2025-2026学年高二上学期数学人教A版期末模拟试题

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第9-10章（统计、概率）+选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（25-26高二·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为.故选：B. 2.（2024·江西赣州·高二上统考期末）某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】C 【详解】采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人， 已知高一、高二、高三分别有600人、500人、700人， 则应从高三抽取的人数为. 故选：C. 3.（2025·云南昆明·高二云南师大附中校联考期中）从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张， 基本事件总数种情况， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： 共6种情况， 故所求概率为：， 故选：B. 4.（24-25高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：，：，即， 因为两直线平行，所以距离为，故A正确.故选：A. 5.（2024秋·陕西·高二校联考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．11 D．26 【答案】C 【详解】因为抛物线：，所以抛物线的准线为， 记抛物线的准线为，作于，如图所示： 因为，， 所以当，，共线时，有最小值，最小值为. 故选：C. 6.（2025·河北邯郸·月考）由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为四边形为正方形，且,所以, 故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为. 故选：B 7.（24-25高二上·江西南昌·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为， 所以，又点D在确定的平面内，是平面外任意一点， 所以，即， 则.故选：A. 8.（24-25·陕西西安·期末）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意， 在中，设左焦点为，，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， 由椭圆的定义得， ∴. ∵ ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（24-25·浙江舟山·高二统考期末）同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，列举法找到所有可能情况，由古典概型的概率计算公式分别计算. 【详解】设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，样本点为， 则样本空间为，则， 事件表示“两枚骰子的点数之和为”， ， 所以，故A错误； 事件表示“红色骰子的点数是偶数”， 所以，故B正确； 事件表示“两枚骰子的点数相同”， ， 所以，故C正确； 事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”, ， 所以，故D正确. 故选：BCD 10.（2025·高二·广东茂名·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前前年）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，，平面内的动点满足：，则下列关于动点的结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．当三点不共线时，面积的最大值是 C．当三点不共线时，若点的轨迹与线段交于，则 D．若点，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】设，因为，所以，整理得到， 故点的轨迹方程为， 对于A，点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，故A正确； 对于B，因为圆的半径为4且，当的底边上的高最大， 即高为半径4时，面积最大，即面积的最大值是，故B正确； 对于C，由题知，点M的坐标为，当不共线时，因为， 由角平分线定理的逆定理知：射线是的平分线，故C正确； 对于D，因为，即，则，又P在圆上，如图所示， 由图知，当三点共线且点在线段上时，取最小值， 此时，故D错误， 故选：ABC． 11.（24-25·全国·高二期末）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为，点关于的对称点为.给出下列四个命题其中正确的是（    ） A．两椭圆的焦距长相等 B．两椭圆的离心率相等 C． D．与小椭圆相切 【答案】BC 【详解】设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为， 设点、、， 以椭圆的中心为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设小椭圆的方程为， 则大椭圆的方程为， 对于A，大椭圆的焦距长为，两椭圆的焦距不相等，A错； 对于B，大椭圆的离心率为，则两椭圆的离心率相等，B对； 对于C，当直线与坐标轴垂直时，则点关于坐标轴对称，此时点为线段的中点，合乎题意，当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 联立可得， ，可得， 此时，， 联立， 可得， 由韦达定理可得， 即点为线段的中点，所以，，C对； 对于D，当点的坐标为时，将代入可得，不妨取点、，则，若，则直线的方程为，此时直线与椭圆不相切，D错. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（24-25·全国·高二专题练习）某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男、女按比例分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为20，女生样本的均值为160，方差为30，据此估计该校高一年级学生身高的总体方差为 ． 【答案】48 【详解】由题意，某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人， 可得总体的均值为， 总体的方差为. 故答案为：48. 13.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，动直线：过定点，动直线：过定点.若与交于点（异于点），则面积最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得定点和，由两直线垂直的判定方法，求得，得到点在以为直径的圆上，求得，结合基本不等式，即可求得的面积的最大值，得到答案. 【详解】由直线，令，可得，所以直线恒过定点， 由直线，得，所以直线恒过定点， 因为和的直线方程，满足，所以， 又因为和交于点，所以点在以为直径的圆上（除去点和）， 由，可得， 则直角的面积， 当且仅当时，等号成立，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题，已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】. 【解析】：由题意可知，平面的方程为：，所以其一个法向量为，同理可得，分别为平面与的一个法向量，设直线的方向向量为，则，解得：，令，则，设直线与平面所成角为，则.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)： (2) 【分析】（1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案； （2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线. 【详解】（1）因为直线垂直于直线，直线 所以设直线：， 将点代入直线：， 所以直线：. （2）设点关于直线的对称点为，则 所以， 所以反射光线:， 化简得：. 16.（2024上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考期末）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.    (1)求出直方图中m的值； (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）； (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 【答案】(1) (2)平均数为71，中位数为73.33 (3) 【详解】（1）由， 得. （2）平均数为. 设中位数为， 质量指标值位于之间的频率为0.4，位于之间的频率为0.7， 所以，， 且， 解得. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知，质量指标小于70的频率为0.4，大于70的频率为0.6， 所以100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个. 又抽样比为， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个、二等品有个. 记这3个一等品为，2个二等品为， 则从5个口罩中抽取2个，所以可能的样本点的有：，，，，，，，，，，共10个等可能的样本点， 其中恰有1个口罩为一等品包含的样本点有：，，，，，，共6种. 根据古典概型可知，这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为. 17.（2025·河南周口·高二月考）已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，，， ，， 椭圆的标准方程为． （2）依题意，知，设，． 联立消去，可得． ，即，， ，． ，． ， ， 整理，得， 解得或（舍去）． 直线的方程为． 18.（24-25·全国·高二联考）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 【答案】(1)1 (2)是在定直线上，定直线 【详解】（1）由题意得，所以， 设，，， 则， 作差得， 又MN的斜率，， 所以. （2）∵，∴，，， 直线l：，， 设，， 联立得， 所以，所以， 设直线AN：，BM：， 所以， 所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上． 19.（24-25高二上·四川成都·期中）如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．    (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)求； (3)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1），，， ，所以,,,四点共面. （2）平面， 上的所有的点到平面的距离都相等， 同理上所有的点到的距离也相等， ， ， 点在平面的射影落在上，过点作，过点作， 平面，， 又与是平面内两条相交直线， 平面,， 在直角三角形中，，，解得, 又在直角三角形中，，， 在直角三角形中，可得， ； （3）设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由（2）可知，， ，，，， 由，可求得，， ，， 设为平面的法向量， ，取，，， ， ，， 设，， ， 设直线与平面所成角的为， ， ，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第9-10章（统计、概率）+选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（25-26高二·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江西赣州·高二上统考期末）某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 3.（2025·云南昆明·高二云南师大附中校联考期中）从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 5.（2024秋·陕西·高二校联考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．11 D．26 6.（2025·河北邯郸·月考）由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高二上·江西南昌·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 8.（24-25·陕西西安·期末）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（24-25·浙江舟山·高二统考期末）同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 10.（2025·高二·广东茂名·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前前年）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，，平面内的动点满足：，则下列关于动点的结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．当三点不共线时，面积的最大值是 C．当三点不共线时，若点的轨迹与线段交于，则 D．若点，则的最小值为 11.（24-25·全国·高二期末）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为，点关于的对称点为.给出下列四个命题其中正确的是（    ） A．两椭圆的焦距长相等 B．两椭圆的离心率相等 C． D．与小椭圆相切 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（24-25·全国·高二专题练习）某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男、女按比例分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为20，女生样本的均值为160，方差为30，据此估计该校高一年级学生身高的总体方差为 ． 13.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，动直线：过定点，动直线：过定点.若与交于点（异于点），则面积最大值是 . 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题，已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 16.（2024上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考期末）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.    (1)求出直方图中m的值； (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）； (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 17.（2025·河南周口·高二月考）已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程． 18.（24-25·全国·高二联考）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 19.（24-25高二上·四川成都·期中）如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．    (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)求； (3)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $