2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册 期末复习讲义【培优篇】
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摘要：
该初中数学期末复习讲义通过考点分类系统构建知识体系，涵盖有理数、代数式、一元一次方程、线段与角等11个核心模块，以考点清单形式呈现知识脉络，明确重难点分布及内在逻辑联系。
讲义亮点在于分层练习设计，如新定义运算题培养抽象能力，《孙子算经》应用题强化模型意识，综合题提升推理能力。基础题巩固知识，拔高题拓展思维，助力不同层次学生提升，为教师实施精准培优提供有效支持。
内容正文：
2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】
期末复习满分冲刺讲义（培优篇）
考点01：有理数的引入
考点02：有理数的运算
考点03：用字母表示数
考点04：代数式与代数式的值
考点05：一次式
考点06：一元一次方程的概念
考点07：解一元一次方程
考点08：一元一次方程的应用
考点09：线段
考点10：角
考点11：综合题
考点01：有理数的引入
1．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．和互为相反数 B．非负数的绝对值是它本身
C．倒数是它本身的数是0和1 D．两个数平方后，原来较大的数仍较大
【答案】B
【知识点】有理数的乘方运算、相反数的定义、倒数、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了相反数、乘方以及绝对值的性质．根据相反数、乘方以及绝对值的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：A、和互为倒数，不是互为相反数，本选项不符合题意；
B、非负数的绝对值是它本身，本选项符合题意；
C、倒数是它本身的数是0和1，还有，本选项不符合题意；
D、两个数平方后，原来较大的数不一定较大，本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2024春•宝山区校级期末）数轴上点表示的数是，若数轴上点到点的距离等于，则点所表示的数是 ．
【分析】根据数轴上两点间的距离的意义，列出方程，解出即可．
【解答】解：设点表示的数是，
则，
解得或．
故答案为：或．
【点评】本题考查绝对值的几何意义，有理数的计算，以及简单一元一次方程方程的解法，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
3．（2024春•宝山区期中）当时，则一定是
A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0
【分析】根据绝对值的意义得到．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则．
4．（2024春•松江区期中）如果，化简： ．
【分析】根据绝对值的性质进行解题即可．
【解答】解：，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
5．（2024春•杨浦区校级期末）的最小值 ．
【分析】对整理变形可得，，其几何意义为表示的点到1与5，2与4，3三部分距离之和最小，借助数轴分析可得答案．
【解答】解：，
其几何意义为表示的点到1与5、2与4、3三部分距离之和最小，
借助数轴分析可得，当时，这三部分和最小，
则其最小值为6，
故答案为6．
【点评】本题考查绝对值的几何意义，即这个数表示的点到原点的距离．
6．（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，求一个数的倒数，先根据乘方计算法则求出原数，再根据乘积为1的两个数互为倒数即可得到答案．
【详解】解：，
因为，
所以的倒数是，
故答案为：．
7．（24-25六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组．
【答案】6
【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，绝对值的非负性，有理数乘法计算，根据绝对值的非负性可推出或，再分两种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵都是整数，
∴都是整数，
又∵，
∴或，
当时，则或，
∴此时有4对整数对满足题意；
当时，则，且，
∴，
∴此时有2对整数对满足题意；
综上所述，一共有6对整数对满足题意，
故答案为：6．
8．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为 .
【答案】3
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算．解题关键是理解新定义的含义和有理数的运算法则．
根据新定义，即可求出的值．
【详解】解：∵时，，时，，
∴．
故答案为：3．
考点02：有理数的运算
9．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，则 ．
【答案】8或/或8
【分析】本题考查有理数的乘方，先计算出x和y的值，再进行乘方运算．
【详解】解：，
，
当时，，
当时，，
故答案为：8或．
10. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根根据有理数乘法、乘方运算法则求解，即可判断．
【详解】A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算正确，符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数乘法、乘方运算，解题的关键是掌握有理数乘法、乘方运算法则．
11．（24-25六年级上·上海·期中）下列条式，计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相反数，绝对值，有理数的乘方，根据定义和运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
12．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；
②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；
③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；
④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个；
⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个；
⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是熟练使用运算法则进行计算．根据几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正．
【详解】解：①个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管正因数有多少个，积为0，故原说法错误；
②个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管负因数有多少个，积为0，故原说法错误；
③个不为0有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，故原说法错误；
④个有理数相乘，当积为负时，则负因数一定有奇数个，故原说正确；
⑤个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误；
⑥个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误；
故正确的有④共1个，
故选：A．
13．（24-25六年级上·上海青浦·期中）均为有理数，则下列说法中正确的个数有（ ）
（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查绝对值、有理数的乘方，根据的符号情况，找出反例，逐项判断即可．
【详解】解：当互为相反数时，，但，
故（1）错误；
若，则，故（2）正确；
当a为负数时，若，则，
故（3）错误；
当a为负数，若，则，
故（4）错误；
综上可知，正确的个数有1个，
故选B．
14．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有一种新定义运算：，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义的运算，有理数的混合运算，理解新定义的运算法则是解题关键．根据新定义的运算法则计算即可求值．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（24-25六年级上·上海青浦·期中）现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则 ．
【答案】67
【分析】此题是定义新运算题型．认真审题，读懂新运算的新规则，按新规则解答．
【详解】解：，，
，
．
故答案为：67．
16．（24-25六年级上·上海·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；先计算括号内的运算，乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可．
【详解】解：
；
17．（24-25六年级上·上海·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，先计算括号内的减法运算，再计算乘法与除法运算即可．
【详解】解：
18．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算：
【答案】
【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先用乘法运算律计算乘法，再算括号里面的，再把除法转化成乘法计算即可．
【详解】解：
19．（23-24六年级下·上海·期末）计算：．
【答案】55
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键．根据有理数的混合运算法则先计算乘方，绝对值，利用乘法分配律去掉括号，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
20．（23-24六年级下·上海松江·期末）计算：．
【答案】9
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．熟练掌握运算顺序和运算法则，是解答本题的关键．
先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘法和乘方，最后算加减法即可．
【详解】解：
．
21．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
先计算乘方和括号内运算、再计算乘法，最后计算加法即可．
【详解】
．
考点03：用字母表示数
22（24-25六年级上·上海金山·期末）3个连续奇数中，n为最大的奇数，则这3个数的和为 .
【答案】3n-6.
【分析】依题意写出这三个奇数，即可求解.
【详解】∵3个连续奇数中，n为最大的奇数，
∴这3个数为n-4,n-2,n，故这3个数的和为3n-6.
故填：3n-6.
【点睛】此题主要考查代数式，解题的关键是熟知奇数的定义.
23．（24-25六年级上·上海静安·课后作业）
（1）用式子分别表示15个足球和个羽毛球所需钱数．
（2）根据这个式子，求出时，买足球和羽毛球分别用了多少钱？
（3）你还能提出哪些数学问题？用式子表示它们的数量．
【答案】（1）15a，2.5x（2）684元，17.5元（3）见解析
【分析】（1）利用足球的单价×数量=足球的总钱数、羽毛球的单价×数量=羽毛球的总钱数列出代数式即可；（2）把a=45.6、x=7分别代入（1）中的代数式求值即可；（3）结合已知条件和生活实际提出数学问题即可（答案不唯一，正确即可）.
【详解】（1）一个足球a元，买15个足球所需钱数为15a元；
一个羽毛球2.5元，买x个羽毛球所需钱数为2.5x元.
（2）把a=45.6代入15a得，15a=15×45.6=684（元）；
把x=7代入2.5x得，2.5x=2.5×7=17.5（元）.
答：买足球和羽毛球分别用了684元、17.5元钱.
（3）本题答案不为一，提出问题正确即可.
例如：买5双运动袜和4个足球需多少元钱？
运动袜一双d元钱，买5双运动袜需5d元钱，一个足球a元，买4个足球需4a元钱，
∴买5双运动袜和4个足球需（5d+4a）元钱.
【点睛】本题考查了列代数式及求代数式的值，本题第（3）问是一个开放性题目，通过自己提出问题进一步体会用字母表示数的代数思想.
考点04：代数式与代数式的值
24.（2024－25位育实验中学六上期末） “的倍与的平方的差”用代数式表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，明确给出文字语言中的运算关系，先求倍数和平方，然后求差.
【详解】解：根据题意得，
“的倍与的平方的差”用代数式表示为.
故答案为：.
【点睛】本题考查列代数式，解决问题关键是读懂题意，注意抓住关键词，明确题中给出文字语言中的运算关系是解答此题的关键.
25. （2024-25建平中学六年级上期末）现有a 千克的盐，b千克的水，混合后的盐水浓度是________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查比的应用，熟练掌握化简比的方法是解题的关键．首先，利用溶质的质量等于溶液的质量求出这两种溶液中溶质的质量，然后利用总的溶质的质量除以总溶液的质量，即可解答，即用盐的质量除以盐水的质量，即可计算出盐水浓度是多少．
【详解】解：混合后的盐水浓度是：，
故答案为：．
26. （2024-25建平中学六年级上期末）某商店9月份的销售额为万元，在10月份和11月份这两个月份中，此商店的销售额平均每月增长，那么11月份此商店的销售额为__万元（用含有、的代数式表示）．
【答案】a(1+)2.
【解析】
【分析】10月份此商店的销售额为a(1+)万元，11月份此商店的销售额为a(1+)(1+)万元.
【详解】解：由题意可知11月份此商店的销售额为a(1+)(1+)=a(1+)2万元.
故答案为a(1+)2.
【点睛】理解10月份的销售额是以9月份为基础进行增长，而11月份又是以10月份为基础进行增长的，此为解题关键.
27. （2025嘉定区六年级期末）一个正方形和四个全等的小正方形按图①②两种方式摆放，若把图②中未被小正方形覆盖部分（图②中的阴影部分）折成一个无盖的长方体盒子，则此长方体盒子的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知：折成一个无盖的长方体盒子的长、宽为b，高为，由此列式得出答案即可．
【详解】解：由题意可知：折成一个无盖的长方体盒子的长、宽为b，高为，
长方体盒子的体积为．
故选：C．
【点睛】此题考查列代数式，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
28．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）某超市的苹果价格如图，试说明代数式的实际意义 ．
【答案】苹果7.9元一斤，用100元买斤苹果，剩余多少钱
【分析】根据题意写出代数式的实际意义即可，根据苹果7.9元一斤，可得用100元买斤苹果，剩余多少钱．
【详解】代数式的实际意义为：苹果7.9元一斤，用100元买斤苹果，剩余多少钱．
故答案为：苹果7.9元一斤，用100元买斤苹果，剩余多少钱．
【点睛】本题考查了代数式的实际意义，理解题意是解题的关键．
29．（2025六年级上·上海崇明·专题练习）若m，n互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了整式的加减－化简求值以及相反数的定义．去括号后合并同类项，直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】解：∵m、n互为相反数，
∴，
则
．
故答案为：．
30. （2024学年文绮中学六年级期未）如果，那么的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，将已知式子的值作为整体代入求值即可得．
【详解】解：∵，
∴
∴
；
故答案为：．
考点05：一次式
31. （2024-2025杨浦区期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
根据整式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：根据题意得，
，
故答案为： ．
32. （2024－25位育实验中学六上期末）如图，一个大长方形场地割出如图所示的“L”型阴影部分，请根据图中所给的数据，解决下列问题：
（1）用含的代数式表示阴影部分的周长并化简；
（2）若米，米时，要给阴影部分场地围上价格每米元的围栏功能区，请计算围栏的造价．
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，有理数的乘法的应用等知识．熟练掌握整式的加减，代数式求值，有理数的乘法的应用是解题的关键．
（1）由题意可知，阴影部分的周长与长和宽分别为，的长方形的周长相同，则阴影部分的周长为，化简求解即可；
（2）当米，米时，（米），根据造价为，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，阴影部分的周长与长和宽分别为，的长方形的周长相同，
∴阴影部分的周长为；
【小问2详解】
解：当米，米时，（米），
∵（元），
∴造价为元．
考点06：一元一次方程的概念
33. （2024学年文绮中学六年级期未）下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，属于一元一次方程的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次方程定义逐项判断即可．
【详解】①分母含有未知数，不符合一元一次方程定义；
②符合一元一次方程的定义；
③符合一元一次方程的定义；
④未知项的最高次数为2，不符合一元一次方程的定义；
⑤符合一元一次方程的定义；
⑥含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义．
故②、③、⑤是一元一次方程．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义．满足是一元一次方程的条件是：只含有一个未知数且是整式方程，未知数的指数为1，未知数的系数不为0．
34. （2025上海实验学校六年级期末）在下列方程，，，中，一元一次方程有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可得出正确答案．
【详解】解：根据一元一次方程的定义，下列各方程，，，，，
为一元一次方程的有，共计1个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的知识，理解并掌握一元一次方程的定义是解题关键．
35．（23-24六年级下·上海长宁·期末）方程是关于x的一元一次方程，则 ．
【答案】2
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．据此可得出关于m、n的方程，可求出m、n的值，代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵5-xm-2+（n+1）y=0是关于x的一元一次方程，
∴m-2=1，n+1=0，
解得m=3，n=-1，
∴m+n=3-1=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程．解题的关键是掌握一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
36.（2024－25位育实验中学六上期末） 若是方程的解，则k的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解的定义是关键．
根据一元一次方程的解的定义进行计算即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，解得：．
故答案为：2．
37．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）关于x的方程有无穷多个解，则________（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次方程有无数个解的情况．
利用方程有无数多个解，可得，的值，即可求出的值．
【详解】解：
，
方程有无数多个解，
∴，，解得，，
∴，
故选：C．
考点07：解一元一次方程
38．（23-24六年级下·上海静安·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ．
【答案】
【分析】根据题意可排除x为非负数的情形，则考虑x正数的情形，然后解一元一次方程即可．
【详解】当x为正数时，则，
即x不可能为正数，故x为负数，
所以，
解得；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，关键是弄懂符号的含义，另外要考虑x的取值情况．
39．（23-24六年级下·上海·期末）关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______．
【答案】8或10
【分析】本题主要考查了根据一元一次方程解的情况求参数．正确求出，进而得到或，是解题的关键．
先按照解一元一次方程的方法求出方程的解，再根据方程的解为正整数进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
∵原方程解是正整数，
∴且为整数，
∴或，
解得：或，
故答案为：8或10．
40. （2025上海实验学校六年级期末）解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
41. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
【详解】
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
【点睛】本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．
42. （2024-2025下松江区期末）解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，
先将方程整理为，再根据去括号，移项，合并同类项，求出解即可．
【详解】解：整理，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得．
43. （2025上海实验学校六年级期末）解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
44. （2024-25建平中学六年级上期末）解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：．
考点08：一元一次方程的应用
45. 《孙子算经》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，那么可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设共有人，由每3人共乘一车，则余两辆空车可知车辆数为辆，由每2人共乘一车，则余9人步行可知车辆数为辆，据此列出方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
故选：B．
46. （2024-2025崇明区期末）长方形的长为厘米，它的宽比长的还短2厘米，周长为7厘米．可列方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握长方形的周长公式是解题的关键．
首先表示出长方形的宽，然后根据周长为7厘米列出方程即可解答．
【详解】解：长方形的长为厘米，则它的宽厘米，根据题意得
，
故答案为：．
47. 某校为了迎接“百年校庆”，计划购买个、两种盆景摆放在学校的迎宾路两旁为校庆典礼增姿添彩，已知种盆景每个元，种盆景每个元，若购进、两种盆景刚好用去元，试求该校购进、两种盆景各多少个？
【答案】购买种盆景个，种盆景个
【解析】
【分析】设学校购买种盆景个，那么购买种盆景个，根据“购进、两种盆景刚好用去元”得到等量关系：购进种盆景的钱数购进种盆景的钱数，依此列出方程，解方程即可．
【详解】解：设学校购买种盆景个，那么购买种盆景个，
依题意得，，
解得．
答：购买种盆景个，种盆景个．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
48．（23-24六年级下·上海崇明·期末）班级小书柜里有两层书，第一层比全部书的多50本，第二层是全部书的．那么班级小书架上共有书多少本？
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合计算，先根据题意列出等式，计算即可得到结果，正确计算是解题的关键．
【详解】解：设班级小书柜上共有书x本，
第一层的数量为：本，
第二层有：本，
∴，
解得：本，
答：班级小书柜上共有书本．
49．（23-24六年级下·上海松江·期末）甲乙两个车间工作人员的人数之比是，乙车间突然遇上紧急事件，急需增加人员，即刻从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是乙车间人数的，甲车间原有多少人？
【答案】甲车间原有54人
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲车间原有人，则乙车间原有人，根据从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是乙车间人数的列出方程求解即可．
【详解】解：设甲车间原有人，则乙车间原有人，
由题意得，，
解得，
∴，
答：甲车间原有54人．
50．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米．
【答案】9千米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键；
根据题意，设山路x千米，从营地回学校共用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟，根据平路的速度不变，所以时间也不变，多用掉的时间是因为上山的速度降低了，可得出方程，解出即可得到山路的路程．由此求出上山的时间，再求出平路的时间，根据速度乘时间等于路程求出平路的路程，最后求和即可．
【详解】55分钟=小时，1小时10分钟=小时，
设山路x千米，由题意得，
解得： ，
(小时)，
(小时) ，
(千米)，
(千米)，
答：营地到学校有9千米．
51．（23-24六年级下·上海松江·期末）新冠疫情造成洗手液紧缺，某工厂有210名工人生产免洗洗手液和一般洗手液，每人每天平均生产免洗洗手液80瓶，一般洗手液120瓶，工厂应分配多少工人生产免洗洗手液和一般洗手液，使得每天生产的免洗洗手液和一般洗手液可以按1：2配套出售．
【答案】工厂应分配90名工人生产免洗洗手液，120名工人生产一般洗手液
【分析】根据题意，找出等量关系式免洗洗手液瓶数：一般洗手液瓶数=1：2，表示出方程，求解即可．
【详解】解：设工厂应分配x名工人生产免洗洗手液，名工人生产一般洗手液，
由题意得：，
解得：，
所以，
答：工厂应分配90名工人生产免洗洗手液，120名工人生产一般洗手液．
【点睛】本题考查一元一次方程中的配套问题，熟练地掌握配套比列等量关系式是解决问题的关键，注意需要将比例式转化为整式方程．
52．（23-24六年级下·上海长宁·期末）一台手机进价是2800元，按照标价3400元的九折出售；一块电子手表进价是600元，按照标价的八折出售，结果每台手机的利润比每块手表的利润多140元，问手表的标价是多少元？
【答案】900元
【分析】设手表的标价是元，则手表的利润为元，然后根据手机和手表的利润差列方程求解即可；
【详解】解：设手表的标价是元，由题意列方程得：
，
，
，
答：手表的标价是900元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系列方程是解题关键．
考点09：线段
53．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，，点C是线段中点，点P是线段上的一点，，则线段的长度为 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了两点间的距离．先根据已知条件和线段中点的定义，求出，再根据，求出，从而求出答案即可．
【详解】解：∵，点C是线段中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
54．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得，根据中点的性质可得，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴
∵点、分别是、的中点，
∴
∴，
故答案为：．
55．如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义和线段的和差分别计算即可.
【解析】① ∵H是的中点，
∵分别是的中点，
.
∴①正确.
② 由①知
∴②错误.
③
∴③正确.
④
∴④正确.
综上，①③④正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差.根据线段的和差进行求解是解题的关键.
56．（23-24六年级下·上海·期末）如图，线段，E、F分别是、的中点，且，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，先设，，然后根据中点得到，，然后根据列方程求出a的值，然后根据计算即可．
【详解】解：设，，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
57．（20-21六年级下·上海静安·期中）在线段上取一点B，使得，，如果点D是线段的中点，那么线段的长度是 ．
【答案】1
【分析】先求出，即可得，再根据，问题得解．
【详解】∵，，
∴，
∵点D是线段的中点，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，理清各线段的关系，是解答本题的关键．
58．（20-21六年级下·上海闵行·期中）如图，线段被点C、D分成了三部分，且厘米，M、N分别为、的中点，求的长.
【答案】厘米
【分析】先求出的长度，再根据即可求解．
【详解】解：由题意得：厘米
厘米
厘米
∵M、N分别为、的中点
∴
∴厘米
【点睛】本题考查线段中的数量关系．确定是解题关键．
考点10：角
59. 如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么___________度．
【答案】180
【解析】
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，根据题意可得，根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：180．
60．（20-21六年级下·上海闵行·期中）如图，两块直角三角板顶点重合，，则重合部分的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角板中的角度计算．确定是解题关键．
先计算出，根据即可求出重合部分的角度．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
即重合部分的角度是．
故选：B．
61．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查角度的四则运算，掌握角度的四则运算法则是关键．根据角度的减法运算法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
62．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知轮船在码头的北偏东方向上，那么码头在轮船的（ ）
A．北偏东方向上 B．南偏西方向上
C．南偏西方向上 D．南偏东方向上
【答案】B
【分析】考查了方向角，此题很简单，只要熟知方向角的定义便可解答．
轮船在码头的北偏东方向上这是以轮船码头为基准的方位图，而要求码头在轮船的方位则是以为基准．
【详解】解：如图所示：
码头在轮船的南偏西方向上．
故选：B．
63. （2025嘉定区六年级期末）如图所示：O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数=__．
【答案】##72度
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角，角的计算，根据题意列方程是解题的关键．设，，把角用未知数表示出来，建立x的方程，即可得到结论．
【详解】解：因为
设，则，
因为是的平分线
则，
则，
即，
解得，
故．
故答案为：
64．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如果一个角的余角与这个角的补角的和为，那么这个角的度数是 ．
【答案】/30度
【分析】设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，根据题意列方程求出的值即可．
本题主要考查了余角和补角的定义：两个角的和为，则这两个角互余；两个角的和为，则这两个角互补．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
【详解】设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，根据题意得：
，
解得，
故答案为：．
65．（23-24六年级下·上海普陀·期末）如图，、、三点在一条直线上，如果，，那么的值等于 ．
【答案】45
【分析】根据平角的定义及补角的定义求解即可．
【详解】∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了平角的定义和补角的定义，即和为180度的两个角互为补角，熟练掌握平角的定义，列出一元一次方程是解题的关键．
66. 已知都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是，其中只有一人计算正确，他是_______．
【答案】乙
【解析】
【分析】本题重点考查了钝角的定义，大于90度小于180度的叫钝角，所以，，先计算的范围，再计算 的范围，即可确定哪一个是正确的．
【详解】解：∵，都是钝角，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，，四个结果中，只有48°是正确的．
所以算的正确的是乙．
故答案为：乙．
67. （2024-25建平中学六年级上期末）如图所示，将长方形纸片折一下，折痕为，再折，使、与叠合，折痕分别为、，则的度数为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据折叠的性质可得，再根据角的和差即可得．
【详解】由折叠的性质得：，
，
又，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、角的和差，掌握理解折叠的性质是解题关键．
68. （2024-2025下松江区期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线．
（1）若与互补，那么________°；
（2）若是的平分线，求的度数；
（3）若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查的是角的计算，根据的位置进行分类讨论是解题的关键．
（1）设，可得，根据与互补列出方程求出的值即可；
（2）根据角平分线的意义求出，即可得出绪论；
（3）根据求出，由是的平分线可得出，再分在的内部和外部两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：设，
∵平分，
∴，
∵与互补，
∴
∵
∴
解得，，
∴
故答案为：30；
【小问2详解】
解：∵平分，
∴
∵是的平分线，
∴
又
∵
∴；
【小问3详解】
解：∵且
∴
∴
∴
∵平分，
∴
∵与互余，
∴
∴
①若在内部时，如图，
则；
②若在外部时，如图，
则；
综上，或．
考点11：综合题
69．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点．
(1)求线段的长度；
(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度；
(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时：
①点P恰好为线段的中点？
②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外）
【答案】(1)厘米
(2)
(3)① ②或
【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案；
②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点,
厘米， 厘米，
厘米；
（2）∵点, 分别是的中点,
，
；
（3）解：①当 时，为线段的中点，，
解得；
②当时，是线段的中点，得
解得
当 时，为线段的中点，
解得
当时，为线段的中点，
解得(舍) ,
综上所述：或
70．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，．
(1)如图2，填空：当时，______．
(2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)30
(2)
(3)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案；
（2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案；
（3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定．
【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角，
∴，
又∵平分，
∴．
故答案为：30；
（2）当时，如图2，
∵是平角，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）当时（如图3），为定值．
理由如下：
∵是平角，，，
∴，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为定值，定值为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
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2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】
期末复习满分冲刺讲义（培优篇）
考点01：有理数的引入
考点02：有理数的运算
考点03：用字母表示数
考点04：代数式与代数式的值
考点05：一次式
考点06：一元一次方程的概念
考点07：解一元一次方程
考点08：一元一次方程的应用
考点09：线段
考点10：角
考点11：综合题
考点01：有理数的引入
1．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．和互为相反数 B．非负数的绝对值是它本身
C．倒数是它本身的数是0和1 D．两个数平方后，原来较大的数仍较大
2．（2024春•宝山区校级期末）数轴上点表示的数是，若数轴上点到点的距离等于，则点所表示的数是 ．
3．（2024春•宝山区期中）当时，则一定是
A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0
4．（2024春•松江区期中）如果，化简： ．
5．（2024春•杨浦区校级期末）的最小值 ．
6．（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是 ．
7．（24-25六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组．
8．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为 .
考点02：有理数的运算
9．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，则 ．
10. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11．（24-25六年级上·上海·期中）下列条式，计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
12．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；
②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；
③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；
④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个；
⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个；
⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（24-25六年级上·上海青浦·期中）均为有理数，则下列说法中正确的个数有（ ）
（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有一种新定义运算：，则 ．
15．（24-25六年级上·上海青浦·期中）现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则 ．
16．（24-25六年级上·上海·期中）计算：．
17．（24-25六年级上·上海·期中）计算：．
18．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算：
19．（23-24六年级下·上海·期末）计算：．
20．（23-24六年级下·上海松江·期末）计算：．
21．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）计算：．
考点03：用字母表示数
22（24-25六年级上·上海金山·期末）3个连续奇数中，n为最大的奇数，则这3个数的和为 .
23．（24-25六年级上·上海静安·课后作业）
（1）用式子分别表示15个足球和个羽毛球所需钱数．
（2）根据这个式子，求出时，买足球和羽毛球分别用了多少钱？
（3）你还能提出哪些数学问题？用式子表示它们的数量．
考点04：代数式与代数式的值
24.（2024－25位育实验中学六上期末） “的倍与的平方的差”用代数式表示为__________．
25. （2024-25建平中学六年级上期末）现有a 千克的盐，b千克的水，混合后的盐水浓度是________________．
26. （2024-25建平中学六年级上期末）某商店9月份的销售额为万元，在10月份和11月份这两个月份中，此商店的销售额平均每月增长，那么11月份此商店的销售额为__万元（用含有、的代数式表示）．
27. （2025嘉定区六年级期末）一个正方形和四个全等的小正方形按图①②两种方式摆放，若把图②中未被小正方形覆盖部分（图②中的阴影部分）折成一个无盖的长方体盒子，则此长方体盒子的体积为（ ）
A. B. C. D.
28．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）某超市的苹果价格如图，试说明代数式的实际意义 ．
29．（2025六年级上·上海崇明·专题练习）若m，n互为相反数，则的值为 ．
30. （2024学年文绮中学六年级期未）如果，那么的值为_______．
考点05：一次式
31. （2024-2025杨浦区期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______．
32. （2024－25位育实验中学六上期末）如图，一个大长方形场地割出如图所示的“L”型阴影部分，请根据图中所给的数据，解决下列问题：
（1）用含的代数式表示阴影部分的周长并化简；
（2）若米，米时，要给阴影部分场地围上价格每米元的围栏功能区，请计算围栏的造价．
考点06：一元一次方程的概念
33. （2024学年文绮中学六年级期未）下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，属于一元一次方程的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
34. （2025上海实验学校六年级期末）在下列方程，，，中，一元一次方程有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
35．（23-24六年级下·上海长宁·期末）方程是关于x的一元一次方程，则 ．
36.（2024－25位育实验中学六上期末） 若是方程的解，则k的值为__________．
37．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）关于x的方程有无穷多个解，则________（ ）
A． B．5 C． D．1
考点07：解一元一次方程
38．（23-24六年级下·上海静安·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ．
39．（23-24六年级下·上海·期末）关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______．
40. （2025上海实验学校六年级期末）解方程：．
41. 解方程：
42. （2024-2025下松江区期末）解方程：．
43. （2025上海实验学校六年级期末）解方程：．
44. （2024-25建平中学六年级上期末）解方程：．
考点08：一元一次方程的应用
45. 《孙子算经》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，那么可列方程（ ）
A. B.
C. D.
46. （2024-2025崇明区期末）长方形的长为厘米，它的宽比长的还短2厘米，周长为7厘米．可列方程为____________．
47. 某校为了迎接“百年校庆”，计划购买个、两种盆景摆放在学校的迎宾路两旁为校庆典礼增姿添彩，已知种盆景每个元，种盆景每个元，若购进、两种盆景刚好用去元，试求该校购进、两种盆景各多少个？
48．（23-24六年级下·上海崇明·期末）班级小书柜里有两层书，第一层比全部书的多50本，第二层是全部书的．那么班级小书架上共有书多少本？
49．（23-24六年级下·上海松江·期末）甲乙两个车间工作人员的人数之比是，乙车间突然遇上紧急事件，急需增加人员，即刻从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是乙车间人数的，甲车间原有多少人？
50．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米．
51．（23-24六年级下·上海松江·期末）新冠疫情造成洗手液紧缺，某工厂有210名工人生产免洗洗手液和一般洗手液，每人每天平均生产免洗洗手液80瓶，一般洗手液120瓶，工厂应分配多少工人生产免洗洗手液和一般洗手液，使得每天生产的免洗洗手液和一般洗手液可以按1：2配套出售．
52．（23-24六年级下·上海长宁·期末）一台手机进价是2800元，按照标价3400元的九折出售；一块电子手表进价是600元，按照标价的八折出售，结果每台手机的利润比每块手表的利润多140元，问手表的标价是多少元？
考点09：线段
53．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，，点C是线段中点，点P是线段上的一点，，则线段的长度为 ．
54．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ．
55．如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
56．（23-24六年级下·上海·期末）如图，线段，E、F分别是、的中点，且，则线段的长为 ．
57．（20-21六年级下·上海静安·期中）在线段上取一点B，使得，，如果点D是线段的中点，那么线段的长度是 ．
58．（20-21六年级下·上海闵行·期中）如图，线段被点C、D分成了三部分，且厘米，M、N分别为、的中点，求的长.
考点10：角
59. 如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么___________度．
60．（20-21六年级下·上海闵行·期中）如图，两块直角三角板顶点重合，，则重合部分的度数是（ ）
A． B． C． D．
61．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： ．
62．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知轮船在码头的北偏东方向上，那么码头在轮船的（ ）
A．北偏东方向上 B．南偏西方向上
C．南偏西方向上 D．南偏东方向上
63. （2025嘉定区六年级期末）如图所示：O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数=__．
64．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如果一个角的余角与这个角的补角的和为，那么这个角的度数是 ．
65．（23-24六年级下·上海普陀·期末）如图，、、三点在一条直线上，如果，，那么的值等于 ．
66. 已知都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是，其中只有一人计算正确，他是_______．
67. （2024-25建平中学六年级上期末）如图所示，将长方形纸片折一下，折痕为，再折，使、与叠合，折痕分别为、，则的度数为_______．
68. （2024-2025下松江区期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线．
（1）若与互补，那么________°；
（2）若是的平分线，求的度数；
（3）若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________．
考点11：综合题
69．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点．
(1)求线段的长度；
(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度；
(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时：
①点P恰好为线段的中点？
②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外）
70．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，．
(1)如图2，填空：当时，______．
(2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
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