1 函数基础+正比例函数2025-2026学年 人教版数学八年级下册寒假讲义（重庆专用）

函数基础+正比例函数 【知识点1 常量和变量】 1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 【知识点2 函数的概念和函数值】 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2.函数值： 在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 一、函数有关概念 （变量） 1．“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（   ） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 【答案】D 【分析】本题考查变量与常量的概念．根据自变量、因变量及常量的定义求解即可． 【详解】解：“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，因此时间，冰的厚度是变量． 故选：D． 【变式】（育才期中）已知球的表面积与它的半径之间的关系式是，其中随的变化而变化，则在这个公式中变量是（    ） A．， B．， C． D．，， 【答案】B 【分析】此题主要考查了常量和变量，关键是掌握定义．根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，可直接得到答案． 【详解】解：中，常量是4，，变量是、， 故选：B． （函数） 2．下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系的判断． 函数的定义：对于自变量每一个取值，因变量有唯一值与之对应． 函数关系要求每个自变量值对应唯一因变量值．A、B、C均符合此定义，D中数学成绩与物理成绩可能不满足唯一对应． 【详解】解：选项A：正方形周长C与边长a的关系为，对于每个a，C唯一确定，是函数关系； 选项B：在弹性限度内，弹簧长度l与质量m的关系为（k为常数），对于每个m，l唯一确定，是函数关系； 选项C：匀速行驶时，路程s与时间t的关系为（v为常数），对于每个t，s唯一确定，是函数关系； 选项D：数学成绩与物理成绩之间，可能存在多个物理成绩对应同一数学成绩，或反之，不满足唯一性，故不一定是函数关系； ∴不一定是函数关系的是D． 故选：D． 3．（育才月考）下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量，如果对于在某一范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数． 【详解】（1）、（2）满足对于在某一范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与它对应，符合函数的定义； （3），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； （4），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； （5），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数的定义，知晓函数的定义并且准确的判断出结论是解决本题的关键． 4．下列各图中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意是的函数依据函数的概念可知对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：如图所示， 在B、C、D三个选项中，在x允许的取值范围内，x任取一个数值，函数y都有2个值与之对应，不符合函数的概念． 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的概念，注意掌握函数的定义即设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 【知识点3 函数自变量的取值范围】 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 二、自变量取值范围 5．（西附开学）函数中自变量x的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，求自变量x的取值范围． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，， 解得：，， 即． 故选：B 【变式1】（重庆期中）若函数有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据分式的分母不为以及二次根式的被开方数为非负数进行求解即可． 【详解】解： 分母 要求根号内 ，且分母不能为零， ，即 ， 故选：D． 【变式2】（重庆月考）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了零次幂，二次根式有意义，分式有意义，根据零次幂的底数不能为0、分母不能为0，被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 解得且， 故选：C 【知识点4 函数的表示方法】 1.解析式法： 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 2.列表法： 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 3.图像法： 定义：用图像来表示函数关系的方法。 优点：能直观形象的表达函数关系。 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点。 三、函数的表示（表格法、图象法、解析式法） （表格法） 6．（一外期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 【答案】D 【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意； B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意； C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意； D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意； 故选：D． 【练习】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度y增加；当不挂重物时，弹簧的长度为，然后逐个分析四个选项，得出正确答案． 本题考查了函数，能够根据所给的表格进行分析变量的值的变化情况，得出答案． 【详解】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故选项正确； B、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误； C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故选项正确； D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确； 故选：B （图象法） 7．（重庆期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据情境描述选择函数图象，理解题意，找准距离变化情况是解决问题的关键． 由题中描述，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，结合选项中所给图象逐一验证即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是 故选：C． 【变式】如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，解题关键是能看懂图中容器． 先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，由此判断进水的快慢，再作出选择． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：D． 8．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s (2)6； (3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米 【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1次追上乙时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键． （1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案； （2）根据甲100秒跑了600米，乙150秒跑了（米）计算速度即可； （3）设t秒时，甲第1次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离． 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s． 故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s． （2）解：甲的速度为：（米/秒）， 乙的跑步速度为： （米/秒）． 故答案为：6；． （3）解：设t秒时，甲追上乙， 根据题意得： 解得： ， 则（米）， 答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米． （解析式法） 9．（巴蜀开学）某火锅店推出了夏季促销活动，已知进店消费的人数与消费金额之间的关系如下表所示，则与的关系式为： （不必写出的取值范围）． 进店人数个 1 2 3 4 5 消费金额元 35 65 95 125 155 【答案】/ 【分析】本题考查了用关系式和表格表示两个变量的关系，根据表格归纳出关系式是解题的关键．由表格可得，进店人数每增加1个，消费金额增加30元，据此即可求解． 【详解】解：由表格可得，进店人数每增加1个，消费金额增加30元， ∴与的关系式为． 故答案为：． 10．（重庆期末）6月4日7时许，嫦娥六号将五星红旗在月球背面成功展开．该国旗是科研人员通过一年多时间攻关，利用玄武岩熔融拉丝技术制作而成的，具有更强的耐腐蚀性，耐高温，耐低温等优异性能．现科研人员将一块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，数据记录如下表所示： 圆柱的底面积 … 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 … 圆柱的高 … 24 30 40 60 120 240 … (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； (2)当圆柱的底面积为时，圆柱的高是_____； (3)根据上表反映的规律写出锻造过程中圆柱的高与底面积之间的关系式，并标注自变量取值范围：_____ ； (4)科研人员将这块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，拉丝后的圆柱体底面直径是头发丝直径的三分之一，然后把它纺成线，织成布，从而制作成五星红旗．已知头发丝的直径是，请你计算说明这块圆柱体玄武岩材料能纺线多少cm?（结果保留π） 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查函数的概念与实际应用，求函数的表示式，以及根据表达式求函数值，正确的求出函数的表示式是解题的关键． （1）根据当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，可得自变量是圆柱的底面积，因变量是圆柱的高； （2）根据表格数据可知，与的乘积始终为，即可求出答案； （3）根据表格数据可知，与的乘积始终为，即可求出圆柱的高与底面积之间的关系式为：； （4）先求出圆柱体底面半径，再根据体积不变计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，自变量是圆柱的底面积，因变量是圆柱的高． 故答案为：， ． （2）解：根据表格数据可知，与的乘积始终为， 所以当圆柱的底面积为时，圆柱的高是． 故答案为：． （3）解：根据表格数据可知，与的乘积始终为， 所以圆柱的高与底面积之间的关系式为：． 故答案为：． （4）解：由题意得，拉丝后的圆柱体底面半径， 体积， ． 答：这块圆柱体玄武岩材料能纺线． 【知识点5 正比例函数的定义】 正比例函数的定义： 一般地，形如 y=kx（k为常数且k≠0） 的函数叫做正比例函数。其中，k叫做 比例系数 。 剖析：①自变量系数（比例系数）不能为 0 。 ②自变量次数一定是 1 。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为 0 。 【知识点6 确定正比例函数的解析式】 待定系数法求函数解析式 ①设：设 正比例 函数解析式y=kx（k≠0）。 ②带：把已知点代入函数解析式中，得到关于未知系数的方程。 ③解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数的值。 ④反带：将求得的比例系数带入函数解析式即可 四、正比例函数的定义 11．（重庆期末）下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数， 根据正比例函数的定义判定即可． 【详解】解：∵正比例函数需满足， 选项A：，不满足定义，不符合题意； 选项B：，满足定义，符合题意； 选项C：，不满足定义，不符合题意； 选项D：，不满足定义，不符合题意． 故选：B． 12．（西附期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正比例函数的定义可得到，，解之代入求值即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， ， 故选：D． 【变式】已知是正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的常数项为0是解题的关键． 根据正比例函数的定义可得，即可求得结果． 【详解】解：∵一次函数是正比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． （待定系数法求解析式） 13．已知是的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入中，即可求解． 【详解】（1）解：∵y与x成正比例， ∴设， 将，代入中，得 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）将代入中，得：， 解得． 【变式】（重庆期末）若 与 成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为y＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键． 由正比例函数的定义可设，把，，代入即可求出k，进而得到y与x之间的函数表达式即可． 【详解】解：∵ 与 成正比例， ∴设， ∵当 时， ， ∴， 解得 ， ∴，即， 故答案为：． 14．（八中期中）如图，在平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，将沿轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的基本规律，正比例函数解析式的确定，熟记平移的规律是解题的关键． 确定向左平移的距离为，确定点的坐标为，将其代入中，即可得出结果． 【详解】解：∵点B的坐标为，将沿x轴向左平移得到，且点的坐标为， ∴向左平移的距离为， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点落在直线， ∴，解得， 故答案为：． 【练习】（一中期中）如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上．求m，n的值； 【答案】(1) 【分析】（1）利用待定系数法求解m、n值即可； 【详解】（1）解：∵点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上． ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征、最短路径问题、坐标与图形变化、勾股定理，熟练掌握最短路径的解题方法是解答的关键． 【知识点7 正比例函数的图象与性质】 1.正比例函数的图像与性质： k的取值 大致图像 经过象限 y随x的变化情况 k＞0 一、三 y随x的增大而 增大 k<0 二、四 y随x的增大而 减小 正比例函数的图像是必经过 原点 的一条直线。在画正比例函数图像时，还需确定除原点外的另一个点即可。 5、 正比例函数的图象特征 （系数比较） 15．（重庆期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为 （用“”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，由正比例函数的图象可得，，，，据此即可求解，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数经过二四象限，正比例函数③经过一三象限， ∴，，， ∵正比例函数比正比例函数更接近轴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积和质量m（g），并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种物质中密度最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查比较正比例函数的函数值大小，根据图象法直接进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，物质的质量与体积成正比， ∴当体积相同时，密度越大，质量越大， ∵当体积为时，丁的质量最大， ∴这四种物质中密度最大的是丁； 故选D． （所过象限及点坐标特点） 16．正比例函数的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据正比例函数中k的符号即可确定正比例函数的图象经过的象限． 【详解】解：正比例函数中， 因此图象经过第一、三象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟记“当时，正比例函数的图象经过第二、四象限；当时，正比例函数的图象经过第一、三象限”是解决问题的关键． 17．下列正比例函数中，其图象恰好经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把分别代入各个选项中的函数表达式，即可进行解答． 【详解】解：A、把代入得，故函数不经过点，故A不符合题意； B、把代入得，故函数经过点，故B符合题意； C、把代入得，故函数不经过点，故C不符合题意； D、把代入得，故函数不经过点，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象上的点，解题的关键是掌握判断点是否在函数图象上的方法． 六、正比例函数的性质 18．（南开期中）下列关于直线的说法不正确的是（   ） A．一定经过点 B．图象必过原点 C．y随x的增大而减小 D．图象过二、四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，故图象经过点，选项A不正确，符合题意； 当时，，故图象必过原点，选项B正确，不符合题意； ∵， ∴图象过二，四象限，随的增大而减小，选项CD正确，不符合题意； 故选：A． 19．（育才月考）若，是正比例函数的图象上的两点，且，则，的大小关系是： ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的增减性是解题关键．判断出与的增大而减小，由此即可得． 【详解】解：∵在正比例函数中，， ∴与的增大而减小， 又∵，是正比例函数的图象上的两点，且， ∴， 故答案为：． 20．（重庆期末）关于x的正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质．正比例函数，当时，一次函数随的增大而增大，当时，一次函数随的增大而减小，进行解答，即可． 【详解】解：∵关于的正比例函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴． 故选：C． 【变式】（育才月考）已知正比例函数的图象上两点，，当时，有，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质即可求出当时，时，列出不等式，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数图象上两点，， 当时，有， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质．解答此题要熟知一次函数：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 课后作业 【题组一 函数有关概念】 1．（重庆期末）张开大拇指和中指，两端的距离为“一拃”，据统计，通常情况下，人的一拃长单位：厘米与本人的身高单位：厘米之间的关系为：，则下列关于变量和常量的说法正确的是(　　) A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．与是变量，与是常量 D．与是变量，与是常量 【答案】D 【分析】根据题意以及函数的定义即可求解． 【详解】解：人的一拃长单位：厘米与本人的身高单位：厘米之间的关系为：， ∴与是变量，与是常量， 故选项A、B、C说法错误，不符合题意，选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的定义，熟练掌握变量和常量的意义是解题的关键． 2．（巴蜀月考）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案即可．正确把握定义是解题关键． 【详解】解：函数的自变量的取值范围是：且， 解得：． 故答案为：． 3．函数 中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【题组二 函数的表示方法】 4．某心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系（其中x介于0~20之间）： 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 下列说法不正确的是（    ） A．学生对概念的接受能力是59.8时，提出概念所用的时间是12分钟 B．在这个变化中，自变量是提出概念所用的时间，因变量是对概念的接受能力 C．根据表格中的数据，提出概念所用的时间是13分钟时，学生对概念的接受能力最强 D．根据表格中数据可知：当x介于2~13之间时，y值逐渐增大，学生对概念的接受能力逐步增强 【答案】A 【分析】根据表格中的数据逐项分析并作判断即可． 【详解】解：A．学生对概念的接受能力是59.8时，提出概念所用的时间是12分钟或14分钟，故选项错误，符合题意； B．在这个变化中，自变量是提出概念所用的时间，因变量是对概念的接受能力，故选项正确，不符合题意； C．根据表格中的数据，提出概念所用的时间是13分钟时，学生对概念的接受能力最强，故选项正确，不符合题意； D．根据表格中数据可知：当x介于2~13之间时，y值逐渐增大，学生对概念的接受能力逐步增强，故选项正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了用表格表示变量间的关系，读懂题意是解题的关键． 5．晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（    ）． A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象识别，理解两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．根据路程随出发时间的变化而变化的情况进行判断即可． 【详解】解：根据题意，在前20分钟，离家的距离随时间增加而增加， 当时间为分钟时，路程保持不变， 当时间为分钟时，离家的距离随时间增加而增加，且比前20分钟时，增加的要快，因此只有D符合， 故选：D． 6．（大渡口区期中）一支原长为的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系可以从下表看出： 燃烧时间/分 10 20 30 40 50 … 剩余长度 36 20 … (1)上表反映的变量之间的关系中，自变量是________，变量是________，燃烧70分钟时，这根蜡烛还剩________． (2)写出剩余长度与燃烧时间x（分）的关系式． (3)这支蜡烛最多可燃烧多少分钟？ 【答案】(1)燃烧时间；剩余长度；12 (2) (3)这支蜡烛最多可燃烧100分钟 【分析】（1）根据变量与常量的意义进行解答； （2）由蜡烛的剩余长度与燃烧时间的变化规律，利用待定系数法解答； （3）当时求出相应的x的值即可． 【详解】（1）解：蜡烛的剩余长度随着时间的变化而变化，即两个变量：燃烧时间、剩余长度，其中燃烧时间是自变量，蜡烛剩余长度是因变量， 根据表格可知，燃烧时间增加分钟，蜡烛长度减少了，，则燃烧时间每增加10分钟，蜡烛的剩余长度就减少，当燃烧70分钟时，蜡烛剩余长度为：． 故答案为：燃烧时间；剩余长度；12． （2）解：设剩余长度与燃烧时间（分），根据题意得 ． （3）解：当时，， 答：这支蜡烛最多可燃烧100分钟． 【点睛】本题考查变量之间的关系，涉及求自变量或函数值，理解两个变量之间的关系是解题关键． 7．（大渡口区期中）甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆．已知他离图书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题： (1)甲同学第一次休息时距离图书馆________千米，停留的时间为________分钟； (2)甲同学离图书馆的最远距离是________千米，他在120分钟内共跑了________千米； (3)甲同学两次休息地相距________千米； (4)甲同学在路段内的跑步平均速度是每小时多少千米？ 【答案】(1)； (2)； (3) (4)甲同学在路段内的跑步速度是千米/每小时． 【分析】本题考查了变量与图象的关系，从图象获取信息是解题的关键． （1）（2）（3）观察图象即可得出结论； （4）根据速度等于路程除以时间，即可求得出甲在路段内的跑步速度 【详解】（1）解：甲同学第一次休息时距离图书馆千米，停留的时间为分钟； 故答案为：；； （2）解：甲同学离图书馆的最远距离是千米，他在120分钟内共跑了千米； 故答案为：；； （3）解：甲同学两次休息地相距千米； 故答案为：； （4）解：路段内的路程为千米， 所用的时间为小时， 所以甲同学在路段内的跑步速度是千米/每小时． 【题组三 正比例函数的定义】 8．（八中月考）下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的识别，根据正比例函数的定义：形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正比例函数，不符合题意； B、是正比例函数，符合题意； C、不是正比例函数，不符合题意； D、不是正比例函数，不符合题意； 故选B． 9．若函数是正比例函数，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解答本题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1． 根据正比例函数的定义可得关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．已知y与x成正比例且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)若点在此函数的图象上，求a的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数的关系式； （2）把点代入即可求得的值． 【详解】（1）解：与成正比例， 设，把，代入，得． 解得：． 故与的函数关系式为． （2）把点代入得：， 解得：． 【点睛】本题考查正比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数从而求得其解析式．把所求点代入即可求出的值． 11．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)若点在这个函数图象上，求n的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可设函数解析式为，整理得，结合题意代入，求出的值，即可解答； （2）代入点到，求出n的值即可求解． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设函数解析式为， 整理得：， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数解析式为； （2）解：代入点到，得， 解得， ∴n的值为3． 12．（一中期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，A点的对应点在直线上，则点B与其对应点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查坐标与平移，正比例函数的图象，根据平移得到的纵坐标为，代入，求出的值，进而求出A点与对应点点的距离，即为B与其对应点间的距离． 【详解】解：由平移，可知：轴，A点与对应点点的距离等于B与其对应点间的距离， ∵， ∴的纵坐标为， ∴当时，则：， ∴， ∴点B与其对应点间的距离为； 故答案为：4． 【题组四 正比例函数的图象与性质】 13．光从空气进入水中，入水前与入水后的光路图如图所示，若建立坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则下列关于与的大小关系中，正确的是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和， 则，， ， ， 当取横坐标为正数时，同理可得， ，， ， 故选：D． 14．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点，则在此正比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点（-4，6）在此正比例函数图象上，此题得解． 【详解】解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）． ∵正比例函数图象经过点（4，-6）， ∴-6=4k， ∴． ∵当x=-4时，y=x=6， ∴点（-4，6）在此正比例函数图象上． 故选D． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键． 15．对于函数，下列说法不正确的是（    ） A．该函数是正比例函数 B．该函数图象过点 C．该函数图象经过一、三象限 D．y随着x的增大而增大 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义和性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、函数是正比例函数，原说法正确，不符合题意，选项错误； B、当时，，函数图象过点，原说法不正确，符合题意，选项正确；， C、，该函数图象经过一、三象限，原说法正确，不符合题意，选项错误； D、，y随着x的增大而增大，原说法正确，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质，解题关键是掌握正比例函数的图象是直线，当时，经过第一、三象限，随的增大而增大；当时，经过第二、四象限，随的增大而减小． 16．（重庆期末）正比例函数图象上有两点，，当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正比例函数的增减性得出的符号，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数图象上有两点，， 当时，， ∴随的增大而减小， ∴， 解得：， ∴的取值范围是：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数图象与系数的关系是解题关键． 17．（南开月考）正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了正比例函数的性质，判断点所在的象限，根据函数增减性可知，从而得到，通过点在象限的特征进行判断即可． 【详解】解：正比例函数中，的值随着值的增大而增大， ， ， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数基础+正比例函数 【知识点1 常量和变量】 1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 【知识点2 函数的概念和函数值】 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2.函数值： 在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 一、函数有关概念 （变量） 1．“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（   ） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 【变式】（育才期中）已知球的表面积与它的半径之间的关系式是，其中随的变化而变化，则在这个公式中变量是（    ） A．， B．， C． D．，， （函数） 2．下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 3．（育才月考）下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列各图中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【知识点3 函数自变量的取值范围】 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 二、自变量取值范围 5．（西附开学）函数中自变量x的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 【变式1】（重庆期中）若函数有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（重庆月考）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【知识点4 函数的表示方法】 1.解析式法： 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 2.列表法： 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 3.图像法： 定义：用图像来表示函数关系的方法。 优点：能直观形象的表达函数关系。 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点。 三、函数的表示 （表格法） 6．（一外期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 【练习】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 （图象法） 7．（重庆期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A．B．C． D． 【变式】如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（   ） A．B．C． D． 8．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． （解析式法） 9．（巴蜀开学）某火锅店推出了夏季促销活动，已知进店消费的人数与消费金额之间的关系如下表所示，则与的关系式为： （不必写出的取值范围）． 进店人数个 1 2 3 4 5 消费金额元 35 65 95 125 155 10．（重庆期末）6月4日7时许，嫦娥六号将五星红旗在月球背面成功展开．该国旗是科研人员通过一年多时间攻关，利用玄武岩熔融拉丝技术制作而成的，具有更强的耐腐蚀性，耐高温，耐低温等优异性能．现科研人员将一块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，数据记录如下表所示： 圆柱的底面积 … 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 … 圆柱的高 … 24 30 40 60 120 240 … (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)当圆柱的底面积为时，圆柱的高是_____； (3)根据上表反映的规律写出锻造过程中圆柱的高与底面积之间的关系式，并标注自变量取值范围：_____ ； 【知识点5 正比例函数的定义】 正比例函数的定义： 一般地，形如 y=kx（k为常数且k≠0） 的函数叫做正比例函数。其中，k叫做 比例系数 。 剖析：①自变量系数（比例系数）不能为 0 。 ②自变量次数一定是 1 。 ③正比例函数解析式中，自变量后面为 0 。 【知识点6 确定正比例函数的解析式】 待定系数法求函数解析式 ①设：设 正比例 函数解析式y=kx（k≠0）。 ②带：把已知点代入函数解析式中，得到关于未知系数的方程。 ③解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数的值。 ④反带：将求得的比例系数带入函数解析式即可 四、正比例函数的定义 11．（重庆期末）下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 12．（西附期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式】已知是正比例函数，则 ． （待定系数法求解析式） 13．已知是的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当，求的值． 【变式】（重庆期末）若 与 成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为y＝ ． 14．（八中期中）如图，在平面直角坐标系中点的坐标为，点的坐标为，将沿轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则的值为 ． 【练习】（一中期中）如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上．求m，n的值； 【知识点7 正比例函数的图象与性质】 1.正比例函数的图像与性质： k的取值 大致图像 经过象限 y随x的变化情况 k＞0 一、三 y随x的增大而 增大 k<0 二、四 y随x的增大而 减小 正比例函数的图像是必经过 原点 的一条直线。在画正比例函数图像时，还需确定除原点外的另一个点即可。 5、 正比例函数的图象特征 （系数比较） 15．（重庆期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为 （用“”符号连接） 【变式】为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积和质量m（g），并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种物质中密度最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （所过象限及点坐标特点） 16．正比例函数的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 17．下列正比例函数中，其图象恰好经过点的是（    ） A． B． C． D． 六、正比例函数的性质 18．（南开期中）下列关于直线的说法不正确的是（   ） A．一定经过点 B．图象必过原点 C．y随x的增大而减小 D．图象过二、四象限 19．（育才月考）若，是正比例函数的图象上的两点，且，则，的大小关系是： ． 20．（重庆期末）关于x的正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】（育才月考）已知正比例函数的图象上两点，，当时，有，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课后作业 【题组一 函数有关概念】 1．（重庆期末）张开大拇指和中指，两端的距离为“一拃”，据统计，通常情况下，人的一拃长单位：厘米与本人的身高单位：厘米之间的关系为：，则下列关于变量和常量的说法正确的是(　　) A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．与是变量，与是常量 D．与是变量，与是常量 2．（巴蜀月考）函数的自变量的取值范围是 ． 3．函数 中自变量x的取值范围是 ． 【题组二 函数的表示方法】 4．某心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系（其中x介于0~20之间）： 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 下列说法不正确的是（    ） A．学生对概念的接受能力是59.8时，提出概念所用的时间是12分钟 B．在这个变化中，自变量是提出概念所用的时间，因变量是对概念的接受能力 C．根据表格中的数据，提出概念所用的时间是13分钟时，学生对概念的接受能力最强 D．根据表格中数据可知：当x介于2~13之间时，y值逐渐增大，学生对概念的接受能力逐步增强 5．晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（    ）． A．B．C．D． 6．（大渡口区期中）一支原长为的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系可以从下表看出： 燃烧时间/分 10 20 30 40 50 … 剩余长度 36 20 … (1)上表反映的变量之间的关系中，自变量是________，变量是________，燃烧70分钟时，这根蜡烛还剩________． (2)写出剩余长度与燃烧时间x（分）的关系式． (3)这支蜡烛最多可燃烧多少分钟？ 7．（大渡口区期中）甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆．已知他离图书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题： (1)甲同学第一次休息时距离图书馆________千米，停留的时间为________分钟； (2)甲同学离图书馆的最远距离是________千米，他在120分钟内共跑了________千米； (3)甲同学两次休息地相距________千米； (4)甲同学在路段内的跑步平均速度是每小时多少千米？ 【题组三 正比例函数的定义】 8．（八中月考）下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 9．若函数是正比例函数，则的值是 ． 10．已知y与x成正比例且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)若点在此函数的图象上，求a的值 11．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)若点在这个函数图象上，求n的值． 12．（一中期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，A点的对应点在直线上，则点B与其对应点间的距离为 ． 【题组四 正比例函数的图象与性质】 13．光从空气进入水中，入水前与入水后的光路图如图所示，若建立坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则下列关于与的大小关系中，正确的是（   ） A．， B．， C． D． 14．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点，则在此正比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 15．对于函数，下列说法不正确的是（    ） A．该函数是正比例函数 B．该函数图象过点 C．该函数图象经过一、三象限 D．y随着x的增大而增大 16．（重庆期末）正比例函数图象上有两点，，当时，，则的取值范围是 ． 17．（南开月考）正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第 象限． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $