3.2 函数的基本性质（第1课时 函数的单调性）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学单元整体复习教学设计

函数的基本性质 课题（共2 课时）

 

第1课时 函数的单调性

【教学内容】

函数的单调性

【教学目标】

（1）通过观察一次、二次、反比例函数图象，形成增（减）函数的直观认识（上升或下降），再借助二次函数图象及函数值大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大的规律，由此形成增函数的定义，再类比得出减函数的定义。

（2）能借助函数图象的直观性得出一些简单函数的单调性，能利用定义证明一些函数的单调性，熟悉证明的基本步骤。

(3)在增（减）函数定义的形成过程中，经历从直观到抽象、从感性到理性、从特殊到一般的认知过程，学习数学思考的基本方法，感悟蕴含其中的数形结合思想，培养数学思维能力。

【教学重点与难点】

（1）教学重点  函数单调性定义的形成

（2）教学难点  形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增（减）的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性

【教学过程设计】

  环节一  创设情境，感知概念

引导语 函数是描述事物运动变化规律的数学模型，通过研究函数的变化可以了解相应事物变化的规律，通过函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律，因此研究函数的性质对我们掌握函数变化规律是很重要的。

问题1  （1）观察下面两张图片，你发现什么信息？你能谈谈它们分别反映了函数图象的哪些变化规律吗？

图1

师生活动 教师让学生代表发言，分析图象特征，指出函数性质：随时间的推移，在没有复习的前提下，人的记忆呈现逐渐下降的趋势，但是通过合理的复习安排，人对知识的遗忘程度呈现动态平衡；随着睡眠时长的增加，健康程度呈现先增加后减小的变化趋势。

（2）观察并分析下列熟悉的函数图象，你能说说它们反映了函数的什么共同特征吗？

图2

师生活动 教师引导学生分析并总结出上述函数的共性，指出这些函数都是具有随着自变量的增长，图象呈现递增（或递减）的趋势，顺势得出这个就是函数的单调性。

设计意图 通过问题1（1）由现实生活情境引入新课：艾宾浩斯遗忘曲线和睡眠时长与健康曲线，理解函数单调性的现实意义，感受生活和数学的密切联系；通过上述函数图象的变化趋势逐步得出函数随着自变量的变化呈现相应变化趋势的结论，最后总结出函数的单调

性的初步概念。

环节二 问题驱动，探究概念

第一部分    直观感知，图象语言刻画单调性

问题2 观察我们熟悉的一次函数、二次函数图象，能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？

图3（1）                                图3（2）                      

师生活动 学生先独立思考或小组讨论，然后再组织全班交流，教师在学生回答的基础上，加以补充与归纳，得到如下分析结果：

图3（1）图像在该区间内逐渐下降——y随着x的增大而减小；

图3（2）图像在该区间内逐渐上升——y随着x 的增大而增大。

我们利用函数图像研究函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。

追问1 判断能不能直接利用函数的图像判断函数在的单调性？

师生活动 让学生展开讨论，学生发现此函数并不能直接画出该函数的图像，从而得出只利用函数图像来判断函数单调性并不是万能的。

教师指出：用函数图像判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、规范化的研究，我们对函数单调性的定义需要从图像语言过渡到符号语言。

设计意图 问题2从学生熟悉的函数入手，让学生对函数单调性有一个直观感知，符合最近发展区理论；图3（3）的设置是为了引发冲突，指出函数单调性是一个局部性质；而追问2通过讨论能不能直接利用函数的图像判断函数在的单调性，引发学习符号语言刻画单调性的动机。

第二部分    理性分析，符号语言刻画单调性