一次函数应用（一）2025-2026-学年人教版数学八年级下册寒假讲义 （重庆专用）

一次函数应用（一） 【知识点1 一次函数图象的平移】 1.一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。 ①若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x+a）+b 。 ②若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x-a）+b 。 2.一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。 ①若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b+a 。 ②若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b-a 。 1、 一次函数平移问题 （知平移方向和平移距离） 1．（重庆期末）把直线向上平移2个单位得到一条新的直线，则这条新直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是关键． 根据一次函数图象平移的规则“上加下减”，向上平移2个单位，在常数项上加2． 【详解】解：原直线解析式为 ，向上平移2个单位， 根据“上加下减”的规则，新直线的解析式为 ． 故答案为：． 【变式】（重庆期末）在平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移1个单位长度，则平移后的图像与轴的交点坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像的平移规律及函数与x轴交点坐标的求法，解题的关键是掌握“左加右减”的一次函数图像平移法则，并通过令函数值为0求出与x轴交点的横坐标． 根据“一次函数图像向右平移n个单位，解析式中x替换为”的规律，求出平移后的函数解析式；再令平移后函数的，解方程得到x的值，确定与x轴的交点坐标，最后匹配选项． 【详解】解：∵函数的图像向右平移1个单位，根据“右减”原则，将x替换为， ∴平移后解析式为． ∵函数与x轴交点处， 令，解得， ∴交点坐标为．   故选：B． 2．（重庆期中）将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，将点的坐标代入即可求解． 【详解】解：直线向下平移6个单位得，， 将代入解析式得，， 解得， 故选：D． （未知平移方向和平移距离） 3．（重庆期中）若函数的图象平行于直线，则函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两条直线平行的问题．两个一次函数的图象平行，则一次项系数一定相同，则解析式即可求得． 【详解】解：∵函数的图象平行于直线， ∴， 函数的表达式为． 故选：A． 【变式】（一中期中）在平面直角坐标系中，把直线向上平移后得到直线，直线经过点，则直线的解析式是为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．平移时k的值不变，只有b发生变化．再把相应的点代入即可． 【详解】解：由直线向上平移后得到直线，故设直线的解析式是：， ∵直线经过点， ∴， ∴． ∴直线的解析式是． 故答案是：． 【知识点2 一次函数与一元一次方程的关系】 1.一次函数与一元一次方程的关系 （1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当y=0时的值方程kx+b=0（k≠0）的解. （2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标方程kx+b=0（k≠0）的解 2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 （1）转化：将一元一次方程转化为一次函数 （2）画图象：画出一次函数的图象 （3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解. 【拓展】 方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）中，y=n时的值；方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=n的交点的横坐标. 【知识点3 一次函数与一元一次不等式的关系】 因为任何一个一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围. 一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下： 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，y>0时的取值范围 不等式的解集在函数中，y<0时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的的取值范围 【拓展】 直线与直线的交点的横坐标即为方程的解； 不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围. 如图所示，方程的解为； 不等式的解集为； 不等式的解集为. 【知识点4 一次函数与二元一次方程组的关系】 1.二元一次方程组（都不为0，且,都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标. 【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线. 2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）变函数：把方程组化为一次函数与. （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象. （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标. （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解. 【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解. 二、一次函数与方程、不等式的关系 4．（重庆期末）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，观察图象回答下列问题： (1)关于x的一元一次方程的解是______； (2)关于x的不等式的解集是______； (3)关于x、y的方程组的解是______； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系以及勾股定理，解题的关键是理解函数图象与方程、不等式、方程组之间的联系． （1）由题意得，关于的方程的解是直线与x轴交点的横坐标； （2）由图可得答案； （3）由图可得出两条直线交点坐标是二元一次方程组的解； 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：由图可得，关于的不等式的解集是． 故答案为：； （3）解：由图可得，关于x、y的方程组解是 故答案为：； 【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案． 【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小； 故①不符合题意； 由图象可得方程组的解为，即方程组的解为； 故②符合题意； 由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意； 由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意； 综上：符合题意的有②③， 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 5．（大渡口区期末）如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握图象法解不等式是解题的关键．观察函数图象即可得出答案． 【详解】解：由图象得，当时，， 不等式的解集为． 故答案为：． 6．如图，直线与直线交于点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式． 根据函数图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：如图，已知与直线相交于点，则当时，x的取值范围为． 故答案是：． 2、 一次函数面积问题 （面积求解） 7．（重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，直线向上平移2个单位长度后与矩形的两边相交，已知，，则平移后的直线与矩形围成的三角形面积为 ．    【答案】 【分析】由平移得平移后解析为，结合题意求得与矩形的两边相交的交点坐标，，即可求得平移后的直线与矩形围成的面积． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度后为：，如图    ∵四边形是矩形，，， ∴当时，，则， 当时，，解得，则， ∴，， ∴平移后的直线与矩形围成的三角形面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是求出平移后的解析式及与矩形两边的交点坐标． 8．（九龙坡区期末）如图，直线与直线相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)将直线沿x轴正方向平移，记平移后的直线为，若直线与直线相交于点D，且点D的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】此题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交或平行问题，待定系数法，关键是求出C点坐标，A点坐标，D点坐标． （1）根据y轴上点的坐标特征可求B点坐标，再根据，可求C点坐标，根据点A的纵坐标为3，可求A点坐标，根据待定系数法可求直线的解析式； （2）根据点D的横坐标为1，可求D点坐标，再由即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 点A的纵坐标为3， ， 解得， ， 则， 解得． 故直线的解析式为； （2）解：点D的横坐标为1， ， ， 的面积 ． （面积存在性问题） （面积公式表示面积） 9．（八中期中）如图，直线分别与轴、轴、直线交于、、三点，已知，． (1)求直线的表达式； (2)直线上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，结合三角形面积公式求解是关键． （1）设的表达式为，求出，，把坐标代入，求出的值即可； （2）联立，求出点，根据三角形面积公式求出，根据可得方程，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，且A在轴负半轴上， ∴； ∵， ∴， ∵点B在x轴正半轴上， ∴， 设直线的表达式为, 把，代入解析式得， ， 解得， 所以直线的表达式为； （2）解：联立直线与直线的方程得， 解得， ∴， ∵, ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 当时，，解得，此时，所以； 当时，，解得，此时，所以， 综上，点P的坐标为或． 【练习】如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键． （1）已知的解析式，令求出的值即可； （2）设的解析式为，由图联立方程组求出，的值； （3）联立方程组，求出交点的坐标，继而可求出；与底边都是，根据的面积是面积的倍，可得点的坐标． 【详解】（1）解：由，令，得， ， ； （2）解：设直线的解析式表达式为， 把，；， 代入表达式得， 解得， 直线的解析式表达式为； （3）解：由， 解得， ， ， ；9 与底边都是，的面积是面积的倍， 高就是点到直线的距离的倍， 即纵坐标的绝对值，则到距离， 点纵坐标是， ，， ， 解得， ， ，， ， 解得， ， 综上所述，的坐标为或． （铅锤法/割补法表示面积） 10．（八中期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与坐标轴交于A，B两点，点C是点A关于y轴的对称点，直线：与直线交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出，，，，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）设，直线交x轴于Q，求出，，直线解析式为，，可得，解出m的值可得答案； 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ∴，， ∵点C是点A关于y轴的对称点， ∴， 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在直线上存在一点P，使得，理由如下： 设，直线交x轴于Q，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 由，可得直线解析式为， 令得， ∴， ∴， ∴， ∴， 即|， ∴或， 解得或， ∴P的坐标为或； 【练习】（南开期中）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； 【答案】(1)、，直线的解析式为 (2)或 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，一次函数与全等综合； （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； （3）根据直角顶点不同分情况讨论，画出图形构造一线三垂直全等模型求解即可． 【详解】（1）解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； 课后作业 【题组一 一次函数平移问题】 1．（重庆、期末）将直线向右平移1个单位后与y轴交点的纵坐标为 ． 【答案】3 【分析】本题考查求一次函数平移后解析式及与坐标轴的交点坐标，熟练掌握“自变量x左加右减，因变量y上加下减”是解题的关键．根据一次函数平移确定平移后的一次函数解析式，再可求出平移后直线与y轴的交点纵坐标即可． 【详解】解：由直线向右平移1个单位长度，可得平移后的直线解析式为： ，即， 令代入解析式，解得， 直线向右平移1个单位后与y轴交点的纵坐标为3． 故答案为：3． 2．将一次函数的图象向右平移3个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象平移及函数图象与坐标轴的交点求法，先根据函数图象平移得到平移后的表达式，再令解方程即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移3个单位长度，得到， 当时，， 平移后的函数图象与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 3．（重庆期中）在平面直角坐标系中，将直线平移，若平移后经过原点，则平移后的直线解析式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图像平移．理解直线平移的特性，即直线平移时斜率不变是解题的关键． 直线平移时斜率不变，设平移后的直线解析式为，再将原点坐标代入求出的值即可． 【详解】解：设平移后的直线解析式为， 因为平移后经过原点，将，代入， 解得：， 所以平移后的直线解析式为． 故答案为． 4．（南岸区期末）经过点，且平行于直线的一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象平移问题等知识点，熟练掌握一次函数图象平移问题是解题的关键． 设一次函数的解析式为，根据“两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同”，可确定的值，然后把代入即可求出的值，进而可求出一次函数解析式． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴一次函数的表达式为， 故答案为：． 【题组二 一次函数与方程、不等式的关系】 5．（重庆期中）已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的联系即方程组中的每个方程都可以变形为一次函数解析式．根据两个一次函数的图像交点坐标即为对应方程组的解即可求解． 【详解】∵ 方程 可变形为 ， 方程 可变形为 ， ∴ 方程组 的解即为函数 和 的图像交点坐标． 又∵ 两函数图像交于点 ， ∴ 方程组的解为 ． 故答案为：A． 6．（重庆期末）如图，直线上有一点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，观察函数图象，根据增减性可直接得出答案． 【详解】解：由图可知，当时，， 即的取值范围是， 故答案为：． 7．（育才期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．观察两个一次函数图像的位置关系是解题的关键． 通过观察两个一次函数图像的位置关系，来确定不等式的解集．当的图像在的图像下方或重合时，满足，此时对应的x的取值范围即为所求． 【详解】解：观察图像可以看到一次函数与的图像相交于点． 要使，则一次函数的图像在的图像下方或重合，x的取值范围为． 故选B． 8．（重庆期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①a＞0；②n<0；③方程的解是x＝1；④不等式的解集是x＞0；⑤不等式的解集是x≤-2．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于（-1，0）， ∴，方程的解是x＝-1，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是x＞0，故④正确； 由函数图象可知，不等式的解集是x≥-2，故⑤不正确； ∴正确的一共有3个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【题组三 一次函数面积问题】 9．（一中期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线分别与x轴、y轴交于C、D两点，两条直线相交于点E，且满足，． (1)求直线的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，求直线围成的三角形面积等知识． （1）先求出C、D两点的坐标，由，，得点B、A的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）先求出点E的坐标，再求得，由即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于C、D两点， ∴令，得；令，则， ∴、， ∵，， ∴，， ∴，， 将，代入得：， 解得． ∴直线的解析式为； （2）解：联立：， 解得， ∴． ∵，， ∴， ∵． ∴． 10．（重庆期末）如图，设直线，直线．已知与x轴交于点A；与x轴交于点C与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求直线、的解析式； (2)求的面积； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查求一次函数解析式，坐标与图形，直线与坐标轴围成的三角形面积．熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式和三角形面积公式是解题的关键． （1）把分别代入和，求出k值即可； （2）先求出A、C坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分两和情况：①当点P 在射线上时，，②当点P 在射线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把分别代入和，得 ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：． （2）解：对于直线的解析式为； 令，则， 解得：， ∴， 对于直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， 由（1）知：， ∴ ∴的面积． （3）解：设点P坐标为， 分两种情况：①当点P 在射线上时，即在点处，如图， ∵ ∴ ∴ ∴； ∴， 解得， ∴； ②当点P 在射线上时，即在点处，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴； 综上，存在，点P的坐标为或时，使得的面积等于面积的倍． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数应用（一） 【知识点1 一次函数图象的平移】 1.一次函数的左右平移： 函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左加右减。 ①若函数y=kx+b向左平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x+a）+b 。 ②若函数y=kx+b向右平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=k（x-a）+b 。 2.一次函数的上下平移： 函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上加下减。 ①若函数y=kx+b向上平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b+a 。 ②若函数y=kx+b向下平移a个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 y=kx+b-a 。 1、 一次函数平移问题 （知平移方向和平移距离） 1．（重庆期末）把直线向上平移2个单位得到一条新的直线，则这条新直线的解析式为 ． 【变式】（重庆期末）在平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移1个单位长度，则平移后的图像与轴的交点坐标为(   ) A． B． C． D． 2．（重庆期中）将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 （未知平移方向和平移距离） 3．（重庆期中）若函数的图象平行于直线，则函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 【变式】（一中期中）在平面直角坐标系中，把直线向上平移后得到直线，直线经过点，则直线的解析式是为 ． 【知识点2 一次函数与一元一次方程的关系】 1.一次函数与一元一次方程的关系 （1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当y=0时的值方程kx+b=0（k≠0）的解. （2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标方程kx+b=0（k≠0）的解 2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 （1）转化：将一元一次方程转化为一次函数 （2）画图象：画出一次函数的图象 （3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解. 【拓展】 方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）中，y=n时的值；方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=n的交点的横坐标. 【知识点3 一次函数与一元一次不等式的关系】 因为任何一个一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围. 一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下： 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，y>0时的取值范围 不等式的解集在函数中，y<0时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的的取值范围 【拓展】 直线与直线的交点的横坐标即为方程的解； 不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围. 如图所示，方程的解为； 不等式的解集为； 不等式的解集为. 【知识点4 一次函数与二元一次方程组的关系】 1.二元一次方程组（都不为0，且,都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标. 【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线. 2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）变函数：把方程组化为一次函数与. （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象. （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标. （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解. 【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解. 二、一次函数与方程、不等式的关系 4．（重庆期末）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，观察图象回答下列问题： (1)关于x的一元一次方程的解是 ； (2)关于x的不等式的解集是 ； (3)关于x、y的方程组的解是 ； 【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（大渡口区期末）如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集为 ． 6．如图，直线与直线交于点，当时，的取值范围是 ． 2、 一次函数面积问题 （面积求解） 7．（重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，直线向上平移2个单位长度后与矩形的两边相交，已知，，则平移后的直线与矩形围成的三角形面积为 ．    8．（九龙坡区期末）如图，直线与直线相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)将直线沿x轴正方向平移，记平移后的直线为，若直线与直线相交于点D，且点D的横坐标为1，求的面积． （面积存在性问题） （面积公式表示面积） 9．（八中期中）如图，直线分别与轴、轴、直线交于、、三点，已知，． (1)求直线的表达式； (2)直线上有一点，满足，求点的坐标． 【练习】如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求直线的解析式； (2)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． （铅锤法/割补法表示面积） 10．（八中期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与坐标轴交于A，B两点，点C是点A关于y轴的对称点，直线：与直线交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 【练习】（南开期中）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； 课后作业 【题组一 一次函数平移问题】 1．（重庆、期末）将直线向右平移1个单位后与y轴交点的纵坐标为 ． 2．将一次函数的图象向右平移3个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为 ． 3．（重庆期中）在平面直角坐标系中，将直线平移，若平移后经过原点，则平移后的直线解析式为 ． 4．（南岸区期末）经过点，且平行于直线的一次函数的表达式为 ． 【题组二 一次函数与方程、不等式的关系】 5．（重庆期中）已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．（重庆期末）如图，直线上有一点，当时，的取值范围是 ． 7．（育才期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（重庆期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①a＞0；②n<0；③方程的解是x＝1；④不等式的解集是x＞0；⑤不等式的解集是x≤-2．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题组三 一次函数面积问题】 9．（一中期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线分别与x轴、y轴交于C、D两点，两条直线相交于点E，且满足，． (1)求直线的解析式； (2)连接，求的面积． 10．（重庆期末）如图，设直线，直线．已知与x轴交于点A；与x轴交于点C与y轴交于点B，与直线交于点． (1)求直线、的解析式； (2)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $