椭圆复习课讲义-2026届高三数学一轮复习

一、知识回顾

1、椭圆的第一定义

(1)平面内与两个定点的距离的和等于        （大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的        ，两焦点间的距离叫做椭圆的        ．

(2)集合，，其中，，且a、c为常数：

①若      ，则集合P表示椭圆；

②若      ，则集合P表示线段；

③若      ，则集合P为空集．

2、椭圆的标准方程和几何性质

标准方程
图形
x，y的范围
对称性	对称轴：       ，对称中心：
顶点	，        ，         ，	，        ，         ，
轴长	长轴的长为        ；短轴的长为
焦点	，	，
焦距
离心率
a，b，c的关系

 

 

1、椭圆方程：

(1)过两点的椭圆方程可设为；

(2)与椭圆共焦点的椭圆方程可设为；

与椭圆共焦点的椭圆方程可设为；

2、焦半径：

(1)若P（x0，y0）为椭圆＝1（a＞b＞0）上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.

(2)椭圆上一点到焦点的距离

(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.

(4)直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则＝.

3、椭圆的离心率：

4、焦点三角形：

椭圆的焦点三角形由椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.

(1)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

(2)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|．当P为短轴端点时，θ最大最大

(3)|PF1|·|PF2|≤()2＝a2.

(4)内切圆半径

5、椭圆中的最值问题：

(1)椭圆最短焦点弦为通径，长为；

(2)P为椭圆短轴端点时，∠F1PF2最大，∠A1PA2最大（其中A1，A2为椭圆的左右顶点）．

6、点差法：

(1)AB为椭圆+=1(a>b>0)的不垂直于x轴的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为M(x0,y0)(x0y0≠0),O为原点,则kOM·kAB=-.

(2)过原点的直线交椭圆+=1(a>b>0)于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,则kPA·kPB=-.

(3)点P(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)上,则椭圆在点P处的切线方程为+=1.

7、椭圆内心定理：

如图，I为内切圆的圆心，PI和相交于点N（区分切点M），则：

(1)，(2)．

8、焦点弦的定比分点：

过左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于两点；

，若，则焦比公式：.

 

 

 

 

 

 

二、类型题归纳

题型一 椭圆的定义及应用

例1