2.2 二次函数的图像与性质（十大题型2）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2.2 二次函数的图像与性质 题型一 一次函数、二次函数图像综合判断 1．如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 2．二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是 ． 3．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 题型二 反比例函数、二次函数图像综合判断 4．若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 5．抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 6．如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米； (1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______； (2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为 ①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？ ②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）. 题型三 两个二次函数图像综合判断 7．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 8．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是 ． 9．设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 题型四 已知抛物线上对称两点求对称轴 10．若点，在抛物线上，则此抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 11．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 2 … … 1 则该二次函数图象的对称轴为 ． 12．设二次函数（，b，c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示． x … 0 1 2 … y … m 1 n 1 … (1)求二次函数的对称轴． (2)若当时，y有最小值，求a的值． (3)求证：． 题型五 根据二次函数对称性求函数值 13．如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D．3 14．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则当时， ． … … … … 15．抛物线经过点，． (1)求a，c的值； (2)点，均在上． ①若，求m的值； ②若，直接写出与的大小关系． 题型六 利用二次函数对称性求最短路径 16．如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为 ． 18．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出点的对应点． (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点，使的值最小．求点的坐标和的最小值． 题型七 二次函数图像的平移 19．将抛物线向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 20．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的新抛物线解析式为 ． 21．在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点． (1)求点的坐标（用含有的代数式表示）； (2)若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围； (3)将点向右平移个单位得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 题型八 图像法解一元二次不等式 22．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 23．如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 24．已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围． 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 25．设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 26．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是 27．已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与轴相交于点． (1)求的值和二次函数的解析式； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 题型十 根据交点确定不等式的解集 28．抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 29．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 30．如图，二次函数的图象的对称轴为直线，与直线相交于点和点，其中点在轴上． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)当时，根据图象写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 二次函数的图像与性质 题型一 一次函数、二次函数图像综合判断 1．如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴，以及一次函数的斜率与截距的意义是解题的关键． 先根据一次函数的图象确定的符号，再结合二次函数的开口方向、对称轴等性质，逐一判断选项是否符合． 【详解】解：A、二次函数开口向上，；一次函数过一、三象限，，一次函数与y轴的正半轴相交，二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴右侧，符合，故A项可能． B、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故B项不可能． C、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故C项不可能． D、二次函数开口向下，；一次函数过二、四象限，，但二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴左侧，而图中对称轴在轴右侧，矛盾，故D项不可能． 故选：A． 2．二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象的位置关系，解题的关键是理解二次函数与一次函数的大小关系是解题的关键．根据二次函数图象与一次函数图象的位置关系求解即可． 【详解】解：二次函数和一次函数的图象交于点和， 两函数交点的横坐标分别为， 观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：． 故答案为：． 3．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 【答案】(1)， (2)经过第二、三、四象限，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． （1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得． （2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）解：， ， 由图可知，， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 题型二 反比例函数、二次函数图像综合判断 4．若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 5．抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 6．如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米； (1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______； (2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为 ①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？ ②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）. 【答案】(1)，12，， (2)①，说明见解析；② 【分析】（1）根据题意得到F点坐标代入解析式求出反比例函数解析式，再求出点D坐标代入抛物线即可得到答案； （2）根据题意求出新抛物线的交点求出A点坐标，将横坐标及横坐标加2代入抛物线即可得到d的取值范围； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，球台到轴的距离为6米， ∴， 将代入得， ， ∴， ∵到轴的距离为3米， ∴，故， 将代入得， ，解得：， 故答案为：，12，，； （2）解：解：①∵抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 把代入，解得， ∴的表达式为， ∵点A在反比例函数，且米， ∴点A的坐标为，当时，， ∴与弯道不相交，小球不能落在弯道上. ②当时，； 当时，， 综上，； 题型三 两个二次函数图像综合判断 7．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 8．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 9．设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值； （2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出； （3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可． 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 题型四 已知抛物线上对称两点求对称轴 10．若点，在抛物线上，则此抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称性，两点纵坐标相同，且均在抛物线上，故两点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值．据此解答即可． 【详解】解：∵点，的纵坐标均为4， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线， ∴抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 11．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 2 … … 1 则该二次函数图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题主要考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．由图表可知，和1时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：∵、时的函数值都是相等， ∴此函数图象的对称轴为直线， 故答案为：直线． 12．设二次函数（，b，c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示． x … 0 1 2 … y … m 1 n 1 … (1)求二次函数的对称轴． (2)若当时，y有最小值，求a的值． (3)求证：． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，增减性，最值的计算是关键． （1）根据表格信息得到对称轴直线为，即可； （2）根据题意得到，分类讨论：当时，二次函数图象开口象限，对称轴直线处取得最小值；当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，当时，取得最小值；代入求值即可； （3）根据题意当时，，当时，，得，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴直线为； （2）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， 当时，二次函数图象开口向上，对称轴直线处取得最小值， ∴， 解得，； 当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小， ∴当时，取得最小值， ∴， 解得，； （3）解：当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向下，函数的最大值为， ∴． 题型五 根据二次函数对称性求函数值 13．如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的对称性，代数式求值，先求出点关于对称轴的对称点，代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：对称轴是直线， 点关于对称轴的对称点为，即， 将代入，得：， 故选：A． 14．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则当时， ． … … … … 【答案】7 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，根据二次函数的对称性，确定抛物线的对称轴是解题的关键． 当时，或1，根据抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为，所以和时，对应的函数值相等，据此求解即可． 【详解】解：由表可得，二次函数的对称轴为：， 和时，对应的函数值相等， 当时，． 故答案为：7． 15．抛物线经过点，． (1)求a，c的值； (2)点，均在上． ①若，求m的值； ②若，直接写出与的大小关系． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用等定系数法求解即可； （2）①分别求出和，根据列出方程，解方程即可,②利用函数的增减性即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， （2）①解：由（1）可得：抛物线的解析式为：， ∵点，均在上，且 ∴ 解得： ②由（1）得对称轴为直线 ∵， ∴ ∵ ∴当时 ∴y随增大而减小 ∴. 题型六 利用二次函数对称性求最短路径 16．如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 17．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，得出，点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为，令和分别求得的坐标，求出直线的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：如图所示，连接， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A和点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵当时，，则 当时，， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得： 则的解析式为：， 令，则， 则， 故答案为： 18．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出点的对应点． (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点，使的值最小．求点的坐标和的最小值． 【答案】(1)； (2)详见解析； (3)作图见解析，，的最小值为 【分析】本题考查二次函数的图象及性质、待定系数法及两点间线段最短的原理，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性，即可求解； （2）连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； （3）根据二次函数的对称性，在对称轴上的点，易得，即当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长．连接交对称轴于点，点即为所求，连接．先求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标． 【详解】（1）解：点关于对称轴的对称点为点，对称轴是直线， 点为； （2）解：如图所示，连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； （3）解：当时，， 点为， 如图所示，连接交对称轴于点，点即为所求，连接， 点为， ， 点关于对称轴的对称点为点， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 设直线的解析式为， 将点、点代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在抛物线的对称轴上， ， 则点，的最小值为． 题型七 二次函数图像的平移 19．将抛物线向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“抛物线平移时，解析式遵循‘上加下减’的规则’”是解题的关键．根据抛物线平移的“上加下减”规则，对原抛物线解析式进行变换，得到平移后的解析式． 【详解】解：∵原抛物线解析式为，需向下平移3个单位长度 ∴平移后的抛物线解析式为 故选：A． 20．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的新抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减进行求解． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的新抛物线解析式为，即， 故答案为：． 21．在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点． (1)求点的坐标（用含有的代数式表示）； (2)若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围； (3)将点向右平移个单位得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的性质（单调性）、二次函数与一次函数的交点问题以及不等式求解等知识点． （1）把抛物线解析式配方成顶点式即可得出顶点坐标； （2）根据抛物线开口方向时，取最大值，再由对称性可得直线与直线关于直线对称，故当时，，所以，求解该不等式组即可解答； （3）因为抛物线顶点坐标为，所以抛物线顶点在直线上运动，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象分类讨论即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：， 点的坐标为； （2）由题意，结合（1）， 当时，抛物线对称轴为直线，开口向下， 时，随增大而减小， ， 时，取最大值， 直线与直线关于直线对称， 时，， ， ； （3）抛物线顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上运动， 点向右平移个单位得到点， ， ①如图，抛物线顶点在所在直线上， ，即，符合题意， ②如图， 当抛物线过时，则， ， 又当抛物线过时，则， （舍去）或， 又抛物线与线段只有一个公共点， ， 综上，或． 题型八 图像法解一元二次不等式 22．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在轴下方时的自变量的取值范围即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是； 故选C． 23．如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，根据图象可知在点的左侧和点的右侧不等式成立，再根据点、的横坐标写出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧不等式成立， 点的坐标是，点的坐标是， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 24．已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：列表如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 0 …… 如图， （3）解：由图象知：当时，. 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 25．设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，难度较大﹒ 根据关于的方程有两个不相等的实数根得到或﹒根据二次函数与方程关系得到关于的方程可以看作求二次函数与x轴交点坐标，进而得到当时，，当时，﹒当时，根据二次函数开口向上，，得到，求出，不合题意；当时，根据二次函数开口向下，，得到，求出，即可得到﹒ 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，并且， ∴， 解方程得， ∵， ∴当时，， ∴或﹒ ∵关于的方程可以看作求二次函数与x轴交点坐标， ∴当时，， 当时，﹒ 当时，二次函数开口向上， ∵， ∴， 解不等式组得，不合题意； 当时，二次函数开口向下， ∵， ∴， 解不等式组得， 又∵， ∴﹒ 故选：D﹒ 26．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征． 由函数解析式可得其对称轴为直线，且开口向上，从而得出对称轴右侧，y随x的增大而增大，根据对于，得出，由，当时，，即，从而可求出，对于，都有，可得出，两边平方并整理求出，最后取其公共解即可． 【详解】解：该函数解析式为， 其图象开口向上，对称轴为直线， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵，， ∴点B在点A右侧， ∵，，都有， ∴当时，，即，解得， 对于，都有， ∴，两边平方得：， ∴， ∴，即，综上所述： 故答案为． 27．已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与轴相交于点． (1)求的值和二次函数的解析式； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)当或时，． 【分析】（1）把点坐标代入一次函数式中，即可求得的值；利用待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）依据题意，结合（1）将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的增减性和自变量范围,求对应函数值的范围； （3）已知一次函数与二次函数的交点坐标，再结合函数图象即可写出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点、， ∴把点的坐标代入得：，解得：； ∴把点，点的坐标代入二次函数得： ，解得：， ∴二次函数解析式为． （2）∵由（1）可得函数解析式为， ∴化为顶点式：， ∴二次函数开口向上，对称轴为，有最小值为． ∵， ∴当时，；当时，；当时，， ∴当时，． （3）∵，从图形上看是一次函数的图象位于二次函数图象的下方， ∴结合图象观察得，当或时，一次函数的图象位于二次函数图象的下方， ∴当或时，． 题型十 根据交点确定不等式的解集 28．抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根据函数的对称性，抛物线和x轴的另一个交点坐标为，再观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可知，对称轴为直线， 根据函数的对称性，抛物线和x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知，当时自变量x的取值范围为， 故选：C． 29．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的交点问题，利用图象求不等式的解集，找到直线在抛物线上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：抛物线与直线交于两点， 由图象可知，不等式的解集是； 故答案为：． 30．如图，二次函数的图象的对称轴为直线，与直线相交于点和点，其中点在轴上． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)当时，根据图象写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）求出点的坐标，结合二次函数的对称轴即可求解； （2）根据图象即可解题． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把点代入二次函数，得， ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为：， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）解：当时，根据图象知的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $