第二十七章 相 似 数学活动1 测量旗杆的高度 课件 2025-2026学年 人教版 九年级数学下册

该初中数学课件聚焦相似三角形应用，以“测量操场旗杆高度”为导入，衔接相似三角形判定与性质，通过问题引导、追问设计和数据记录表等支架，帮助学生构建数学模型解决实际问题。 其亮点在于践行“做中学”理念，设计影长法、标杆法等三种方案，结合“三会”素养，如用数学眼光抽象相似模型，用数学思维分析误差，用数学语言表达方案。采用小组合作与实地操作，提升学生应用意识和动手能力，为教师提供完整活动设计与评价工具。

全日制义务教育数学课程标准中把核心素养定位为“三会”： 会用数学的眼光观察现实世界； 会用数学的思维思考现实世界； 会用数学的语言表达现实世界。 一、情景引入 如何测量我校操场旗杆的高度？你有什么想法？ 第二十七章 相 似 数学活动1 测量旗杆的高度 广东省怀集县岗坪镇初级中学 陈葵 认真阅读课本第54-55页的内容,本节是在学习相似的基础上,遵循“做中学，学中做”的教育理念，以现实问题为导向，引导学生主动构建数学模型，应用相似三角形知识解决实际问题。通过小组合作、实地操作、反思总结，深化对相似三角形判定与性质的理解，发展学生的几何直观、推理能力、应用意识和创新精神，感受数学的应用价值。 二、学习目标 教学目标 1.能根据测量需求,设计出利用相似三角形测量物体高度的方案。 2.能综合运用相似三角形的判定与性质,构建数学模型(比例式)。 3.能进行实地测量、数据收集与计算,求出旗杆的近似高度。 教学重点:灵活构造相似三角形,设计多种可行的测量方案。 基础器材:皮尺(或长卷尺)、记录本、笔、计算器。 可选方案器材(每组选择1-2种准备) 方案一(影长法):一根已知长度的标杆(如1米或2米长的直杆)。 方案二(镜面反射法): 一面小平面镜。 方案三(标杆目测法):一根可竖直放置的标杆。 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 　　问题1 如图所示,太阳光照射旗杆和小林(或标杆),留存在地面上的影长,请问这种方法能否算出旗杆的高度,如果可能,你能画出相关几何图形,并说出这种方法的道理吗？ 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 追问1 图中有相似的三角形吗?请说明理由。 追问2 每条边表示什么?我们实际需要测量哪些数据? 追问3 如何减少测量误差,提高测量旗杆高度的准确性? C A E B D 测量次数 人身高m 人影长m 旗杆影长m 计算旗杆高m 第1次 第2次 第3次 平均值 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 　　 C A E B D 方法一：影长法(比例法) 原理：太阳光是平行光，物体、影子与光线构成相似直角三角形。 模型：旗杆高 / 旗杆影长 = 标杆高 / 标杆影长。 关键：必须同时测量旗杆和标杆的影长。 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 注意事项： 1.时间同步‌:必须在同一时刻测量,否则太阳角度变化会影响结果。 2.直立放置‌:直杆要竖直立稳,影子测量要准确。 3.光源稳定性:确保测量过程中光源高度和角度不变。 ‌4.多角度测量法:从不同角度测量影长,取平均值或最大值作为最终结果。 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 　　问题2　如图所示,小林站在标杆与旗杆同则,眼睛平视标杆和旗杆,且只能看到标杆和旗杆的顶端,请问这种方法能否算出旗杆的高度,如果可能,你能画出相关几何图形,并说出这种方法的道理吗? 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 A N C E M B F D 追问1 图中有相似的三角形吗?请说明理由。 追问2 每条边表示什么?我们实际需要测量哪些数据? 追问3 如何减少测量误差,提高测量旗杆高度的准确性? 测试次数 人眼高m 标杆高m 人到标杆距离m 人到旗杆距离 计算旗杆高m 第1次 第2次 第3次 平均值 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 方法二：标杆法(截距法) 原理：人、标杆、旗杆所在直线交于一点,构成“A字型”相似。 模型：通过调节人的位置,使人眼、标杆顶端、旗杆顶端三点共线，以及人眼、标杆底端、 旗杆底端三点共线.利用两组相似三 角形建立比例关系。 关键：保证视线水平,精确测量 人到标杆和到旗杆底部的距离 以及标杆露出部分的高度。 A N C E M B F D 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 注意事项: ‌视线对齐‌：眼睛、标杆顶、物体顶必须三点一线，否则误差会很大。 ‌标杆稳固‌：标杆要插稳并垂直于地面，别让它晃动。 ‌皮尺拉直‌：量距离时皮尺要绷直，别歪斜。 ‌环境干扰‌：避开风大或地面不平的地方，这些都会影响测量精度。 减少误差：对同一对象进行多次测量,取平均值以抵消偶然误差。 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 　　问题3 如图所示,小林将镜子平放在地面,然后退至从镜中能看到物体顶端的位置,请问这种方法能否算出旗杆的高度,如果可能,你能画出相关几何图形,并说出这种方法的道理吗? 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 B D C A E 追问1 图中有相似的三角形吗?请说明理由。 追问2 每条边表示什么?我们实际需要测量哪些数据? 追问3 如何减少测量误差,提高测量旗杆高度的准确性? 测试次数 人眼高m 人到镜子距离m 镜子到旗杆距离m 计算旗杆高m 第1次 第2次 第3次 平均值 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 B D C A E 方法三：镜面反射法 原理：根据光的反射定律(入射角=反射角),结合垂直关系,推导出两个三角形相似。 模型：旗杆高/镜子到旗杆底的距离=人眼高/镜子到人的距离。 关键：镜子必须水平放置,人需看到旗杆顶端在镜子中的映像。 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 注意事项 1.‌镜子必须水平放置‌:使用水平仪检查,确保完全水平。 ‌2.人眼高度要准‌:使用卷尺精确测量眼高,保持身体稳定。 ‌3.光线要稳定:选择晴天上午或下午,避开正午强光。 ‌4.地面要平整‌:确保镜子和观测者脚下都是硬质地面。 ‌多次测量取平均‌:至少重复3次,记录每次的镜子到物体距离和镜子到观测者距离,最后用平均值计算。 三、研学教材 活动1 测量旗杆的高度 12(p59) 如图,为了求出海岛上的山峰AB的高度,在D处和F处树立标杆CD和EF,标杆的高都是3丈,D,F两处相限1000步(1丈=10尺,1步=6尺),并且 AB,CD和EF在同一平面内.从杆CD后退123步的G处,可以看到顶峰 A和标杆顶端C在一条直线上;从标杆EF后退127步的H处,可以看到顶峰 A和标杆顶端E在一条直线上,求山峰的高度AB及它和标杆CD的水 平距离BD各是多少步? (提示:连接EC并延长交 AB于点K,用含AK的式子 表示KC和KE) 三、研学教材 练一练 AB=1255步,BD=30750步 四、归纳小结 1.这节课你学习哪些内容？ 2.与同学合作,设计方案,准备工具,测量校园中一些物体(如旗杆、树木等)的高度,并写出完整的过程及理论依据.测量过程中要确保数字准确性。 实践与操作:测量旗杆高度 一、试题背景 学校即将举办运动会,需要测量操场旗杆的高度,以便悬挂合适的旗帜.现有测量工具:一根1.5米长的标杆(有刻度)、一卷皮尺、一个测角仪(可测量仰角).请你设计一种测量方案,并完成以下任务。 二、任务要求 (一)方案设计(6分) 请你利用所提供的工具,设计一种测量旗杆高度的方案,要求： (1)说明测量原理(建议结合图形说明)； (2)写出需要测量的数据(至少三个)； (3)给出计算旗杆高度的公式。 (二)实际操作(4分) 假设实际测量数据如下: ①标杆影长:0.8米 ②旗杆影长:4.2米 ③测角仪测得旗杆顶端仰角为57° 请分别用两种不同的方法计算旗杆高度(结果保留一位小数)。 (三)误差分析(2分) 两种方法得到的结果是否一致?若不一致,请分析可能的原因(至少两条)。 (四)拓展思考(2分) 若阴天无法测量影长,仅用测角仪和皮尺如何测量旗杆高度?请简要说明思路。 实践与操作:测量旗杆高度 三、评分标准 方案设计：原理清晰、工具使用合理、公式正确(6分) 实际操作：计算过程完整、结果准确(4分) 误差分析：原因合理、表述科学(2分) 拓展思考：方案具有可行性(2分) 实践与操作:测量旗杆高度 四、参考答案要点 (一)方案设计 (1)方法一:利用相似三角形原理(标杆影长与旗杆影长成比例) 方法二:利用三角函数(测角仪测量仰角,结合距离计算高度) C A E B D 实践与操作:测量旗杆高度 四、参考答案要点 (一)方案设计 (2)需测数据:①标杆长度 ②标杆影长 ③旗杆影长 ④仰角 ⑤测角仪到旗杆底座距离(任选三个) (3)公式： 方法一:旗杆高=(标杆高×旗杆影长)÷标杆影长 方法二:旗杆高=测量距离×tan(仰角)+测角仪高度 (二)实际操作 方法一:旗杆高=(1.5×4.2)÷0.8=7.875≈7.9米 方法二:需补充测量距离(假设测得距离为12米)： 旗杆高=12×tan57°+0.5≈12×1.5399+0.5≈19.0米 实践与操作:测量旗杆高度 (三)误差分析 (1)地面不平整导致影长测量误差; (2)测角仪读数或距离测量存在误差; (3)两种方法测量时间不同,光照角度变化影响影长。 (四)拓展思考 可在不同位置测量两个仰角及两点间距离,通过解三角形求解高度。 五、命题意图说明 本题融合了相似三角形、三角函数、误差分析等核心知识,注重数学建模与实际问题解决能力,符合新课标“做中学”的理念.建议在实际教学中可先组织学生分组操作,再结合测量数据完成题目。 实践与操作:测量旗杆高度 $