精品解析：辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学第20周周测试题

辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年上学期高三数学 第20周周二全卷测试题 一、单选题 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】进行交集的运算求出，然后即可得出的真子集的个数． 【详解】因为，， 将中元素代入，验证可得， 所以的真子集的个数为. 故选：B. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】运用复数乘法运算及复数相等可求得a、b的值，再运用共轭复数及复数的模的运算公式即可求得结果. 【详解】设（a，），则， 根据复数相等的定义，得，解得或， 所以． 故选：B. 3. 已知数列满足，则数列第2022项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题中条件可得到偶数项得关系，再进行累加即得. 【详解】 所以 累加得 故选：C. 4. 若直线与圆交于不同的两点A、B，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可得，则，根据垂径定理和点到直线的距离公式计算求解． 【详解】设圆心O到直线l的距离为d， ∵，则以为邻边的平行四边为菱形，即 由，即，则 又由垂径定理可知，即 解得 则，解得． 故选：A． 5. 已知向量与为单位向量，若也是单位向量，则向量与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：把的长度为1用数量积表示，再结合向量的夹角公式可得. 详解：由题意， ∴，∴， 故选A. 点睛：本题考查平面向量数量积的定义，掌握相应的公式是解题基础. 向量数量积的定义：；性质:，. 6. 已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，，所以问题转化为，求解即可. 【详解】由可得， 当时，符合题意； 当时，是关于的一次函数，此时只需区间端点的函数值不小于即可， 又当时，， 当时，， 所以，即，解得， 综上，. 故选；A. 7. 已知双曲线M：的焦距为2c，F为抛物线的焦点.以F为圆心，c为半径的圆过双曲线M的右顶点.若圆C：与双曲线M的渐近线有公共点，则半径r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的方程得，写出以F为圆心，c为半径的圆的方程，由题意可得，即，取其中一条渐近线，根据到直线的距离小于等于即可求解. 【详解】由抛物线的方程可得，则以F为圆心，c为半径的圆的方程为. 又过双曲线M的右顶点,所以, 所以. 因为圆C：与双曲线M的渐近线有公共点， 双曲线M的渐近线方程为，即， 由对称性可取其中一条渐近线， 所以到直线的距离小于等于，即，即. 故选：A. 8. 如图甲是一水晶饰品，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示．若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件及正四面体的体积公式即可求解. 【详解】由题意可知星行八面体体积为一个棱长为的大正四面体与四个棱长为的小正四面体的体积之和， 故该星形八面体体积为. 故选：A. 二、多选题 9. 已知平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. 一定可以作为一个基底 B. 一定有最小值 C. 一定存在一个实数使得 D. 的夹角的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：借助模长与数量积的关系计算即可得；对D：找出反例即可得. 【详解】对A：若，即，即，此时不能作基底，故A错误； 对B：， 故有最小值，故B正确； 对C：若，则有 即，即，即， 解得，即当时，，故C正确； 对D：由A知，若，则，即只能同向不能反向， 故的夹角不可能为，故D错误. 故选：BC. 10. 已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由正态分布概念、组成的理解和正态分布曲线的对称性逐一判断即得. 【详解】由可得，，故A错误；B正确； 对于C，因,则，故C错误； 对于D，因，则,故，即D正确. 故选：BD. 11. （多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图像求出函数解析式，再逐个选项判断即可. 【详解】由图可知，， ，则， 又， ， 则． 的图象不关于直线对称，A错误； ，的图象关于点对称，B正确； 由，得，则在区间上单调递增，C正确； 由，得， 或． 取，得或；取，得或． 函数与的图象的所有交点的横坐标之和为，D正确. 故选：BCD． 三、填空题 12. 已知二项式，其展开式中含项的系数为________. 【答案】45 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，令即可求解. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为， 令，得， 即含项的系数为45. 故答案为：45 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题设可得，进而求得，再应用二倍角余弦公式及诱导公式求目标函数值. 【详解】由题设，又，则， 所以，则. 故答案为： 14. 已知等比数列中，，，则满足成立的最大正整数的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设的公比为，由，，解得和， 由数列是等比数列，用公式法求和，解不等式求出n. 【详解】已知为等比数列，设其公比为，由得，，，解得，又．∴． 因为，所以数列也是等比数列，其首项为，公比为． ∴，从而有． ∴．故． 故答案为：3. 【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质． 四、解答题 15. 已知函数在处有极值. （1）求、的值； （2）求出的单调区间，并求极值. 【答案】（1）， （2） 极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，即可解得实数、的值； （2）利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间，由此可得出函数的极值. 【小问1详解】 解：因为，该函数的定义域为，， 则，解得，此时，， 经检验，，合乎题意. 因此，，. 【小问2详解】 解：因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的递减区间为，递增区间为， 函数的极小值为，无极大值. 16. 已知四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一动点，点是的中点． （1）求证：； （2）若，问是否存在点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面平面，， 平面平面， 在平面内， 所以平面， 因为 在平面内，所以； （2）存在，点E为的中点 【解析】 【分析】（1）由平面平面，，可证得平面，而 在平面内，所以； （2）如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以，所以，所以, 因为平面平面，平面平面， 所以平面, 所以, 因为, 所以平面,所以, 因为， ，所以, 所以,, 所以， 如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，则 因为为棱上一动点在上，所以设， 所以，解得， 所以，, 设平面的法向量为，则, 所以 得，令，则， 所以 设平面的法向量为，则 所以， 令，则，得， 所以， 所以， 解得， 所以当点E在的中点时，二面角的余弦值为 【点睛】此题考查证明空间中的线线垂直，利用空间向量解决二面角问题，属于中档题. 17. 已知函数的部分图象如图所示，. （1）求的解析式； （2）若，求函数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的图象，结合五点法作图求出解析式. （2）由（1）的结论，利用差角的余弦公式化简，再求出指定区间上的值域. 【小问1详解】 观察图象得，，函数的最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 18. 如图，抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD交于点E． （1）请证明E为定点， 并求点E的坐标； （2）当的面积最大时，求抛物线M的方程． 【答案】（1） 证明：设，，则，． 由得， 则有 解得．又，所以． 由圆与抛物线的对称性可知，点在轴上， 设．直线的方程为， 则，所以． 又，得， 所以，所以为定点，坐标为． （2） 【解析】 【分析】 （1）设出A、B两点的坐标，将抛物线与圆方程联立，消去，得到二元一次方程，表示出直线的方程，结合上面韦达定理和抛物线的点可得E点坐标； （2）根据对称性，的面积可以由表示，利用第（1）问的韦达定理得出的结论化简，可找出的面积的表达式，结合函数的最值，求出，即可求出抛物线M的方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知的面积与的面积相等，设的面积为． 如图，连接AD，BC，AB，CD四边形ABCD为等腰梯形，其面积为， 则 由（1）知，，， 所以， 所以 ， 当时，的最大值为6，这时抛物线的方程为． 19. 甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为． （1）当时，求球又回到甲手中的概率； （2）当时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； （3）记，求证：数列从第3项起构成等比数列，并求． 【答案】（1）； （2） ； （3） 次传球后，乙、丙、丁三人中被传到球，有两种情况： 第一种，时，次传球后，此人均接过他人传球，则其概率为； 第二种，时，次传球后，此人中只有人接过他人传球，则第次传球时将球传给剩余的1人， 其概率为：； 所以当时，， 故，因为，. 所以数列从第3项起构成等比数列. . 【解析】 【分析】（1）考虑传球过程中，是否传给甲，分类讨论，根据古典概型的概率计算公式即可求得结果； （2）求得的取值，结合（1）中求解思路，求得对应取值下的概率，即可求得分布列，再求数学期望即可； （3）讨论次传球后，人接过球的人数情况，构造等比数列，结合等比数列通项公式的求解，即可证明并求得通项公式. 【小问1详解】 传球的过程中，不考虑第四次传给谁，有种； 传球的过程中不传给甲，第四次传给甲，有种， 传球的过程中传给甲，有种； 故传球次，球又回到甲手中的概率为. 【小问2详解】 根据题意可得， ，， ， 故的分布列如下所示： 则. 【小问3详解】 ，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年上学期高三数学 第20周周二全卷测试题 一、单选题 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知数列满足，则数列第2022项为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与圆交于不同的两点A、B，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与为单位向量，若也是单位向量，则向量与的夹角为 A. B. C. D. 6. 已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线M：的焦距为2c，F为抛物线的焦点.以F为圆心，c为半径的圆过双曲线M的右顶点.若圆C：与双曲线M的渐近线有公共点，则半径r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图甲是一水晶饰品，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示．若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. 一定可以作为一个基底 B. 一定有最小值 C. 一定存在一个实数使得 D. 的夹角的取值范围是 10. 已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）． A. B. C. D. 11. （多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和 三、填空题 12. 已知二项式，其展开式中含项的系数为________. 13. 已知，则______. 14. 已知等比数列中，，，则满足成立的最大正整数的值为______． 四、解答题 15. 已知函数在处有极值. （1）求、的值； （2）求出的单调区间，并求极值. 16. 已知四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一动点，点是的中点． （1）求证：； （2）若，问是否存在点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由． 17. 已知函数的部分图象如图所示，. （1）求的解析式； （2）若，求函数的取值范围. 18. 如图，抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD交于点E． （1）请证明E为定点， 并求点E的坐标； （2）当的面积最大时，求抛物线M的方程． 19. 甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为． （1）当时，求球又回到甲手中的概率； （2）当时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量，求的分布列与数学期望； （3）记，求证：数列从第3项起构成等比数列，并求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $