2025-2026学年 人教版八年级数学上册三角形格点作图专题 专项训练
八年级上册格点作图专题
- 坐标变换：平移（右加左减x，上加下减y）、轴对称（x轴对称y变号，y轴对称x变号）；
- 三角形面积：割补法（矩形/梯形面积减周围直角三角形面积）、底×高÷2；
- 无刻度直尺作图：利用格点直角、等腰/全等三角形性质，作中线（找中点）、高线（垂直关系）、角平分线（等距性质）、中垂线（垂直且过中点）；
- 特殊角构造：45°角（等腰直角三角形的底角/顶角）；
- 最短路径：将军饮马问题（作对称点，转化为线段最短）。
1.如图，△ ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
(1)直接写出△ ABC的面积是______；
(2)请在图中作出△ ABC关于直线l对称的△ A,B,C,；
(3)用无刻度直尺作图(保留作图痕迹)．
①过点C作直线m，使直线m平分△ ABC的面积；
②在边AC上确定一点D，使∠CBD = 45°．
解答：面积=2
步骤： 
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① 用平行于网格线的矩形覆盖△ABC（假设矩形长2、宽2，面积=2×2=4）；
② 减去矩形内△ABC周围的3个直角三角形面积：
• 三角形1：底1、高1，面积=1×1÷2=0.5；
• 三角形2：底1、高2，面积=1×2÷2=1；
• 三角形3：底1、高2，面积=1×2÷2=1；
③ 总面积=4 - 0.5 - 1 - 1=2。
步骤：
① 过A、B、C分别作直线l的垂线（利用网格线，若l是竖直线，垂线水平；若l是斜线，找格点对称点）；
② 在垂线上截取与原点点到l距离相等的点，得到A₁、B₁、C₁；
③ 连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，即为所求（保留垂线痕迹）。
（3）① 过C作直线m平分△ABC面积
原理：三角形中线平分面积（等底等高）
步骤：
① 找AB的中点D（格点中AB两端点坐标(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，中点为((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)，若为小数，利用格点连线找中点）；
② 连接C、D，直线CD即为m（平分面积）。
原理：等腰直角三角形的底角为45°
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步骤：
① 以BC为直角边构造等腰直角三角形：找格点E，使BE=BC且BE⊥BC（例如B(3,1)、C(1,3)，取E(3,3)，则BE=2、CE=2，∠BEC=90°）；
② 连接BE，与AC的交点即为D，此时∠CBD=45°（等腰直角△BCE的底角）。
2.如图，在6× 6的网格中建立了平面直角坐标系，△ ABC为格点三角形．
(1)直接写出△ ABC的面积为______平方单位；
(2)使用无刻度的直尺作图；
①作出格点△ ABC’，使△ ABC’≌△ BAC；
②先找出格点M，使AM 丄 BC，垂足为D，直接写出∠ODB的度数为______．
③在所给的网格中，与△ ABC全等的格点三角形(△ ABC除外)共有______个．
解答：面积=4
步骤：
① 矩形覆盖△ABC（长3、宽3，面积=3×3=9）；
② 减去周围3个直角三角形面积：
• 三角形1：底3、高1，面积=3×1÷2=1.5；
• 三角形2：底2、高2，面积=2×2÷2=2；
• 三角形3：底1、高3，面积=1×3÷2=1.5；
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步骤：
① 观察AB方向，找垂直于AB的格点方向；
② 从C出发作垂直于AB的直线，与AB交于E，CE即为高线。
原理：网格线平行，方向一致
步骤：
① 观察AB的横向/纵向变化（例如右2上1）；
② 从F出发，按AB方向找格点，与BC的交点即为H，FH//AB。
原理：两次将军饮马
步骤：
① 作A关于a的对称点A'，作H关于b的对称点H'；
② 连接A'H'，与a交于M，与b交于N；
③ AM+MN+NH=A'M+MN+NH'=A'H'（最短）。
11.△ ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ ABC向右平移3个长度单位，再向下平移1个长度单位到
△ A1 B1 C1 ，△ A1 B1 C1 和△ A2 B2 C2 关于x轴对称，点A1 、B1 、C1 的对称点分别是点A2 、B2 、C2．
(1)画出△ A1 B1 C1和△ A2 B2 C2 ；(2)利用网格中的格点作出线段AC的中垂线； (3)若△ ABC 向右平移3个长度单位，此时△ ABC扫过的面积为______ ．
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