精品解析：广西平果市铝城中学2025-2026学年高二上学期12月份月考数学试题

2025级高二数学12月份月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：选择性必须第一册和第二册的第四章） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两个向量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，若，则等于（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 3. 双曲线与抛物线的准线交于，两点，若，则双曲线的实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 6. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（ ） A. B. C. D. 7. 在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A. B. C. D. 8. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 若直线和的斜率相等，则 B. 已知直线，（､､､､､为常数），若直线，则 C. 点到直线的距离为 D. 直线外一点与上一动点的距离的最小值就是点到直线的距离 10. 已知数列的首项为，前n项和为，下列说法正确的有（ ） A. 若数列为等差数列，公差，则数列单调递增 B. 若数列为等比数列，公比，则数列单调递增 C. 若，则数列为公比为2的等比数列 D. 若，则数列为等差数列 11. 若动点满足（且）其中点是不重合的两个定点），则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，点的轨迹为圆，则（ ） A. 圆的方程为 B. 若圆与线段交于点，则 C. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为 D. 设动点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为_____ 13. 已知向量，，且与互相垂直，则k的值是______. 14. 1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有____________ ①；②为偶数；③；④ 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． （1）求证：平面﹔ （2）求二面角的余弦值． 17. 已知数列中，，数列满足. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）令；求． 18. 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点. （1）求椭圆的方程； （2）不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积. 19. 如图，在四面体中，平面平面，． （1）求证：； （2），，，求二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二数学12月份月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：选择性必须第一册和第二册的第四章） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两个向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得. 【详解】由于， 所以. 故选：C 2. 在等差数列中，若，则等于（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和的性质，可知，即可求得答案. 【详解】在等差数列中，若, 则， 故选：B 3. 双曲线与抛物线的准线交于，两点，若，则双曲线的实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线可得准线，代入双曲线方程求交点纵坐标，求可得参数a，进而可求实轴长. 【详解】由题意，抛物线的准线， ∴将代入双曲线方程得：，则， ∴，故双曲线的实轴长. 故选：C 4. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 则，且，所以. 故选：C. 5. 已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】因为到抛物线焦点的距离为2， 所以由抛物线定义知，，解得. 故选：A. 6. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得双曲线渐近线方程，根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可得答案. 【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，根据对称性，不妨取，即， 因为渐近线与圆相切， 所以圆心（0,2）到直线的距离，解得， 所以或（舍）. 故选：B 7. 在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据向量的坐标表示求出坐标，进而确定E，F坐标，最后求的坐标即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D 8. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知确定已知圆的圆心和半径及其位置关系，进而得到，结合椭圆的定义确定轨迹方程. 【详解】由，标准形式为，圆心为，半径， 由，标准形式为，圆心为，半径， 其中，即已知的两个圆是内含关系， 由题意，若动圆圆心为，半径为，则， 所以， 即是以为焦点，长轴长为12的椭圆，则， 所以动圆的圆心轨迹为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 若直线和的斜率相等，则 B. 已知直线，（､､､､､为常数），若直线，则 C. 点到直线的距离为 D. 直线外一点与上一动点的距离的最小值就是点到直线的距离 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两直线平行和垂直的判定、点到直线距离的性质判断各选项即可. 【详解】直线和的斜率相等但截距不等的情况下，截距相等的情况下两直线重合，A错. 两直线垂直则斜率之积为-1，的斜率为，的斜率为，，即，B对. 点到直线的距离为，C错. 设点到直线的垂点为B，则为直角三角形，根据直角三角形的性质，，所以直线外一点与上一动点的距离的最小值就是点到直线的距离，D对. 故选：AC. 10. 已知数列的首项为，前n项和为，下列说法正确的有（ ） A. 若数列为等差数列，公差，则数列单调递增 B. 若数列为等比数列，公比，则数列单调递增 C. 若，则数列为公比为2的等比数列 D. 若，则数列为等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知确定单调性判断A；按与分析判断B；求出数列通项公式判断C；由递推公式结合等差中项的意义推理判断D作答. 【详解】对于A，依题意，等差数列中，，即，数列单调递增，A正确； 对于B，依题意，，，当时，，数列单调递增， 当时，，数列单调递减，B错误； 对于C，由，得，当时，， 显然不满足上式，即，因此数列不是等比数列，C错误； 对于D，数列的首项为，前n项和为，即， 当时，，两式相减得：， 于是，则有， 整理得：，而，因此，所以数列为等差数列，D正确. 故选：AD 11. 若动点满足（且）其中点是不重合的两个定点），则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，点的轨迹为圆，则（ ） A. 圆的方程为 B. 若圆与线段交于点，则 C. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为 D. 设动点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点代入关系式化简可得的轨迹方程为一个圆，可判断AB；利用圆心且与直线的距离为，且，可判断C；利用，转化为圆心到点的距离加上圆的半径后，再平方再减去25可判断D. 【详解】设，由得， 整理得，即，故A正确； 在上，所以，故B正确 过圆心且与直线平行的直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交， 因为，所以在直线与直线之间的圆弧上有两个点到直线直线的距离为，在直线的另一侧的圆上还有两个点到直线的距离为，共有4个点，故C错误； 设动点，所以， 则，即求圆上的点到点的距离的平方减去25的最大值，转化为圆心到点的距离加上圆的半径后，再平方再减去25即可，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程的特征得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得. 故答案为： 13. 已知向量，，且与互相垂直，则k的值是______. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据坐标运算表示出，再根据向量垂直对应的数量积为0求解即可 【详解】，与互相垂直， 则，即， 解得. 故答案为： 14. 1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有____________ ①；②为偶数；③；④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再结合递推公式逐一分析判断即可. 【详解】记该数列为，，，当时，， 对于①，，，，，，，，，，①正确； 对于②，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和， 此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组， 而，则为奇数，②错误； 对于③，当时，，则 ，③正确； 对于④，，④正确. 故答案为：①③④ 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. 【小问1详解】 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． （1）求证：平面﹔ （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图，连接交于，连接， 由是的中点可得，又为正方形， 所以，所以，所以，即， 又，即，所以/， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，根据条件证明即可得证； （2）先证明平面，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面与平面的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点， 可得，又平面，故得平面. 如图，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， 所以，，则， 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 又平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知数列中，，数列满足. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）令；求． 【答案】（1）证明：， 又数列是为首项，1为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义计算即可； （2）先算出数列的前项和为，根据或分类讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的前项和为，则 由，得，即时，时，， ①时，. ②时， 所以. 18. 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点. （1）求椭圆的方程； （2）不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可； （2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为，双曲线的焦点为， 所以椭圆的顶点为，焦点为，即，，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 联立方程组消去，得. 解得或，不妨设，， 则. 19. 如图，在四面体中，平面平面，． （1）求证：； （2），，，求二面角的大小． 【答案】（1）证明：平面平面，平面平面， 又，平面，平面， 又平面，． （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）取的中点为，的中点为，连接，推导出平面，，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，由，， 平面平面，平面平面，平面， 平面． 取的中点为，连接，则，，． 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系． 因为，，， 则， ， 所以、、、， 则， ， 由（1）得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 取，则．于是， 显然，二面角为锐角，二面角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $