股数，本选项不符合题意； D、∵，∴9，12，15是一组勾股数，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 3. 在平面直角坐标系中，下列各点关于轴对称的点在第一象限的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点以及各象限点的坐标符号特征．关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；第一象限的点横坐标和纵坐标均大于0．据此解答即可． 【详解】解：A、关于y轴对称的点的坐标为，其横坐标，纵坐标，在第二象限，不符合题意； B、关于y轴对称的点的坐标为，其横坐标，纵坐标，在第三象限，不符合题意； C、 关于y轴对称的点的坐标为，其横坐标，纵坐标，在第一象限，符合题意； D、 关于y轴对称的点的坐标为，其横坐标，纵坐标，在第四象限，不符合题意； 故选：C． 4. 已知为第二象限内点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系，根据已知条件“点为第二象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：∵点为第二象限内的点， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，D选项符合题意． 故选：D． 5. 下列方程组是二元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程组定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，即可得出答案． 【详解】解：A、第二个方程值的xy是二次的，故该选项错误； B、符合二元一次方程组的定义； C、x2是二次的，故该选项错误； D、是分式，故该选项错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的基本概念，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数,且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组. 6. 比较3， , （ ） A. 3＜＜ B. 3＜＜ C. ＜3＜ D. ＜＜3 【答案】C 【解析】 【分析】先估算它们的大小，然后再比较即可． 【详解】∵<<， ∴3＜＜4， ∵<< ∴2<<3 ∴＜3＜ 故选C. 【点睛】本题主要考查的是比较实数的大小，掌握相关方法是解题的关键． 7. 如图，，下列推理正确的是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A ①② B. ②④ C. ②③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由，不能判定， 故①不符合题意； ∵，， ∴， ∴， 故②符合题意； 由，，不能判定， 故③不符合题意； ∵，， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 8. 如图，一棵大树在离地面6米高的处断裂，树顶落在离树底部的8米处，则大树断裂之前的高度为（ ） A. 10米 B. 16米 C. 15米 D. 14米 【答案】B 【解析】 【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】由题意得BC=6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB==10米． 所以大树的高度是10+6=16米． 故选：B． 【点睛】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接用算术法求解． 9. 若一组数据，，，…，的平均数为5，方差为4，则对于数据，，，…，，平均数和方差分别是（ ） A. 2，1 B. 2，4 C. 5，4 D. 5，1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质及计算公式直接求解可得． 【详解】解：∵数据的平均数为5， ∴数据，，，…，的平均数是； ∵数据的方差为4， ∴数据，，，…，的方差不变，也是4， 故选：B． 【点睛】本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有n个数据，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变． 10. A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程（千米）与时刻（小时）之间的关系．下列说法： ①乙晚出发1小时； ②乙出发3小时后追上甲； ③甲的速度是4千米/小时； ④乙先到达B地． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】根据函数的图像直接读取信息：①乙比甲晚出发1小时，正确； ②乙应出发2小时后追上甲，错误； ③甲的速度为12÷3=4（千米/小时），正确； 甲到达需要20÷4=5（小时）；乙的速度为12÷2=6（千米/小时）， ④乙到达需要的时间为20÷6=3（小时），即乙在甲出发4小时到达，甲5小时到达，故乙比甲先到，正确． 故选C 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质．从图象得到必要的信息和数据是解题关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有__________个无理数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断每个数即可． 【详解】解：3.16是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是无理数； 是分数，是有理数； 0是整数，是有理数； （每两个2之间依次多1个1）是无限不循环小数，是无理数； 1.3是有限小数，是有理数． 故无理数有2个． 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，在第二象限内有一点，点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据各象限内点的坐标特征，可得答案． 【详解】由题意，得 ，． ∵点P在第二象限内， ∴，， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 13. 、两地相距80km，一般从出发顺水行驶4小时能到达地，从出发逆水行驶5小时才能到达地，若设船在静水中的航行速度为km/h，水流速度km/h，则依题意，可得方程组___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，根据一艘船从A地出发，顺水航行4小时到B地；而从B地出发，逆水航行5小时到A地列出方程组解答问题即可． 【详解】由题意可知船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，根据一艘船从A地出发，顺水航行4小时到B地；而从B地出发，逆水航行5小时到A地得． 故答案为：． 【点睛】本题考查列二元一次方程组，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 14. 如图，将矩形折叠，折痕为对应边与交于点.若，则的度数为_______. 【答案】70度 【解析】 15. 如图，是一个计算程序，若输入x的值为64，则输出y的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的计算以及无理数的判断．解题的关键是按照计算程序的步骤，依次对输入值进行运算并判断结果是否为无理数，直至得到输出结果． 输入后，先求其立方根并判断是否为无理数；若不是，再求该结果的算术平方根并判断；若仍不是，继续按程序循环求立方根并判断，直至得到无理数作为输出． 【详解】解：输入， 第一步：求64的立方根，，是有理数，不输出； 第二步：求4的算术平方根，，2是有理数，不输出； 第三步：求2的立方根，是无理数，输出y． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、零次幂、解二元一次方程组等知识点，灵活运用相关运算法则和方法是解题的关键． （1）先运用约分、算术平方根、零次幂化简，然后再计算即可； （2）先化简方程组，然后运用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）可化为， 可得：,即，解得：， 将代入②可得，解得：， 所以该方程组的解为：． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、平方差公式、整式的加减法、二次根式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算单项式乘以多项式、平方差公式，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】解： ， 将代入得：原式． 18. 在学习了“勾股定理”和“实数”后，某同学以“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，在图中画出，同时构造正方形，且它的边，分别经过点，，借助此图便可求出的面积． （1）实践探究：在图所画的中，          ，          ，          ，          ． （2）在图的正方形网格中画出，使，，，并求出的面积． 【答案】（1） ；；； （2）画图见解析；4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、借助网格画图． (1)借助网格图，利用勾股定理求出各边的长度，再根据与正方形的位置关系求出的面积； (2)借助网格，利用勾股定理画出，利用网格求出的面积． 【小问1详解】 解：由图可知， ， ， ； ； 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：，，， 画图如下， 在一个的矩形网格内， ． 19. 如图，已知，求证：，以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：如图、过点作，   （        ）， ， （         ），           （两直线平行，内错角相等），                     ． 【答案】两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是过点作，把分成和的和，根据平行线的性质可证，，再利用等量代换证明结论成立． 【详解】证明：如图、过点作，   （两直线平行，内错角相等）， ， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， ． 20. 某旅行社组织甲、乙两个公司的部分员工赴某景点游览，其中预订的一类门票、二类门票的数量和所花费用如表： 一类门票张 二类门票张 费用元 甲公司 乙公司 根据上表给出的信息，求一类门票和二类门票的单价． 【答案】一类门票的单价为元，二类门票的单价为元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练根据题意列出等式是解题的关键．设一类门票的单价为元，二类门票的单价为元，分别利用甲乙两公司的费用列方程组求解即可． 【详解】解：设一类门票的单价为元，二类门票的单价为元， 则有， 解得， 答：一类门票的单价为元，二类门票的单价为元． 21. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有、、三种型号的纯电动汽车，每天的租金分别为元辆，元辆，元辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的纯电动汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 型号 平均里程 中位数 众数 （1）【分析数据】 小明共调查了_____辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； 在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_____； 由上表填空：_____，_____． （2）【判断决策】结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】（1）20，补全图形见详解72；430，450 （2）选择型号的纯电动汽车较为合适，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，众数和中位数的定义，样本估计总体，读懂图表，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）用“”的数量除以其占比可得型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； 用乘续航里程为的占比即可得出对应的圆心角度数； 分别根据中位数和众数的定义解答即可； （2）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【小问1详解】 解：（辆）， ∴小明共调查了20辆型纯电动汽车，“”的数量为：（辆）， 补全条形统计图如下： 在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中， “”对应的圆心角度数为：， 由题意得：，， 【小问2详解】 解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为， ∵型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求；，型号符合要求，但型号的租金比型号的租金优惠， ∴选择型号的纯电动汽车较为合适． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． （1）【问题初探】 点的坐标是________，点的坐标是________． 若是直线上一点，求直线的函数表达式． （2）【应用探究】 在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）【拓展延伸】 是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）存在， （3）或 【解析】 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； 先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出，设点D的坐标为，根据的面积等于的面积，列出方程，即可求解； （3）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点， 令，则；令，则， ∴，， 故答案为：，； ∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是． 【小问2详解】 解：存在点D，使的面积等于的面积；理由如下： 由（1）得：点A的坐标是．点B的坐标是， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得（舍）或， ∴； 【小问3详解】 解：设， 如图1，当B点的对称点在x轴负半轴上时， 由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴； 如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时， 由折叠可知，，， ∴， 在中，， 解得， ∴， 综上，或． 23. 【问题背景】 (1)如图1，在中，，过直角顶点作直线，于点， 于点，求证： 【尝试应用】 (2)如图2，在中，，点在外部，，面积为12且的长为6，求的面积． 【拓展创新】 (3)如图3，，点为内的一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上， 为等腰直角三角形，若，，直接写出的长用、的代数式表示 【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）的长为或或 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形的面积等知识，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用一线三垂直模型证明即可； （2）如图2，过作于，过作交DA的延长线于，根据三角形的面积公式可得，证明是等腰直角三角形，则，由同理得： ，则，最后根据三角形的面积公式即可解答； （3）分点为直角顶点，点为直角顶点，点为直角顶点，三种情况画出对应的示意图，通过作出辅助线构造全等三角形求解即可． 【详解】（1）证明：中，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）解：如图2，过作于，过作交DA的延长线于， 面积为12，且的长为6， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由同理得：， ， ； （3）解：分三种情况： ①如图3，当点为直角顶点时，过点作于， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②如图4所示，当点为直角顶点时，延长交射线于，过点作于， 同理可得， ，， 同理可证明是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， ； ③如图5所示，当点为直角顶点时，过点作于， 交的延长线于点， ，， ， ， 又， ， ，， ，，， （平行线之间的距离处处相等）， 设，则， 同理可得是等腰直角三角形， ， ， 解得， ； 综上所述，的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026北师大版数学八年级上册期末模拟练习 满分120分 时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数是（ ） A. 6，8，12 B. ，1 C. 8，15，16 D. 9，12，15 3. 在平面直角坐标系中，下列各点关于轴对称的点在第一象限的是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程组是二元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 6. 比较3， , （ ） A. 3＜＜ B. 3＜＜ C. ＜3＜ D. ＜＜3 7. 如图，，下列推理正确的是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A. ①② B. ②④ C. ②③④ D. ②③ 8. 如图，一棵大树在离地面6米高的处断裂，树顶落在离树底部的8米处，则大树断裂之前的高度为（ ） A. 10米 B. 16米 C. 15米 D. 14米 9. 若一组数据，，，…，的平均数为5，方差为4，则对于数据，，，…，，平均数和方差分别是（ ） A. 2，1 B. 2，4 C. 5，4 D. 5，1 10. A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程（千米）与时刻（小时）之间的关系．下列说法： ①乙晚出发1小时； ②乙出发3小时后追上甲； ③甲的速度是4千米/小时； ④乙先到达B地． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有__________个无理数． 12. 在平面直角坐标系中，在第二象限内有一点，点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为__________． 13. 、两地相距80km，一般从出发顺水行驶4小时能到达地，从出发逆水行驶5小时才能到达地，若设船在静水中的航行速度为km/h，水流速度km/h，则依题意，可得方程组___________ ． 14. 如图，将矩形折叠，折痕为对应边与交于点.若，则的度数为_______. 15. 如图，是一个计算程序，若输入x的值为64，则输出y的结果为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16 （1）计算： （2）解方程： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 在学习了“勾股定理”和“实数”后，某同学以“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，在图中画出，同时构造正方形，且它的边，分别经过点，，借助此图便可求出的面积． （1）实践探究：在图所画中，          ，          ，          ，          ． （2）在图的正方形网格中画出，使，，，并求出的面积． 19. 如图，已知，求证：，以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：如图、过点作，   （        ）， ， （         ），           （两直线平行，内错角相等），                     ． 20. 某旅行社组织甲、乙两个公司的部分员工赴某景点游览，其中预订的一类门票、二类门票的数量和所花费用如表： 一类门票张 二类门票张 费用元 甲公司 乙公司 根据上表给出的信息，求一类门票和二类门票的单价． 21. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有、、三种型号的纯电动汽车，每天的租金分别为元辆，元辆，元辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的纯电动汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 型号 平均里程 中位数 众数 （1）【分析数据】 小明共调查了_____辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； 在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_____； 由上表填空：_____，_____． （2）【判断决策】结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． （1）【问题初探】 点的坐标是________，点的坐标是________． 若是直线上一点，求直线的函数表达式． （2）【应用探究】 在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）【拓展延伸】 是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标． 23. 【问题背景】 (1)如图1，中，，过直角顶点作直线，于点， 于点，求证： 【尝试应用】 (2)如图2，在中，，点在外部，，面积为12且的长为6，求的面积． 【拓展创新】 (3)如图3，，点为内的一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上， 为等腰直角三角形，若，，直接写出的长用、的代数式表示 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $