2.2 二次函数的图像与性质（十大题型）2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

2.2 二次函数的图像与性质 题型一 y=ax2的图像和性质 1．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．0＞y2＞y1 2．抛物线如图所示．若a的值为整数，则a的值为 ． 3．如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 题型二 y=ax2+k的图像和性质 4．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为 ．（用“”连接） 6．已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 题型三 y=a（x-h）2的图像和性质 7．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 8．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则 ． 9．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 题型四 y=a（x-h）2+k的图像和性质 10．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 11．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为 ． 12．把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． (1)试确定、、的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 题型五 把y=ax2+bx+c化成顶点式 13．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 14．将抛物线化为的形式为 ． 15．已知二次函数 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴； (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，并画出它的示意图； (3)当x取何值时，y随x增大而减小？当x取何值时，y最小还是最大？是多少？ 题型六 画y=ax2+bx+c的图像 16．如图，在中，，动点P从点A开始沿向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S与出发时间t的函数关系图象大致是（   ） A．B．C．D． 17．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 18．已知二次函数． (1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像； (3)当时，y的取值范围为________； (4)若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，则m的取值范围为________． 题型七 y=ax2+bx+c的图像与性质 19．抛物线的对称轴是（） A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，已知点，是抛物线上两点，若对于都有，则的取值范围是 ． 21．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)当时，求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若对于任意的，，总有，求m的取值范围． 题型八 y=ax2+bx+c的最值 22．已知，，当时，的最大值与最小值的差为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 23．已知抛物线（）的部分图像如图所示，当时，该函数在所给自变量取值范围内，函数值的范围是 ． 24．已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1． (1)求的值； (2)设点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求的值；②若，求的最小值． 题型九 二次函数图像与各项系数符号 25．二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 26．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有 （填序号）． 27．二次函数（a，b，c是常数）的部分图象如图所示．若，求的取值范围． 题型十 根据二次函数的图像判断式子符号 28．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 29．如图是二次函数图像的一部分，对称轴为且经过点，有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则，上述说法正确的是 （填序号）． 30．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)已知，当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在．说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 二次函数的图像与性质 题型一 y=ax2的图像和性质 1．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．0＞y2＞y1 【答案】A 【分析】此题考查了比较二次函数值的大小，通过直接计算点A和点B在二次函数上的函数值，比较和的大小关系． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 2．抛物线如图所示．若a的值为整数，则a的值为 ． 【答案】2或3或4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象．根据二次函数的图象解答即可． 【详解】解：观察图象得：， ∵a的值为整数， ∴a的值为2，3，4． 故答案为：2或3或4 3．如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 题型二 y=ax2+k的图像和性质 4．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 故选：C． 5．已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 分别计算各点的函数值，进而比较即可． 【详解】解：，，， 由于为常数，比较的大小即比较的大小． ， 因此． 故答案为：． 6．已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)1，2， (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了的图象与性质； （1）根据的性质求解即可； （2）当时，可求出、，然后把点A、B的横坐标分别代入函数解析式，求出、，即可求解； （3）根据的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：1，2，； （3）解：还成立； 理由：在中，， ∴抛物线开口向上，在对称轴y轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 题型三 y=a（x-h）2的图像和性质 7．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 抛物线的二次项系数为正，开口向上，顶点为是最小值点；向左平移1个单位得；当时，随增大而增大． 【详解】解：∵中， ∴开口向上，A正确； ∵ ∴顶点坐标为， ∴当时，取最小值，C正确； 将抛物线向左平移1个单位，替换为， 得，D正确； 当时，，且随增大而增大，随增大而增大，故B错误． 故选：B． 8．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，根据对称性求出对称轴，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称， ∴； 故答案为：1． 9．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 题型四 y=a（x-h）2+k的图像和性质 10．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，掌握顶点式 的顶点坐标是是解题的关键． 直接根据二次函数的顶点式性质，从函数表达式读出顶点坐标即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线， ∴ 该抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 11．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为 ． 【答案】或6 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，；当时，在，，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 12．把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． (1)试确定、、的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)，， (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的图像性质，可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为， 把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）二次函数，即的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 题型五 把y=ax2+bx+c化成顶点式 13．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，通过配方法将二次函数化为顶点式，从而得到顶点坐标． 【详解】解： 故顶点坐标为， 故选：A． 14．将抛物线化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了化一般式为顶点式，掌握配方法是关键；利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．已知二次函数 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴； (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，并画出它的示意图； (3)当x取何值时，y随x增大而减小？当x取何值时，y最小还是最大？是多少？ 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2)函数图象与x轴的交点坐标为或，函数图象与y轴的交点坐标为，画图见解析. (3)当时，y随x的增大而减小；当时，y有最小值，最小值为 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据配方法把解析式化为顶点式即可求解； （2）令和，解方程求解即可求出抛物线与坐标轴的交点，然后列表，描点，连线即可； （3）根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：， 该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）将代入函数，则， 函数图象与y轴的交点坐标为； 令， 解得，， 函数图象与x轴的交点坐标为或； 列表如下： 描点，连线作出图形的图象，如图： （3）由图象可知，当时，y随x的增大而减小．当时，y有最小值，最小值为 题型六 画y=ax2+bx+c的图像 16．如图，在中，，动点P从点A开始沿向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S与出发时间t的函数关系图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，且开口向下． 故选：C． 17．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由抛物线的开口向下，可得：＜，解不等式可得答案． 【详解】解： 抛物线的开口向下， ＜， ＜ 故答案为：． 18．已知二次函数． (1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像； (3)当时，y的取值范围为________； (4)若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，则m的取值范围为________． 【答案】(1)直线， (2)见详解 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可； （2）先列表，然后描点，最后连线即可； （3）由（2）得对称轴为直线，顶点坐标为；再分别算出当和时对应的函数值，再进行比较大小，即可作答． （4）根据函数图像求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为； （2）列表如下： … 0 … … 3 0 0 3 … 函数图像如下所示： （3）解：由（1）得函数的对称轴为直线，顶点坐标为 由（2）的函数图像，得出函数开口方向向上， 在处有最小值，且， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∵， 当时，y的取值范围为． （4）解：∵点和都在此函数的图像上， 由函数图像可知， 当时，或． 题型七 y=ax2+bx+c的图像与性质 19．抛物线的对称轴是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数对称轴方程，解题的关键是掌握二次函数对称轴公式．由二次函数的对称轴为直线，代入公式即可得答案． 【详解】解：∵抛物线方程为，其中,， ∴对称轴为， 故对称轴为， 故选：A． 20．在平面直角坐标系中，已知点，是抛物线上两点，若对于都有，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据题意，可知，可得，然后分成以及两种情况分类讨论，当时，其开口向上，越靠近，其函数值越小，此时和都在的右侧，且更靠近对称轴，符合题意；当时，其开口向下，越靠近，其函数值越大，先证明在对称轴左侧，然后找出对称轴的对称点为，结合，得到，最后结合，可得，最后算得答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴对称轴为， 当时，其开口向上，越靠近，其函数值越小， ∵， ∴和都在的右侧，且更靠近对称轴， ∴， 故时满足题意； 当时，其开口向下，越靠近，其函数值越大， ∵， ∴， ∴在对称轴左侧， 设，那么对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 故答案为：或． 21．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)当时，求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若对于任意的，，总有，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）把代入函数解析式，求出二次函数解析式，再令得一元二次方程，求出方程的解即可解答问题； （2）根据题意求出，再分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为， 令，则， 解得：，， 抛物线与x轴的交点坐标为，； （2）解：由可知，抛物线的对称轴为， 抛物线与x轴交点为，． ， ． ． ①若，如图，抛物线开口向上，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． ，， ，， 应有，解得， 又， 在对称轴右侧，且在x轴上方，应有，解得， ； ②若，如图，抛物线开口向下，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． ， 必有， 则有， ，解得， 又， ． 综上所述：m的取值范围是或． 题型八 y=ax2+bx+c的最值 22．已知，，当时，的最大值与最小值的差为（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，由已知条件消去，得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质分别求出的最大值与最小值，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴函数图象开口向上，对称轴为， ∴当时，有最小值，最小值为2， ∵，，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：B． 23．已知抛物线（）的部分图像如图所示，当时，该函数在所给自变量取值范围内，函数值的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的图像性质，掌握二次函数的开口方向、顶点、函数的最值与取值范围是解题关键． 通过抛物线图像，确定开口方向、顶点坐标、区间端点的函数值，从而分析在内的的范围． 【详解】解：观察图像可得： 当时，函数有最小值； 当或时，函数值为， 可知当时，函数值的范围是． 故答案为：． 24．已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1． (1)求的值； (2)设点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求的值；②若，求的最小值． 【答案】(1)4 (2)①或；②2 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的顶点式，非负数的应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质． （1）先将二次函数化为顶点式求解出顶点横坐标，再由顶点横坐标大1求解即可； （2）根据可求解点A的坐标，再由将点B坐标代入函数中即可求解m的值； ②将代入函数中可求解，再将点B坐标代入函数中即可求解m与n的关系，由此可求解最值． 【详解】（1）解：二次函数， ∴该函数的顶点横坐标为1， ∵二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1， ∴二次函数（为常数）的顶点横坐标为2， 又二次函数， ∴，解得； （2）解：①∵，且点在抛物线上， ∴，即， ∵，且点在抛物线上， ∴， 整理可得， 解得或； ②∵，且点在抛物线上， ∴，即， ∴点，即点 ∵点在抛物线上， ∴， 即， ∵，则， ∴， ∴的最小值为2． 题型九 二次函数图像与各项系数符号 25．二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数各项系数对图像的影响是解题的关键． 根据二次函数图像的开口方向，对称轴位置，与y轴交点，以及时的函数值，判断的符号和的符号． 【详解】解：函数开口向下， ， 函数对称轴为直线， ， 函数图像与y轴交于负半轴， 当时，， ， 根据图像可知当时，． 故选：C． 26．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有 （填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点．根据二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，结合对称轴可判断①，②，结合二次函数的最值可判断③，证明，结合当时，可判断④． 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ， ，故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， ，故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有：， ∴，故③正确； 对称轴为直线， ， 当时，， ． ，即，故④正确． 综上所述，正确的有③④． 故答案为：③④． 27．二次函数（a，b，c是常数）的部分图象如图所示．若，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系． 由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过可得，，的等量关系，然后得到，根据的取值范围求出的取值范围，即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 抛物线的对称轴在轴左侧， ， ． 抛物线经过点，， ，， ， ， ． ， ， ，即． 题型十 根据二次函数的图像判断式子符号 28．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 29．如图是二次函数图像的一部分，对称轴为且经过点，有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则，上述说法正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数中、、的符号判断、对称轴性质是解题的关键．由抛物线开口方向、对称轴、与轴交点判断、、的符号，分析①；根据对称轴公式推导与的关系，分析②；利用抛物线过点判断的值，分析③；根据对称轴判断点和到对称轴的距离，分析④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ∵，，， ∴，故①正确． ∵， ∴，故②正确． ∵抛物线经过点， ∴当时，，故③错误． ∵对称轴为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 30．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)已知，当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在．说明理由． 【答案】(1)对称轴 (2)①见解析；②存在，如 【分析】（1）将点代入抛物线解析式可得到a与b的关系，再根据对称轴公式即可求解； （2）利用二次函数的图象和性质，以及不等式的基本性质，即可证明；结合抛物线的对称性和增减性，抛物线上的点离对称轴的距离越近，所对应的函数值越小，分情况讨论即可． 【详解】（1）∵点在抛物线上，且，， ∴， ∴， ∴对称轴为； （2）解：①∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∵当时，总有， ∴， ∵， ∴； ②存在a，b，使得当时，都有． 由①知，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离抛物线对称轴的距离越近，所对应的函数值越小， ∵，，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴当时， ，且P离对称轴的距离更近， ∴，符合题意； 当时， 存在，此时，不符合题意； 当时， 存在，此时，不符合题意； 综上所述，当时，符合题意． ∴，即， ∴存在a，b，使得当时，都有，a与b之间的数量关系为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $