4 一次函数应用（二）寒假预习讲义 - 2025--2026学年人教版八年级数学下册（重庆专用）

一次函数应用（二） 【知识点1将军饮马最值模型】 1.“将军饮马”基础模型（两定一动） “将军饮马”基础模型（和最小） A将军 A将军 B军营 B'者 ·B军营 ·B军营 A将军 4将军 作点A关于直线的对称点A',连接PA',当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B,此时为最小值 (两点之间线段最短) “将军饮马”基础模型（差最大） A将军 《将军 B军营 B军营 P A将军 A将军 8. ·B军营 B军营 作点A关于直线的对称点A',连接PA',当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B,此时为最小值 (两点之间线段最短) 第1页 2.“将军饮马”变形 “点点型”将军饮马 “一定两动之点点”：求PM+MN4NP的最小值 分别作点P关于OA、OB的对称点，将PM+MN4WP转化为PM什MN+NP',当P'、M、N、P共线 时，和最小 一、将军饮马最值问题 (两定一动) 1.如图，点A(3,0)在x轴上，直线y=-x+6与两坐标轴分别交于B,C两点，D,P分别是线段 OC,BC上的动点，则PD+DA的最小值为 C A B 第2页 【变式】（重庆期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上， AB=AC,∠BAC=90°，且A(2,0)、B(3,3),BC交y轴于M, (1)求点C的坐标： (2)在x轴上有一动点P,当PB+PM的值最小时，求此时P的坐标. 2 M 备用图 第3页 2.(一中期中)如图，直线l1:y=x十a与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点B,点C在x轴上 点A的右边，AC=6,经过点C的直线l2与正比例函数y=一x的图象平行，直线1与直线l2相交 于点D (1)求直线2解析式和点D坐标； (2)点P为射线DA上一动点，y轴上有一动点M,连接PC,PM,DM,当S△PDc=9时，请求出点P 的坐标和DM+PM的最小值； B D 备用图 第4页 3.(八中月考)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=一x+4分别与x轴，y轴交于点A,B,点C 为y轴负半轴上一点，且满足40C=30A (I)求直线AC的解析式： (2)如图2，点E是线段AO的中点，点M,N分别是线段AB,OB上的两个动点.连接EM,MN, EN,当SAMAC-=号时，求点M的坐标和△MNE周长的最小值； y B B M 图1 图2 第5页 【练习】（重庆期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB:y=kx+4和直线 AC:y=-x+b的图象交于x轴上的点A,且分别交y轴于点B和C,已知BC=5 (I)求k,b的值： (2)如图2，点D为直线AB上一点，已知点D的横坐标为-专，点E为直线AC上一动点，点F为y轴上 一动点，连接DE、EF、DF.求△DEF周长的最小值和此时点F的坐标； y本 B D F 图1 图2 第6页 二、三角形存在性问题 (等腰三角形) (点在坐标轴上) 4.(一外月考)如图①，在平面直角坐标系中，点A(0,a),B(b,0),且a,b满足 √a-8)+(b+6)2=0,点C在x轴正半轴上，0C=0A,动点P从点B出发，以1个单位长 度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接AP,过点C作AP的 垂线交射线AP于点M,交y轴于点N. (1)点A的坐标为 点B的坐标为 (2)当△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，求点P的坐标； A A M B B PO B O 图① 图② 备用图 第7页 【练习】（育才月考）如图，直线：y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B,且与直线m相交于 点M(1,2),已知直线m经过点C(-1,0),且与y轴交于点D (I)求点A、B的坐标以及直线m的解析式： (2)若P为直线m上一动点，S△4PN=2S△BDM,求点P的坐标； (3)在x轴上是否存在一个动点Q,使得△ABQ为等腰三角形？若存在.请求出Q点的所有坐标，若 不存在，请说明理由 y M D 第8页 5.(重庆期末)如图，在平面直角坐标系中，直线山1与x轴、y轴分别交于点A(4,0),B(0,-2), 直线l2:y=-4x+m经过点C(1,0),且交y轴于点D,直线l2与直线1交于点E (1)求直线！1的解析式： (2)求△BDE的面积： (3)过点A,D作直线AD,并将直线AD向上平移3个单位后交1于点F,连接OF,若点P是y轴上一 动点，连结PP,当△P0F为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标. 第9页 (点在斜线上) 6.(巴蜀月考)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x一4与x轴，y轴分别交于A,B两点，12 与x轴，y轴正半轴分别交于C,D两点，D(0,6)且0C=0B (1)求直线l2的解析式： (2)如图2，若点P为直线AB上一点，连接PC,PD,当SADCP=6时，求此时P点的坐标； (3)若点E为直线yx-4上一动点，是否存在点E使AABE是以BE为腰的等腰三角形？若存在，请直 接写出点E的坐标，并写出其中一个点E的求解过程；若不存在，请说明理由， B 图1 图2 备用图 第10页 一次函数应用（二） 【知识点1 将军饮马最值模型】 1.“将军饮马”基础模型（两定一动） “将军饮马”基础模型（和最小） 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） “将军饮马”基础模型（差最大） 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 2.“将军饮马”变形 “点点型”将军饮马 “一定两动之点点” ：求PM+MN+NP的最小值 分别作点P关于OA、OB的对称点，将PM+MN+NP转化为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，和最小． 一、将军饮马最值问题 （两定一动） 1．如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，，连接，则的最小值即为的长度，分别求出，和的长度，根据，可得，求出的长度，即可确定的最小值． 【详解】解：作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，，连接，，如图所示： ∴，故的最小值即为的长度， 点在轴上， 点坐标为， 直线与两坐标轴分别交于，两点， 令，则， 点坐标为， 令，则，那么， 点坐标为， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，勾股定理，二次根式的混合运算，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【变式】（重庆期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A在x轴上，，，且、，交y轴于M， (1)求点C的坐标； (2)在x轴上有一动点P，当的值最小时，求此时P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点C、B作轴，轴，垂足点D、E．构造一线三直角全等模型，结合线段与坐标的关系，计算解答即可． （2）运用轴对称原理，构造轴对称计算的最小值即可． 【详解】（1）过点C、B作轴，轴，垂足点D、E． ，， ∴， ∴， ∵、， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点C在第二象限， 故． （2）作B关于x轴的对称点，连接交x轴点P，此时，最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 故； 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 当时，， 故． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一线三直角全等模型，线段和最小计算，两点间距离公式的应用，绝对值的应用，熟练掌握待定系数法，一线三直角全等模型，线段和最小计算是解题的关键． 2．（一中期中）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D． (1)求直线解析式和点D坐标； (2)点P为射线上一动点，y轴上有一动点M，连接，当时，请求出点P的坐标和的最小值； 【答案】(1)直线的解析式为， (2)， 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，勾股定理，求一次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再联立两直线解析式求出点D的坐标即可； （2）可证明，则点P一定在线段的延长线上，则可求出，据此可求出点P的坐标；作点D关于y轴的对称点E，连接，则，由轴对称的性质可得，则当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点C在轴上点A的右边，， ∴， ∵直线与正比例函数的图象平行， ∴可设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点P一定在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴； 如图所示，作点D关于y轴的对称点E，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵， ∴的最小值为； 3．（八中月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，点为轴负半轴上一点，且满足． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点是线段的中点，点，分别是线段，上的两个动点．连接，，，当时，求点的坐标和周长的最小值； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分别把、代入求得、，进而求得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设，先整理，根据，且，得，解得，即，过点E作轴的对称点，记为，连接交轴于一点，连接，此时周长最小，且周长最小，运用勾股定理列式计算，得，，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于点， ∴令，即； ∴令，即； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴， 设直线的解析式为 把，分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∴， ∵点是线段的动点，且线段的解析式为， ∴设， 连接，如图所示： ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 即， 点是线段的中点，， ∴， ∴， 过点E作轴的对称点，记为， 即， 连接交轴于一点，连接， ∴， 此时周长最小，且周长最小 ∵，， ∴， ∵ ∴ 则周长最小； 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、用待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的性质、勾股定理、轴对称的性质及角平分线的定义，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【练习】（重庆期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线和直线的图象交于轴上的点，且分别交轴于点和，已知．    (1)求，的值； (2)如图2，点为直线上一点，已知点的横坐标为，点为直线上一动点，点为轴上一动点，连接、、．求周长的最小值和此时点的坐标； 【答案】(1)， (2)周长的最小值为，此时点的坐标 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）可得入直线，直线，则，由勾股定理逆定理可得，作点关于直线的对称点，则在直线上，则，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，那么，当点在上时，周长取得最小值即为，此时点与点重合，此时，然后求出直线，则； 【详解】（1）解：对于直线， 当， ∴， ∵， ∴， 即， 将代入直线，则， ∴直线， 当时，则， 解得， ∴， 将代入直线，则， 解得； （2）解：由（1）可得入直线，直线 将代入直线，则， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，则在直线上， ∵， ∴ 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，    ∴， ∴， 当点在上时，周长取得最小值即为，此时点与点重合，如图：    ∴ 设直线， 则， 解得， ∴直线， 当， ∴， ∴周长的最小值为，此时点的坐标； 2、 三角形存在性问题 （等腰三角形） （点在坐标轴上） 4．（一外月考）如图①，在平面直角坐标系中，点，，且，满足，点在轴正半轴上，，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿轴向点运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，连接，过点作的垂线交射线于点，交轴于点． (1)点的坐标为____，点的坐标为____； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键. （）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解； 【详解】（1）解： ∵ ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵点在轴正半轴上，， ∵， ∴点， ∴ ∴， 在中 当时，， ∴，点； 当时， 又∵， ∴， ∴， ∴，点， 综上所述：点的坐标为或． 【练习】（育才月考）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式； (2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标； (3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、，直线的解析式为 (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，一次函数与全等综合； （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； （3）先求出，设，则，，分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； （3）解：∵， ∴， 由勾股定理，得 ， ∵Q在x轴上， ∴设，则，， ①当时， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q的坐标为或． ②当时， ∵， ∴， 两边平方，得 ，即， 解得（与A重合，舍去）或， ∴点Q的坐标为， ③当时， ∵， ∴， 两边平方，得 ， 即， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，满足条件的Q点坐标为：． 5．（重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线：经过点，且交轴于点，直线与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)过点，作直线，并将直线向上平移个单位后交于点，连接，若点是轴上一动点，连结，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）设直线的解析式为，将点，代入解析式得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）确定直线的解析式，得，，求出，通过联立，解方程组后确定，再根据三角形的面积公式即可得解； （3）确定直线的解析式，继而确定平移后直线的解析式为， 通过联立，解方程组确定，则，设，得到，，然后分三种情况：①当时； ②当时；③当时；分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴， 设为点的横坐标， ∴， ∴的面积为； （3）设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线向上平移个单位后交于点，设直线向上平移个单位后交轴于， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵为等腰三角形， ①当时，则， ∴， ∴或， 此时点的坐标为或； ②当时，则， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ③当时，则， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是两个一次函数的交点问题，考查了待定系数法确定函数解析式，一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积，根据平移的性质确定函数解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键是用方程的思想解决几何问题． （点在斜线上） 6．（25-26八年级上·重庆·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点， D（0，6）且 (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点P为直线AB上一点，连接PC，PD，当时，求此时P点的坐标； (3)若点E为直线y=x-4上一动点，是否存在点E使ΔABE是以BE为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标，并写出其中一个点E的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）先求出点B的坐标，确定的值，从而确定点C的坐标，再用待定系数法，代入点C和点D的坐标，即可求出的解析式． （2）设与相交于点M，求出点M的坐标，借助两点间距离公式求出，，的值，通过勾股定理的逆定理判断出，从而进一步利用求出的值，再过点M作轴，，构造，设出点P的坐标，判断出和的关系，通过勾股定理列方程，求出点P的坐标即可． （3）设出点E的坐标，根据条件表示出和，再分类讨论和两种情况，通过等量关系列方程求出点E的坐标即可． 【详解】（1）当时，． ∴． ∴． ∴． ∴． 设的解析式为． 代入点，，得 解得 ∴的解析式为． （2）如图，设与相交于点M，过点M作轴，． 联立，得． 解得． 当时，． ∴． ∴，． 又， ∴，即是直角三角形，． ∴． ∴． 又， ∴． 设点P的坐标为，则，，． ∴． 设，则． 在中，，即． 解得． ∴，即，或． ∴此时P点的坐标为或． （3）存在，点E的坐标为或或．理由如下： 当时，，． ∴． ∴． 设点E的坐标为，则，． 由题意可知，当是以为腰的等腰三角形时，有两种情况： 第一种：，即． ∴． 解得，或． ∴点E的坐标为或． 第二种：，即． ∴． 解得． ∴点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题考查“一次函数的图象与性质”“待定系数法求一次函数解析式”“两点间距离公式”“勾股定理及其逆定理”的知识点，熟练应用“方程思想”和“数形结合思想”，掌握设参数，并通过两点间距离公式表示出坐标系中线段的长度，再根据题目中所给出的等量关系列方程的方法是解题关键．在点的位置不确定时，注意要分类讨论． 【变式】（南开期末）如图所示，腰长为的等腰的腰与坐标轴重合，直线与交于点． (1)求点的坐标； (2)如图，将直线沿轴正方向平移个单位长度得到直线（其中分别为新直线与轴、轴的交点），连接，求的面积； (3)如图，在第（）问的条件下，将沿轴平移得到，连接，当为等腰三角形时，直接写出的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点，，，，． 【分析】（）先利用待定系数法，得到直线的解析式，联立方程组，可求解； （）先求出直线DE的解析式, 再求出，最后利用可求解； （）设M，连接，分别用表示出的长，再分类列出方程，即可求解； 本题主要考查了一次函数与几何的综合，等腰三角形的性质，待定系数法，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，腰长为， ∴，即点，点， 设直线的解析式为，代入，点得， ，解得， ∴直线的表达式为， 联立，得， ∴点坐标； （2）∵沿轴正方向平移个单位， ∴点， 设直线的解析式为，把代入得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴点， ∴ ； （3）∵将沿轴平移得到， ∴，，， 设， 连接， 则，， ∴，， 当时，即， 解得：，即； 当时，即， 解得：，，即或； 当时，即， 解得：，，即或； 综上所述点坐标为：或或或或． （等腰直角三角形） 7．（八中期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与坐标轴交于A，B两点，点C是点A关于y轴的对称点，直线：与直线交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为直角边，点O为直角顶点，构造等腰直角，点位于x轴的上方，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出，，，，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）设，直线交x轴于Q，求出，，直线解析式为，，可得，解出m的值可得答案； （3）过D作轴于K，过作轴于T，证明，可得，直线解析式为． 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ∴，， ∵点C是点A关于y轴的对称点， ∴， 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在直线上存在一点P，使得，理由如下： 设，直线交x轴于Q，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 由，可得直线解析式为， 令得， ∴， ∴， ∴， ∴， 即|， ∴或， 解得或， ∴P的坐标为或； （3）解：过D作轴于K，过作轴于T，如图： ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由，得直线解析式为， 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形性质与判定，全等三角形性质与判定，勾股定理等知识点，解题的关键是注意分类讨论． 8．（重庆期末）如图，在直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、点B，其中点B的坐标为，直线交于点C，交x轴于点E，D是直线上一动点，且在点C的下方，设D． (1)求直线的解析式与点A的坐标； (2)当四边形的面积为38时，求点D的坐标，此时在y轴上找一点M，使的周长有最小值，请求出M点坐标； (3)设N点是直线上除C点以外的一个动点，问：在x轴上是否存在H点，使得为等腰直角三角形？若有，请直接写出H点的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为：，点A的坐标为； (2)， (3)存在4种情况，满足条件，分别为，，， 【分析】本题考查了一次函数，待定系数法求解析式，分割法求面积，三角形的边长关系求最值，等腰直角三角形的性质，熟练掌握分割法求面积，三角形的边长关系求最值，等腰直角三角形的性质，以及运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据直线l：与y轴交于点B，代入即可求出直线的解析式，再令，即可求出点A的坐标； （2）利用面积分割法，，求出，即可求出点D的坐标；作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用三角形的边长关系可证此时的周长最小，待定系数法求出直线解析式，即可求出此时点的坐标； （3）根据点在的左侧和右侧，以及或，共4种情况，进行分类讨论即可求解； 【详解】（1）解：直线l：与y轴交于点B， ， 直线的解析式为：， 当，即，解得，， 点A的坐标为． （2）解： 点A的坐标为，点坐标为，点B的坐标为． ，，，， ， ， ， ， 点D的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小， 关于轴对称， ， 的周长为， ， 当为直线与轴交点时，的周长最小， 设直线解析式为，将，，代入得 ， 解得， 直线解析式为， 当时，． ． （3）解：① 如图所示，若存在为等腰直角三角形，，，设，则， ， ，解得， 此时存在点，使得为等腰直角三角形； ② 如图所示，当在点左侧时，若存在为等腰直角三角形，，，设，则， ， ，解得， ， 此时存在点，使得为等腰直角三角形； ③ 如图所示，若存在为等腰直角三角形，，，为中点，连接，设， 为等腰直角三角形，，，为中点，根据等腰三角形三线合一， ，，，坐标为， ， ，解得， ， ， ， 此时存在点，使得为等腰直角三角形； ④ 如图所示，若存在为等腰直角三角形，，，为中点，连接，设， 为等腰直角三角形，，，为中点，根据等腰三角形三线合一， ，，，坐标为， ， ，解得， ， ， ， 此时存在点，使得为等腰直角三角形； 综上所述，一共存在四个点满足条件，分别为，，，． 【练习】如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点且经过点，点． (1)求直线的函数解析式； (2)在线段上找一点，使得与的面积相等，求出点的坐标； (3)轴上有一动点，直线上有一动点，若是以线段为斜边的等腰直角三角形，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）过点作交于，则点为所求，求出直线的表达式，然后联立直线与的函数表达式进行求解即可； （3）设点的坐标为，点的坐标为，分两种情况：当点在上方时，过点作轴的平行线分别和过与轴的平行线交于点，证明，得出，，据此列方程组求解；当点在下方时，同理求解． 【详解】（1）解：∵直线：与轴交于点且经过点，点， 当，， ∴， 令，，解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为． （2）解：由平行线间距离相等可知，当时，与的面积相等， 如图1，过点作交于，则点为所求， 又∵直线的表达式为， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴． （3）解：①当点在上方时，过点作轴的平行线分别和过与轴的平行线交于点，如图： 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴点的坐标为； ②当点在下方时，过点作轴的平行线分别和过与轴的平行线交于点，如图： 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 课后作业 【题组一 将军饮马最值（两定一动）】 1．如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求出的面积； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； （2）过F点作轴交于点W，证明，可求F点坐标，作E点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，当、D、P三点共线时，的值最小，再由在直线上，求出的直线解析式，联立，则可求，再求直线的解析式为，即可求，根据三角形的面积公式可得的面积； 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴； （2）解：∵点E是线段的中点，， ∴， 如图，过F点作轴交于点W， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 作E点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴， ∴， 当、D、P三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴当的值最小时，，的面积为； 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 【题组二 三角形存在性问题】 2．（·重庆期中）如图，直线的函数表达式为：与轴和轴分别交于A，B两点，与直线交于点，； (1)求直线的函数表达式； (2)若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； (3)若点M是轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标，选一个点写过程． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，等腰三角形的性质，直角坐标系下三角形面积的求解，勾股定理解三角形，解决本题的关键是分类讨论点P的位置与等腰三角形中腰长为哪两边． （1）可知点，由可得点，再使用待定系数法将点E与点C的坐标代入求解即可； （2）分类讨论点P位于上方和下方两种情况，结合三角形面积公式求解即可； （3）根据等腰三角形中，，三种情况求解点M的坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， ∵， ∴点， 又点， ∴将点E与点C的坐标代入， 可得，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：由直线可得点，点， 由直线可得点， ∴， 当点P位于上方，此时点P位于第二象限，如图， ∴， 即， 解得，即， ∵点P为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 当点P位于下方，此时点P位于第四象限，如图， ∴， 即， 解得，即 ∵点P为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：点M的坐标为或或． ∵点，点， ∴，即为等腰直角三角形， ∴当点M与点O重合时，即，为等腰三角形， 此时点； 当为等腰三角形时，，如图， 在中，， ∴， ∴此时点； 当为等腰三角形时，，如图， 在中，， ∴， ∴此时点； 当为等腰三角形时，，如图， ∴， 又∵， 在中，， ∴此时点． 综上所述，点M的坐标为或或或． 3．（重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，C为y轴正半轴一点，满足． (1)求直线的解析式； (2)x轴负半轴有一点动点D，满足四边形的面积为10，求点D的坐标； (3)点P为直线下方一点，满足以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）先求出，，再用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出，设点D的坐标为，则，根据，得出，求出，即可得出答案； （3）分三种情况讨论：当点B为直角顶点时，当点A为直角顶点时，当点P为直角顶点时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：把代入得：， ∴， ∴， 设点D的坐标为，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：当点B为直角顶点时，过点P作轴于点Q，如图所示： ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点A为直角顶点时，过点P作轴于点Q，如图所示： ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点P为直角顶点时，如图所示： ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，一次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $