精品解析：山东省实验中学2025-2026学年高二上学期第三次诊断性考试数学试题

山东省实验中学2024级高二第三次诊断性考试 数学试题 2026.1 （本试卷共4页，19题；全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意项： 1.答卷前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题纸上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题的作答：用0.5m黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若与垂直，则（ ） A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 2. 已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于（　　） A. 26 B. 13 C. 2 D. 1 5. 已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为椭圆的右焦点，点，点P为椭圆上任意一点，且的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是圆：上的一个动点，且直线与直线交于点，则对于任意实数，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本愿共3小题，每小题6分，共8分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题表述正确的是（   ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 已知直线和以、为端点的线段相交，则实数的取值范围为 10. 已知双曲线为其右焦点，点到渐近线的距离为1，平行四边形的顶点在双曲线上，点在平行四边形的边上，则（） A. B. C. 若平行四边形各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为 D. 四边形的面积 11. 如图，在棱长为4的正方体中，为和的交点，点在线段上，，，分别为棱和的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 若点是线段上一动点，则直线平面 B. 若点是平面内一点，且满足，则点的轨迹是椭圆 C. 若点为平面内一点，且满足，则的最小值为 D. 过线段且垂直于平面的截面图形为等腰梯形 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为_____. 13. 已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是___________ 14. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 16. 如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． （1）求证：； （2）求直线MN与平面所成角的正弦值． 17. 已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A,B两点． （1）求C的标准方程； （2）若直线l的方程为，求 ； （3）若OA垂直于OB，求证：直线l过定点． 18. 设两点的坐标分别是，直线相交于，且它们的斜率之积为，点的轨迹构成的曲线记为． （1）曲线的方程； （2）若直线与曲线相交于不同的两点，点是曲线上的动点（异于． （i）当时，若直线斜率均存在，判断是否一定是定值，并证明你的结论； （ii）当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，. （1）证明：平面； （2）点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且. （ⅰ）若平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2024级高二第三次诊断性考试 数学试题 2026.1 （本试卷共4页，19题；全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意项： 1.答卷前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题纸上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题的作答：用0.5m黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若与垂直，则（ ） A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】， 因为与垂直， 所以， 解得， 故选：D 2. 已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可 【详解】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C 3. 已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由点差法即可求解. 【详解】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 4. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于（　　） A. 26 B. 13 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】设平面的法向量，则，令，得， 所以这个四棱锥的高. 故选：D 5. 已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为. 如图： 依圆的知识可知，四点共圆，且， 所以， 而， 当直线时，最小，此时最小， 所以当直线时，最小. 此时斜率为1，故方程为， 联立，解得，即， 所以，中点 故以为直径的圆的方程为， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B 6. 已知为椭圆的右焦点，点，点P为椭圆上任意一点，且的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求出最小值，进而可列方程求出. 【详解】椭圆，即， 则， 则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 解得. 故选：D. 7. 已知是圆：上的一个动点，且直线与直线交于点，则对于任意实数，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定点的轨迹方程，由两圆的位置关系即可求解. 【详解】对于直线，化简可得：，恒过点， 对于直线，化简可得：，恒过点， 又可知两直线垂直， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径， 方程为， 因直线恒过点，若交点为， 则点也应在另一条直线上，代入得，即，不成立， 故点的轨迹不包含点， 当时，直线与直线交于点， 所以点轨迹方程为， 则圆和圆，易知相离，两圆圆心距为， 的距离下限为，在时取得， 但因点的轨迹不包含点，故该值无法取到， 最大值为，当取最大值， 所以的取值范围是， 故选：A 8. 已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，由勾股定理可得三边关系，由离心率的定义可得，再利用向量法或者三角换元即可求出的最大值. 【详解】由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为 因为二者共焦点，所以， 如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知， 由此解得，由题意知， 所以， 故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得， 由离心率的定义可得，设，则，问题转化为求的最大值， 设，由可得， 当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以的最大值为. 故选：B. 二､多项选择题：本愿共3小题，每小题6分，共8分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题表述正确的是（   ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 已知直线和以、为端点的线段相交，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对直线是否过原点进行分类讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数值，可得出直线的方程，可判断A选项；求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可判断B选项；分析可知，两圆外切，可求出的值，可判断C选项；分析可知的几何意义是线段上一点与定点连线的斜率，数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，当直线过原点时，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线方程得，解得，此时直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，即， 将点的坐标代入直线方程得，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或，A错； 对于B选项，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，B对； 对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有三条切线，故两圆外切，故， 故，解得，C对； 对于D选项，由得， 可知的几何意义是线段上一点与定点连线的斜率，如下图所示： 由斜率公式可得，，作直线， 当直线从直线的位置运动到靠近直线的位置时， 此时直线的倾斜角为锐角，且直线的倾斜角逐渐增大，则； 当直线从靠近直线的位置运动到与直线重合时， 此时直线的倾斜角为钝角，且直线的倾斜角逐渐增大，此时. 综上所述，的取值范围是，D错. 故选：BC. 10. 已知双曲线为其右焦点，点到渐近线的距离为1，平行四边形的顶点在双曲线上，点在平行四边形的边上，则（） A. B. C. 若平行四边形各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为 D. 四边形的面积 【答案】BCD 【解析】 【分析】由点到线的距离判断A，由对称性结合双曲线定义判断B，由渐近线性质判断C，联立直线与双曲线，表示面积利用函数单调性求得范围判断D. 【详解】对A，易知渐近线方程为，焦点F坐标为， 点到渐近线的距离为，故项错误； 对B，若为双曲线的左焦点，又点在平行四边形上， 则根据对称性知点也在平行四边形上，且， 所以，故B项正确； 对C，由双曲线的渐近线方程为， 若平行四边形各边所在直线的斜率均存在，当其值为时， 则平行四边形各对应边所在直线与双曲线不可能有四个交点，故C项正确； 对D，如上图，设直线， 联立双曲线方程得，且， 所以， 则， 由对称性知，则点到直线的距离， 所以，令， 则， 又在上单调递减，故在上单调递增， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是利用对称性解决B，合理表示面积结合函数单调性求得面积范围. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，为和的交点，点在线段上，，，分别为棱和的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 若点是线段上一动点，则直线平面 B. 若点是平面内一点，且满足，则点的轨迹是椭圆 C. 若点为平面内一点，且满足，则的最小值为 D. 过线段且垂直于平面的截面图形为等腰梯形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正方体的性质，利用线线平行推出面面平行，进而推出线面平行判断选项A；建立空间直角坐标系，利用余弦定理结合已知条件列方程求出轨迹方程，判断选项B；利用正方体几何性质，结合线面垂直定理分析判断选项C，D． 【详解】 由正方体的性质可知，，平面，平面， 平面， 又，平面，平面， 平面， 又，平面，平面， 平面平面， 平面，平面，故A正确； 选项B：以为原点建立下图所示空间直角坐标系， 正方体棱长为4，即，又，， ， 设点，则， ， ，由余弦定理得：， ， ， ， 展开整理得，化简得，，是以为圆心，半径是的圆的一部分，故B错误； 选项C：连接，交于点，连接， 平面，平面， 平面平面，交线为， 位于上，则的最小值为到直线的距离， 当时，取得最小值，是直角三角形， ，即， 的最小值为，故C正确； 选项D：取的中点分别为， 平面，是在平面内的射影， 是的中点，，又，， ，， ，即， 同理可得，，且平面， 平面， ， 平面，平面平面， 平面即为所求截面， ，， ，平面为等腰梯形，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量， 其模为， 故答案为：. 13. 已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是___________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，利用中点坐标公式得，解得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，所以①， 又，代入①有：，解得， 故答案为：. 14. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. 【小问1详解】 联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 【小问2详解】 因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 16. 如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． （1）求证：； （2）求直线MN与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 设AC的中点为D，线段BC的四等分点为E，且，连接MD，DE，NE， 则，∴，， ∵M为AP的中点，D为AC的中点，∴，， 又P是的中点，∴． ∴，，∴四边形DMNE是平行四边形， ∴， 又，， ∴． （2） 【解析】 【分析】(1)构建平行四边形使得平行于平面的一条直线即可. (2)构建空间直角坐标系利用空间向量进行空间角的求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中点为Q，连接DB，DQ，易知DB，DQ，DC两两互相垂直． 以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则，，，， ∴，∴， ∴，，． 设平面的法向量为， 则取，则，， ∴平面的一个法向量为． 设直线MN与平面所成的角为θ，则 ， 即直线MN与平面所成角的正弦值为. 17. 已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A,B两点． （1）求C的标准方程； （2）若直线l的方程为，求 ； （3）若OA垂直于OB，求证：直线l过定点． 【答案】（1）x2＝4y； （2）； （3）证明：设直线l的方程为，点， 由消去y得，由， 则， 依题意，得，因，则得， 因此直线l的方程为，因此直线l过定点． 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程求出的值，即得抛物线方程； （2）将直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式计算即得； （3）设直线方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，结合条件求出的值，回代入直线方程即可得证. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 则点F到直线（即）的距离为 因，解得， 故抛物线C的标准方程为； 【小问2详解】 设，由消去y得， 解得， 则. 【小问3详解】 略. 18. 设两点的坐标分别是，直线相交于，且它们的斜率之积为，点的轨迹构成的曲线记为． （1）曲线的方程； （2）若直线与曲线相交于不同的两点，点是曲线上的动点（异于． （i）当时，若直线斜率均存在，判断是否一定是定值，并证明你的结论； （ii）当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）是定值，证明如下： 当时，易得两点关于原点对称， 设，则， 所以， 而均在曲线上， 所以， 从而，证毕. （ii） 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，根据题干直接列式即可求解； （2）（i）当，设，则，表示出并利用点都在曲线上即可证明；（ii）设，的中点为，直线与曲线联立得到的坐标，利用得到，进而求出，再根据即可求出的范围. 【小问1详解】 设点的坐标为，则， 化简得，即. 【小问2详解】 （i）是定值，证明略； （ii）由题意知，当时，显然； 设，的中点为， 由， 由，得①， ，则， 所以，因为，则，从而，即． 而，所以，化简得， 由得②，将代入①， 则，得：③，由②③得， 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 19. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，. （1）证明：平面； （2）点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且. （ⅰ）若平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：因为，所以， 所以，故． 又平面，所以平面． 又平面，所以． 因为，所以， 所以，即． 又平面， 所以平面． （2）（i） （ii）不存在，理由如下： 设和交于点，则． 若五棱锥存在外接球，则球心在过点且垂直于平面的直线上， 设球心，必有． ，解得，， 则． 又，所以，解得或， 由题知，且，即，但都不在这个范围内， 故不存在点，使得五棱锥存在外接球． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直证明线线垂直，再综合证明线面垂直即可； （2）（i）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用空间向量求二面角的最值即可；（ii）先求四棱锥的外接球球心，再证明点不在该球上即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接，则． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，由，得． 又在长方形外，和均为锐角， 所以．可化为， 两边平方后，整理得， 故，整理可得． （i）设平面的法向量为，由， 得取，得， 故平面的一个法向量为． 设平面的法向量为． 得取，得， 故平面的一个法向量为． 则． 令，则，所以． 由函数单调递增，得当时，取最大值，最大值为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $