6.4.3百分位数 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体数字特征-百分位数”，系统讲解百分位数的定义、计算步骤（含样本数据与频率分布直方图两种方法）及实际应用，通过回顾中位数（第50百分位数）建立新旧知识联系，搭建学习支架帮助学生理解。 其亮点是以居民用水量标准等实际问题驱动教学，结合珍珠质量、志愿者年龄等实例，培养数据分析、数学建模素养。采用问题延伸与决策环节，引导学生用数学思维解决现实问题，学生能提升应用能力，教师可高效开展统计教学。

北师大版（2019）高中数学必修第一册 第6章 统计 现在你以母校而自豪， 将来母校因你更光荣！ §6.4.3用样本估计总体数字特征-百分位数 1 学习目标 1 结合实例，能用样本估计百分位数，培养数学抽象的核心素养． 2 理解百分位数的统计含义，培养数据分析的核心素养． 3 通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养 1.重点：结合实例，能用样本估计百分位数 2.难点：理解百分位数的统计含义． 中位数 一组数的平均数与这组数中的每一个数都有关，特别地，平均数容易受到最值的影响，因此有时平均数并不能很好地表示这组数的中心位置.而中位数就是这组数的中心位置。 ①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列的中间那个数. ②当数据个数为偶数时，中位数为按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列的最中间的两个数的平均数. 注意：一组数据的中位数只有一个. 中位数、百分位数 定义:一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数: 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 第p百分位数的定义 问题延伸与思考 月平均用水量/t 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 0.077 频率/组距 100户居民用户月均用水量的频率分布的特点： 大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域，尤其在区间[1.2，7.2)最为集中； 少数居民用户的月均用水量偏多； 随着月均用水量的增加，居民用户数呈现降低趋势. 该市全体居民用户月均用水量也会有类似的分布，即大部分居民用户均用水量集中在较低值区域. 思想：用样本的频率分布估计总体的频率分布 推测 为政府决策 确定一个居民用户月用水量的标准a 问题决策 问题 如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？ 即：寻求一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%. ①把100个样本数据从小到大排序 第i个 1 2 3 4 5 ... 80 81 ... 97 98 99 100 数据 1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 ... 13.6 13.8 ... 24.3 24.5 25.6 28.0 ②得到第80和第81个数据分别是13.6和13.8 区间(13.6，13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分. ③取这两数的平均数 称此数为这组数据的第80百分位数或80%分位数 估计 建议市政府把月均用水量标准定为14t 总体数据的第80百分位数约为13.7 80％ 20％ a 第p百分位数的定义 一组数据的第 p百分位数：能使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值的数. 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步：按从小到大排列原始数据; 第2步：计算i=n×p％; 第3步：①若i不是整数，则第p百分位数为第j项数据( j为大于i的比邻整数); ②若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 在实际应用中，常用的分位数还有第25百分位数，第50百分位数(中位数)，第75百分位数. 这3个分位数把一组由小到大排列的数据分成四等份，故称为四分位数. 其中，第25百分位数称为第一四分位数或下四分位数等， 第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 第1百分位数 第5百分位数 第95百分位数 第99百分位数 p％ (100-p)％ a 25% 50% 75% 求一组数据的第p百分位数 1.由样本数据计算第p百分位数 2.由样本数据的频率分布直方图计算第p百分位数 第1步：按从小到大排列原始数据; 第2步：计算i=n×p％; 第3步：①若i不是整数，而大于i的比邻整数为 j，则第p百分位数为第j项数据; ②若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 第1步：计算各组数据的频率(即计算各小长方形的面积)； 第2步：确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，且fa%<p%<fb%， 则第p百分位数在区间[a，b)内； 第3步：利用面积比=宽之比，则第p百分位数为a + ·(b−a). 不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比． 有70%的同学数学测试成绩在小于或等于85分． 例2（1）班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”， 这里的“90%”是百分位数吗？ (2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？ 思考1：第p百分位数有什么特点？ 总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. 例3.知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　) A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第76个数的平均数 D.这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第74个数的平均数 解析：因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C. C 例4.从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. (1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数； 解　(1)将所有数据从小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4， 例5.根据下表或下图,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数. 统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息，例如由上表中可以知道在[16.2,19.2)内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上. 月平均用水量/t 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 0.077 频率/组距 根据表或图估计月均用水量的样本数据的 80%和95%分位数. 解：∵ 80%分位数一定位于[13.2，16.2)内. 可估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2； ∵95%分位数一定位于[22.2，25.2)内. 可估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95. 假定样本数据在区间内是均匀分布的. 在频率分布直方图中， 第p百分位数左侧的长方形面积和为p % 面积比=宽之比 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 这个结果与根据原始数据求得的中位数6.6相差不大. 由于0.077×3=0.231,(0.077+0.107)×3=0.552. 因此中位数落在区间[4.2,7.2)内. 设中位数为x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5得到x≈6.71. 因此，中位数约为6.71,如图所示. 第p百分位数的计算 例6.某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第75百分位数分别是 . 解：将12个数据按从小到大排序： 13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8. 由12×75%=9可知， 按从小到大排列原始数据 所给数据的第75分位数为第9个和第10个数据的平均数 计算i=n×p％ 若i不是整数，而大于i的比邻整数为 j，则第p百分位数为第j项数据 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 15.3 例7.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________； (2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁． 解：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h， 由(0.01+h+0.07+0.06+0.02)×5=1，解得h＝0.04. (2)由题图可知年龄小于40岁的频率为1－0.02×5=0.9， 且所有志愿者的年龄都小于45岁， ∴志愿者年龄的95%分位数在[40,45)内， ∴志愿者年龄的95%分位数为 0.04 42.5 例8.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得： (1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为________； (2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数为___岁. 0.04 39 解析　(1)设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h， 则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1， 解得h＝0.04. (2)由图可知，年龄小于35岁的频率为 (0.01＋0.04＋0.07)×5＝0.6， 年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9， 所以志愿者年龄的85%分位数在[35，40)内， 例9.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗? 解:由题意知分别落在各区间上的频数为 在[80,90)上有60×0.15=9, 在[90,100)上有60×0.25=15, 在[100,110)上有60×0.3=18, 在[110,120)上有60×0.2=12, 在[120,130]上有60×0.1=6. 从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上, 综上可知,第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm. 例10.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩的70%分位数约为 ___秒. 解：设成绩的70%分位数为x， 成绩小于等于16秒的频率为 成绩小于等于17秒的频率为 ∴成绩的70%分位数在区间[16,17)内， ∴成绩的70%分位数为 16.5 D 例11.某学习兴趣小组学生的一次测验成绩如下： 130，135，126，123，145，145，150，131，143，144. 这个兴趣小组学生的测验成绩的第75百分位数是(　　) A.131 B.143 C.150 D.145 解析共10个数据，且75%×10＝7.5，∴这个兴趣小组的测验成绩的第75百分位数为第8个数据.将这10个测验成绩按从小到大排列为123，126，130，131，135，143，144，145，145，150，∴所求的成绩的第75百分位数为145. 18 19 （2）由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%， 20 用电量不超过400千瓦时的占80%，所以75%分位数为m在[300,400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75,解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时． （3）设75%分位数为m，因为用电量低于30千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%， 21 下课 再见 感谢各位同学配合！ 本课结束 【例1】下列一组数据的25%分位数是(　　) 2.1, 3.0,3.2, 3.8, 3.4, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6. A．3.2　　　B．3.0　　　C．4.4　　　D．2.5 【解析】把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1, 3.0, 3.2, 3.4, 3.8, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6. 由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25%分位数．选A. 第95百分位数是第12个数据为9.9. 则第25百分位数是eq \f(8.0＋8.3,2)＝8.15， 因此志愿者年龄的85%分位数为35＋eq \f(0.85－0.6,0.9－0.6)×5≈39(岁). [解](1)当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200<x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60； 当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140. 所以y与x之间的函数解析式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200<x≤400，,x－140，x>400.)) 例12.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费． (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式． (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值． (3)根据(2)中求得的数据a＝0.001 5，b＝0.002 0.计算用电量的75%分位数 例12.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费． (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式． (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值． (3)根据(2)中求得的数据a＝0.001 5，b＝0.002 0.计算用电量的75%分位数 例12.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费． (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式． (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值． (3)根据(2)中求得的数据a＝0.001 5，b＝0.002 0.计算用电量的75%分位数 $